2023—2024学年下学期期末考试
高一数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第四象限 C.实轴上 D.虚轴上
2.若数据，，，的方差是2024，则数据，，，的方差为（ ）
A.2529 B.506 C.2023 D.1012
3.在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A.点必在平面内 B.点必在平面内
C.点必在直线上 D.直线与直线为异面直线
5.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
6.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在一次数学智力测验中，将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据此频率分布直方图，下列结论正确的是
A.这100名学生中成绩在内的频率为0.012
B.这100名学生中成绩在内的人数为14
C.这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
D.这100名学生成绩的中位数为75
8.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于120°，则当点满足时，点到三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知在中，，，，为内一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.已知一组数据3，7，9，4，4，5，7，9，则这组数据的众数为4，7，9，中位数为6
B.数据26，11，13，29，14，16，18，22的第70百分位数是22
C.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
D.某单位老、中、青三个群体按1:2:4的比例分层随机抽样调查，若抽取的中年人人数为8，则样本容量为18
10.已知复数，，，则（ ）
A.若，，的虚部依次为，，，则
B.若，，的实部依次为，，，则
C.
D.
11.在三棱锥中，平面，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A.此三棱锥的四个面均为直角三角形 B.此三棱锥的四个面中有四对相互垂直的面
C.此三棱锥内切球的半径为 D.此三棱锥外接球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，若，则______.
13.如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______.
14.已知的三个角，，的对边分别为，，，，，角的平分线交于点，且，则边上的高______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，，是的外心，.
（1）求边的长；
（2）若为的中点，求的值.
16.（本小题满分15分）
如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整）
A组（蒙特利尔站）：80 80 82 78 93
B组（柏林站）：81 80 86 99 86
（1）请写出这10个分数的众数、极差以及A，B两组各自的平均成绩；
（2）请你根据所学的统计知识，分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？并说明理由.
18.（本小题满分17分）
在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，，为的中点，求的长；
（3）若，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
如图，在正四棱台中，，，球与正四棱台的各面均相切，半径为，平面与平面的交线为.
（1）证明：直线平面；
（2）求球与正四棱台的体积之比；
（3）求平面与平面夹角的大小.
高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A D B B C A ABC BCD AC
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. D 解析：由题意得，故复数在复平面内对应的点为，位于虚轴上，故选D.
[命题意图]本题考查复数的四则运算及复数的几何意义，属于基础题.
2. B 解析：设数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，∴，∴，故选B.
[命题意图]本题考查方差的定义和性质，考查学生的运算能力，属于基础题.
3. A 解析：因为为的中点，所以，
所以，故选A.
[命题意图]本题考查向量加法和减法及向量数乘的运算，考查学生的运算能力，属于基础题.
4. D 解析：因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确；同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确；由A，B选项得点在平面内，也在平面内，由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线，故D不正确，故选D.
[命题意图]本题考查平面基本事实2和3，考查空间两条直线的位置关系，考查学生推理论证和空间想象能力，属于基础题.
5. B 解析：设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24，
所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，
所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即，
所以球的半径为，球的表面积，故选B.
[命题意图]本题主要考查长方体与球的关系，球表面积的计算公式，根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，属于基础题.
6. B 解析：，，，得不到，
因为，可能相交，只要，和，的交线平行即可得到，；
反过来，若，，，则，和没有公共点，
所以，，即能得到，，
故“，”是“”的必要不充分条件，故选B.
[命题意图]本题考查线面平行以及面面平行的定义及有关定理，属于基础题.
7. C 解析：由频率分布直方图可得，解得，所以成绩在内的频率为，故A不正确；这100名学生中成绩在内的频率为，所以成绩在内的人数为32，故B不正确；根据频率分布直方图平均数的计算公式可得，故C正确；根据频率分布直方图可得，中位数在之间，故D不正确，故选C.
[命题意图]本题考查频率分布直方图，数据的频率、中位数、平均数的计算公式，考查学生的识图读图能力，属于基础题.
8. A 解析：，
即，解得或（舍），
所以为等腰三角形，且，，
所以为锐角三角形，取中点，
则费马点在线段上，为顶角是120°的等腰三角形，
所以，所以，，
所以的最小值为，故选A.
[命题意图]本题主要考查余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，对于有3个正确选项的，选对1个得2分，对于有2个正确选项的，选对1个得3分，有选错的得0分.
9. ABC 解析：对于A，将数据3，7，9，4，4，5，7，9按从小到大排序为3，4，4，5，7，7，9，9，所以它的众数为4，7，9，中位数为，故A正确；对于B，将8个数据从小到大排序为11，13，14，16，18，22，26，29，由可知，第70百分位数为第6个数，为22，故B正确；对于C，因为在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，与第几次无关，故C正确；对于D，老、中、青三个群体按1:2:4的比例分层随机抽样调查，若抽取的中年人人数为8，则样本容量为，故D不正确，故选ABC.
[命题意图]本题考查百分位数、众数、中位数、随机抽样，属于基础题.
10. BCD 解析：，，，
则，，的虚部分别为，，1，因为，故A不正确；
因为，，的实部分别为1，3，9，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
，故D正确，故选BCD.
[命题意图]本题考查复数的基本运算、实部虚部的概念，考查模的运算性质等基础知识，考查学生的运算求解能力和知识运用能力，属于基础题.
11. AC 解析：由题知，，，又，∴平面，∴，所以易知此三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确；由题知平面平面，平面平面，平面平面，共三对，故B不正确；设内切球的半径为，则此三棱锥的体积，可得，故C正确；设外接球的半径为，取的中点，由直角三角形的性质知，，所以点为此三棱锥外接球的球心，∴，所以外接球的半径为，D不正确，故选AC.
[命题意图]本题考查立体几何中线面垂直、面面垂直，考查三棱锥外接球和内切球的半径求法，考查学生的空间想象能力和等体积转化的思想方法，属于中档题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 解析：∵，∴，解得或，
则，.
[命题意图]本题考查向量坐标运算中的垂直关系，同时综合了对数运算，属于基础题.
13. 解析：设，利用扇形的面积公式得，解得，
所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为，所以圆心角为，
因为，所以，连接，则为最短距离，
由余弦定理得，
所以，即此蚂蚁爬行的最短路径长为.
[命题意图]本题主要考查圆锥的侧面积公式，扇形的面积公式，考查余弦定理的应用，是立体几何与解三角形的综合应用，考查学生综合运用知识的能力和运算求解能力，属于中档题.
14. 解析：∵，
∴，解得，
则，，∴，，
由，得.
[命题意图]本题考查解三角形中的余弦定理，解题的关键是角平分线如何运用，属于中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.解：（1）取中点，连接，
则，
所以.
（2）.
[命题意图]本题考查三角形外心的定义和性质，向量的数量积和加减运算，考查学生数形结合和运算求解能力，考查学生运用知识灵活转化的能力，属于基础题.
16.解：（1）证明：连接与交于点，连接，
因为四边形是矩形，所以是的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为在正方体中，平面平面，
所以直线与平面所成角等价于直线与平面所成角，
因为平面，所以为直线与平面所成角，
设正方体的棱长为2，则，，
所以，，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
[命题意图]本题主要考查空间中直线和平面的位置关系、线面角的求解，考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力，属于基础题.
17.解：（1）易知在这10个分数中，出现最多的是80，所以众数为80，
这10个分数中，最高分为99，最低分为78，所以极差为，
A，B两组各自的平均成绩分别为，
（2）可以用方差来衡量，方差越小，分数越集中，判断发挥越稳定，
设蒙特利尔站和柏林站的方差分别为，，
易知，
，
因为，所以蒙特利尔站发挥更稳定.
[命题意图]本题主要考查众数、极差以及平均数等概念，考查方差在实际问题中的应用，考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力，属于基础题.
18.解：（1）由及正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）因为为的中点，所以，则，
所以，
所以，
解得，所以的长为1.
（3）由正弦定理知，
所以
，
因为，所以，所以，
则，
所以的取值范围为.
[命题意图]本题主要考查三角恒等变换、正弦定理和余弦定理的应用、正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算求解能力和数学思维能力，属于中档题.
19.解：（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，
因为平面与平面的交线为，由线面平行的性质定理知，
又，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）如图，取，，，的中点，，，作此几何体的轴截面，
则由对称性知四边形为等腰梯形，，，内切圆的半径为球的半径，
与，，分别切于点，，，则为内切圆的直径，
由切线的性质知，，，所以，
过点作于点，则，所以，
所以，
所以球的半径为，四棱台的高为，
则球的体积，
正四棱台的体积为，
所以.
（3）如图，连接，，
因为，，，所以平面，
因为，所以平面，所以，，平面平面，
所以为平面与平面的夹角，
由切线的性质知，，因为，，
所以，同理，
所以，，
则，
所以平面与平面夹角的大小为90°.
[命题意图]本题以正四棱台和其内切球为载体，考查线面平行、线面垂直问题和空间两个平面的夹角的求法，考查球的体积和台体的体积公式，考查学生的空间想象能力和运算求解能力，属于难题.
