2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，，则复数的模为( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
3.在一次数学测试中，高一某班名学生成绩的平均分为，方差为，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是( )
A. B. C. D.
4.，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是( )若，，则
若，，则
若，，则
若，，，则
A. B. C. D.
5.已知棱长为的正方体中，、分别为和的中点，则到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知为三角形内一点，且满足和，则角为( )
A. B. C. D.
8.在正三棱锥中，、分别为、的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，以下说法正确的是( )
A. 复数在复平面对应的点在第一象限
B. 若复数，满足，则
C. 若为纯虚数，则实数
D. 复数满足，则
10.在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，，，则满足条件的三角形有个
D. 若不是直角三角形，则
11.已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，且与正方体的内切球为球心交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 线段的长为
B. 三棱锥的体积为
C. 过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D. 设为球上任意一点，则的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某歌手在一次比赛中评委给分为、、、、、、、十分制则该歌手得分的第七十五百分位数是 ．
13.如图所示，是的中点，，是平行四边形内含边界的一点，且、，则当时，的范围是 。
14.已知在三角形中，角、、的对边分别为、、，且，角为锐角，向量与共线，
且，则三角形的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，
若与垂直，求的值
若与共线，求的值。
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
证明：平面
求直线与平面所成角的大小．
17.本小题分
已知在中，角，，的对边分别为，，，且
求
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
18.本小题分
随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，年月日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周天进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
住户编号
小区分钟
小区分钟
分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差以及、两个小区抽取的一共户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差
如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元按照天计算标准计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少
小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员每天工作小时月工资按照元按照天计算标准计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少
市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广
19.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，分别是线段、的中点，在平面内的射影为．
求证：平面
若点为棱的中点，求三棱锥的体积
在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】
【解析】
解：由，得，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】
解：的夹角，，
，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】
解：因为方差，
所以，
若存在，则，
所以不可能是该班的化学成绩．
故选D．
4.【答案】
【解析】
解：若 ，则 ，正确．
若 ，则，有可能平行或异面，不正确．
若 ，由线面垂直的判定定理可得 ，正确．
若，因为不一定在平面内，所以不一定垂直 ，不正确．
故选B．
5.【答案】
【解析】
解：延长交延长线于点，连接，，
易知平面，
所以到平面的距离即点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
则，
因为正方体棱长为，
所以，，
所以，
即，
解得，
所以到平面的距离为．
故选C．
6.【答案】
【解析】
解：，
由正弦定理得，
由得，
，
，
又，
，，
，
又，
；
由得，
，
在中，由余弦定理得，
得，
得到，当且仅当取等号，
则，
当且仅当取等号，
则长的最大值为．
故选A．
7.【答案】
【解析】
解：如图：
因为，所以，因此．
同理可得，，因此是的垂心．
因为是内一点，所以是锐角三角形，因此为锐角．
因为，所以，
因此取线段、线段的中点分别为、，则，
所以点在线段上，且，．
连接延长交于，过作，交于，连接，
则，．
设．
因为，，所以，而是线段的中点，因此，
所以．
因为，，所以是以为底边的等腰三角形，
而，因此是以为底边的等腰直角三角形，所以，
即为．
8.【答案】
【解析】
解：因为，分别是棱，的中点，
所以，
因为，
所以，
因为三棱锥为正三棱锥，
所以对棱垂直，
又因为，面，，
所以面，
因为，面，
所以，，
因为三棱锥为正三棱锥，
所以是等腰三角形， 是等边三角形，
因为，
所以，，
所以，即，
所以，，两两垂直，
将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，
则该正方体棱长为，外接球半径，
正方体外接球的表面积为．
故选D．
9.【答案】
【解析】
解：对于、，对应点，不在复平面对应的点在第一象限，故A错误；
对于、取，，满足但不满足，故B错误；
对于、为纯虚数，
则，故C正确；
对于、，则，故D正确
10.【答案】
【解析】
解：对于在中，，即，
由正弦定理得，
即，得或，
则是等腰三角形或直角三角形，故A错误
对于：因为为锐角三角形，
则，即，
所以，故B正确；
对于在中，，，，
由余弦定理得，
则，解得负值舍去，满足条件的三角形有一个，故C错误
对于由不是直角三角形且，
则，
所以，故D正确．
故选BD．
11.【答案】
【解析】
解：过 ， ， 三点的截面为正六边形 ，球心 为其中心，
在正六边形 中， ，点 到 的距离为 ， ，所以 ，故A正确；
，故B正确；
正六边形 的面积 ，故C错误；
由题意，所以，
所以，
取的中点，则，
当，，共线时，可知的范围为，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】
解：将数据由小到大排列为：
，，，，，，，，
因为，
所以该歌手得分的第七十五百分位数是．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
解：如图，
过作，交于，作，交的延长线于，则：
；
又；
，；
由图形看出，当时，为中点，
则点在线段上运动，
当点与重合时，，，
当点与点重合时，，，
所以的范围是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
解：因为与共线，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
则，解得，
因为，
由正弦定理得，
又因为，
由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
即，即，
所以，
解得，
所以三角形的周长为，
故答案为．
15.【答案】解：，，
，
，
与垂直，
，
．
由知，，得．
，
．
【解析】
由已知计算，的坐标，由，可解得；
由平面向量共线的充要条件可得值，从而得的坐标，进而得所求．
16.【答案】解：如图，取中点，连接，，
由于，分别为，的中点，故E，且，
又，，可得，且，故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面．
因为底面，底面，，
又，，、平面，平面，
又平面，，，为的中点，
，又，、平面，平面，
直线在平面内的射影为直线，故为直线与平面所成的角，
由底面，底面可得，，，
为等腰直角三角形，且平分，，
所以直线与平面所成的角为．
【解析】
取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，即可得证；
因为为直线与平面所成的角，又为等腰直角三角形，平分，即可得解．
17.【答案】解：故得
所以，
即A.
由正弦定理，得，
显然，，所以，所以．
因为，所以．
由题设及可知，的面积，
，，，
为锐角三角形，，解得，
，，，
，
又
【解析】
根据两角和与差的余弦公式结合正弦定理求出，所以，即可求解；
根据三角形的面积和正切函数性质即可求解。
18.【答案】解：分钟，
分钟，
，
，
总体的平均数，
总体的方差
；
按照方案，小区一月至少需要名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，
其费用是元，
每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为元，
由知，小区平均每位住户每周需要分钟进行垃圾分类，
一月需要分钟，
小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，
一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，
每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，小区一月需要专职工作人员至少名，
则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为元；
根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，
选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项
如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，
这只是方便个别高收入住户，
综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升．
【解析】
利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可；
计算 小区一月至少需要 名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；
由一位专职工人一天的工作时间按照 小时作为计算标准，每月按照 天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于 名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出 小区一月需要专职工作人员数量即可；
根据以上的运算，分析可以得出结论．
19.【答案】证明：如图，连接，，由题意知平面，
四边形是菱形，
平面，，
是中点，是正三角形，，
，，平面，
平面，平面，，
在菱形中，，
，分别是线段，的中点，，，
，，平面，
平面．
解：如图，取的中点，连接，过作交于，
过作，交别交，的延长线于，，
由题意得，分别是，的中点，
由条件可得，平面，平面，
平面，到平面的距离等于到平面的距离，
由得，平面，面，是直角三角形，
在菱形中，由题意得，
，，
，，
到的距离为，
，
三棱锥的体积为．
解：如图，假设存在点满足题意，取的中点，连接，
过作，交于，连接，
由题意得，平面，平面，平面，
又结合的结论有，，
二面角的平面角为，
，
在菱形中，作，垂足为，
由题意得，，
，
是直角三角形，，
．
故在线段上存在点，使二面角的大小为，．
【解析】
通过几何图形的性质证明，，由此能证明平面；
构造线面平行，求出点到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积；
结合二面的定义，结合作出其平面角，解三角形能求出结果．
第1页，共1页
