(共28张PPT)
7.3 直线、平面平行的判定定理
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课 标 解 读 1.借助长方体,通过直观感知,归纳出直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系,归
纳出直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理,并加以证明.
2.会应用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明线面、面面平
行.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、直线与平面平行的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与 ___________的一条直线平 行,那么该直线与此平面平 行（简记为“线线平行 线 面平行”） _ _______
此平面内
二、平面与平面平行的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的_____ __________与另一个平 面平行,那么这两个平面 平行（简记为 “线面平行 面面平 行”） _ ___________
两条相交直线
知识拓展
证明空间中的平行关系,关键是寻找线线平行,线线平行的常见找法依据:
构造三角形的中 位线 若已知一条线段的中点,且平面内或外的一条直线为三角形的底边,则可过
三角形的中点作三角形的中位线,那么就可以根据三角形中位线的性质来
判定线线平行,进而得到线面平行
构造平行四边形 在证明线面平行时,可根据图形的特点,找到一组对边平行且相等的线段,分
别将这四点连接,便可构造出平行四边形,使另一组对边分别为平面内、外
的一条直线,即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面
平行
利用相似比寻找 线平行 题目中出现比值关系时,可考虑利用比值关系,寻找线线平行,进而得到线面
平行
利用直线与平面 平行的性质定理 寻找线线平行 利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行,进而得到直线与平
面平行
构造平行平面 面面平行的性质有很多,常见的有:（1）若两个平面平行,则在一个平面内
的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个
平面相交,则它们的交线平行
利用线面垂直的 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
平行线的传递性 平行于同一条直线的两条直线平行
续表
自测诊断
1.已知平面 , ,直线 , ,则“”是“ ”的( )
D
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若 , ,,则 与 平行或相交,故“”不是“ ”的充分条件；
若 , , ,则由面面平行的性质定理得,平行或异面,故“ ”不是
“ ”的必要条件.故选D.
2.若直线平面 ,直线平面 ,直线与相交于点,且与确定的平面为 ,则
与 的位置关系是( )
B
A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定
[解析] 由面面平行的判定定理可知B正确.
3.已知,是两条不同的直线, 是一个平面,若要得到“ ”,则需要在条件
“ , ”中另外添加的一个条件是______.
[解析] 根据直线与平面平行的判定定理知，需要添加的一个条件是“ ”.
4.如图,在正方体中,是的中点,则 与平面
的位置关系为______（填“平行”或“相交”）.
平行
[解析] 易知,又 平面, 平面 ,
平面 .
5.下列命题中,所有正确的序号为____.
①如果一个平面内三条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；
②如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；
③平行于同一条直线的两个平面一定相互平行.
②
[解析] 如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面,即两个平面没有公共点,那么两
平面平行,故填②.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面平行的判定
角度1 借助三角形中位线证线线平行
典例1 如图,在四棱锥中,底面为平行四边形, 为侧
棱的中点.求证:平面 .
证明 如图,连接,交于点,连接 .
因为四边形是平行四边形,所以.又因为为侧棱
的中点,所以 .
因为 平面, 平面,所以平面 .
［对点训练1］ 如图,在四棱锥中,底面 为矩形,
为的中点.证明:平面 .
证明 连接,交于点,连接（图略）,因为四边形
为矩形,所以为 的中点.
又为的中点,所以.又 平面, 平面
,所以平面 .
角度2 构造平行四边形证线线平行
典例2 如图,在四棱锥中,底面 为平行四边形,
,分别为,的中点.求证:平面 .
证明 如图,取的中点,连接, .
,分别为和的中点,,且 .
四边形为平行四边形,且为 的中点,
, ,
,且, 四边形为平行四边形, .
又 平面, 平面,平面 .
［对点训练2］ 如图,在直四棱柱 中,底
面为梯形,,,,点在线段 上,
.证明:平面 .
证明 如图,连接,因为底面为梯形, ,
, ,
所以,且 ,
所以四边形为平行四边形,则 .
又 平面, 平面 ,
所以平面 .
角度3 三角形相似比证线线平行
典例3 如图,在四棱锥中,,,,
为侧棱上一点,若,求证:平面 .
证明 连接,设,连接 （图略）,由题意知
,,,得 .
由,得 .
在中,由,得 .
因为 平面, 平面,所以平面 .
［对点训练3］ 如图,在三棱柱中,是棱 的
中点,点在线段上,且.证明:平面 .
证明 连接，交于点,连接 （图略）.
因为,所以.又因为 ,所以
,所以 .
又 平面, 平面,所以平面 .
规律方法
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法:
（1）空间直线平行关系的传递性法；
（2）三角形中位线法；
（3）平行四边形法；
（4）成比例线段法.
题型二 平面与平面平行的判定
典例4 如图所示,在三棱柱中,,,,分别是, ,
, 的中点.
求证:
（1）,,, 四点共面;
证明 ,分别是, 的中点,
是的中位线,则 .
又,,,,, 四点共面.
（2）平面平面 .
,分别为,的中点, .
平面, 平面,平面 .
又,分别是,的中点,, ,
四边形是平行四边形, .
平面, 平面,平面 .
又, 平面平面 .
［对点训练4］ 如图,在四棱锥中,底面 为平行四
边形,点,,（不与端点重合）分别在,, 上,且
.求证:平面平面 .
证明 ,
, .
平面, 平面 ,
平面 .
底面 为平行四边形,
, .
平面, 平面 ,
平面 .
又 ,
平面平面 .
规律方法
判断平面与平面平行的常用方法
（1）定义法:两个平面没有公共点.
（2）判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
（3）转化法:转化为线线平行,平面 内的两条相交直线分别与平面 内的两条相交
直线平行,则 .
（4）利用平面平行的传递性:若 , ,则 .第三节 直线、平面平行的判定与性质【原卷版】
1.平面α∥平面β，直线l∥α，则（ ）
A.l∥β B.l β
C.l∥β或l β D.l，β相交
2.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α，β平行于同一条直线
D.α，β垂直于同一平面
3.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别是A'D'，D'C'的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（ ）
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
4.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 .
1.（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A.平行于同一直线的两个平面互相平行
B.平行于同一平面的两个平面互相平行
C.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D.夹在两平行平面间的平行线段长度相等
2.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝ .
直线与平面平行的判定与性质
考向1 直线与平面平行的判定与证明
【例1】 如图，在四棱锥E-ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点.证明：AF∥平面BCE.
考向2 直线与平面平行的性质
【例2】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，∠CAD＝30°，PA＝AB＝4，点N在线段PB上，且＝.
（1）求证：MN∥平面PDC；
（2）若平面PAB∩平面PCD＝l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由.
平面与平面平行的判定与性质
【例3】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH（GH与B1C1不重合）.
（1）求证：BC∥GH；
（2）若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
（变条件，变设问）在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值.
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）证明：平面A1BD∥平面CB1D1；
（2）若平面ABCD∩平面CB1D1＝直线l，证明：B1D1∥l.
平行关系的综合应用
【例4】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；
（2）若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，且截面为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
1.（2024·榆林一模）若直线l平行于平面α，则（ ）
A.平面α内的所有直线都与直线l平行
B.平面α与直线l不存在公共点
C.平面α内不存在与直线l垂直的直线
D.平面α内的直线都与直线l异面
2.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则直线AC和平面DEF的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.在平面内 D.不能确定
3.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（ ）
A.2∶3 B.2∶5
C.4∶9 D.4∶25
4.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，则（ ）
A.BD∥平面EGHF
B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF
D.直线GE，HF，AC交于一点
6.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点.求证：
（1）BF∥HD1；
（2）EG∥平面BB1D1D；
（3）平面BDF∥平面B1D1H.
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是（ ）
A.直线BQ∥平面EFG
B.直线A1B∥平面EFG
C.平面APC∥平面EFG
D.平面A1BQ∥平面EFG
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是（ ）
A.2 B.
C. D.3
11.（多选）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（ ）
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D.当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值
12.（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.CC1∥平面A1ABB1
B.AF∥平面A1B1C1
C.EF∥平面A1ABB1
D.AE∥平面B1BCC1
13.如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是 .
答
14.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2.
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求三棱锥F-PCD的体积.
15.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ）
16.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
（1）求证：EF∥平面β；
（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.
第三节 直线、平面平行的判定与性质【解析版】
1.平面α∥平面β，直线l∥α，则（ ）
A.l∥β B.l β
C.l∥β或l β D.l，β相交
解析：C 因为平面α∥平面β，直线l∥α，所以直线l可能和平面β平行，也可能在平面β内.故选C.
2.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α，β平行于同一条直线
D.α，β垂直于同一平面
解析：B 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A、C、D中条件均不是α∥β的充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件.故选B.
3.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别是A'D'，D'C'的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（ ）
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
D.无法确定
解析：B 连接AC交BD于点E，连接MN，EN，A'C'，而M，N分别是A'D'，D'C'的中点，所以MN∥A'C'∥AC，即MN∥AE，且2MN＝A'C'＝AC＝2AE，即MN＝AE，则四边形AENM为平行四边形，故AM∥EN，由AM 平面BND，EN 平面BND，则AM∥平面BND，故选B.
4.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 .
答案：平行四边形
解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.
1.（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A.平行于同一直线的两个平面互相平行
B.平行于同一平面的两个平面互相平行
C.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D.夹在两平行平面间的平行线段长度相等
解析：BCD 对于A：平行于同一直线的两平面可能平行，也可能相交，A不正确；由结论4可知B正确；由结论1可知C正确，由结论2可知D正确，故选B、C、D.
2.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝ .
答案：
解析：由结论3知＝，∴AB＝＝＝.
直线与平面平行的判定与性质
考向1 直线与平面平行的判定与证明
【例1】 如图，在四棱锥E-ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点.证明：AF∥平面BCE.
证明：法一 如图，取CE的中点M，连接FM，BM.
因为点F为棱DE的中点，所以FM∥CD且FM＝CD＝2，
因为AB∥CD且AB＝CD，
所以FM∥AB且FM＝AB，
所以四边形ABMF为平行四边形，
所以AF∥BM，
因为AF 平面BCE，BM 平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
法二 如图，在平面ABCD内，分别延长CB，DA，交于点N，连接EN.
因为AB∥CD，CD＝2AB，
所以A为DN的中点.
又F为DE的中点，
所以AF∥EN，
因为EN 平面BCE，AF 平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
法三 如图，取棱CD的中点G，连接AG，GF，
因为点F为棱DE的中点，所以FG∥CE，
因为FG 平面BCE，CE 平面BCE，
所以FG∥平面BCE.
因为AB∥CD，AB＝CG＝2，
所以四边形ABCG是平行四边形，所以AG∥BC，
因为AG 平面BCE，BC 平面BCE，
所以AG∥平面BCE.
又FG∩AG＝G，FG 平面AFG，AG 平面AFG，
所以平面AFG∥平面BCE.
因为AF 平面AFG，所以AF∥平面BCE.
考向2 直线与平面平行的性质
【例2】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，∠CAD＝30°，PA＝AB＝4，点N在线段PB上，且＝.
（1）求证：MN∥平面PDC；
（2）若平面PAB∩平面PCD＝l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由.
解：（1）证明：在正三角形ABC中，BM＝2.
在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD＝CD，又∠CAD＝30°，所以DM＝，所以BM∶MD＝3∶1，
所以BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD.
又MN 平面PDC，PD 平面PDC，所以MN∥平面PDC.
（2）假设直线l∥CD，因为l 平面PAB，CD 平面PAB，
所以CD∥平面PAB，
又CD 平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB，
这与CD与AB不平行矛盾，
所以直线l与直线CD不平行.
平面与平面平行的判定与性质
【例3】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH（GH与B1C1不重合）.
（1）求证：BC∥GH；
（2）若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明：（1）由三棱柱ABC-A1B1C1的性质知，平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1 AB，
∴A1G EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
（变条件，变设问）在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值.
解：如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
∴BC1∥D1O，则＝＝1.
又由题设得＝，
∴＝1，即＝1.
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）证明：平面A1BD∥平面CB1D1；
（2）若平面ABCD∩平面CB1D1＝直线l，证明：B1D1∥l.
证明：（1）由题设知BB1 DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，
所以BD∥平面CB1D1.
因为A1D1 B1C1 BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CB1D1，D1C 平面CB1D1，
所以A1B∥平面CB1D1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CB1D1.
（2）由（1）知平面A1BD∥平面CB1D1，
又平面ABCD∩平面CB1D1＝直线l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
平行关系的综合应用
【例4】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；
（2）若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
解：（1）证明：如图，连接CP并延长与DA的延长线交于点M，连接MD1，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝＝，
又因为＝＝，所以＝＝，所以PQ∥MD1，
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
（2）当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，
证明如下：因为＝，即＝，故＝，所以PR∥DA，
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，且截面为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，
又∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
同理可得CD∥平面EFGH.
（2）设EF＝x（0＜x＜4），
由于四边形EFGH为平行四边形，∴＝，
则＝＝＝1－，∴FG＝6－x，
∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长L＝2（x＋6－x）＝12－x.
又∵0＜x＜4，∴8＜L＜12，
故四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
1.（2024·榆林一模）若直线l平行于平面α，则（ ）
A.平面α内的所有直线都与直线l平行
B.平面α与直线l不存在公共点
C.平面α内不存在与直线l垂直的直线
D.平面α内的直线都与直线l异面
解析：B 若直线l平行于平面α，则平面α与直线l不存在公共点，故B正确；如图设l β，α∩β＝m，根据线面平行的性质定理可得l∥m，则在平面α内所有与直线m平行的直线均与l平行，设n α且n⊥m，则n⊥l，在平面α内所有与直线n平行的直线均与l垂直，故A、C、D错误.故选B.
2.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则直线AC和平面DEF的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.在平面内 D.不能确定
解析：A 如图，由＝得AC∥EF.又因为EF 平面DEF，AC 平面DEF，所以AC∥平面DEF.
3.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（ ）
A.2∶3 B.2∶5
C.4∶9 D.4∶25
解析：D ∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.
4.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.
5.（多选）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，则（ ）
A.BD∥平面EGHF
B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF
D.直线GE，HF，AC交于一点
解析：AD 因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD，则EF∥GH.易知BD∥平面EGHF，FH与AC为相交直线，故A正确，B、C错误；因为EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EGHF为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，而EG 平面ABC，FH 平面ACD，则点M在平面ABC与平面ACD的交线上，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，故D正确.
6.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
解析：AC 连接AD1（图略），∵F，G分别是B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，又AB∥C1D1且AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；连接A1C1（图略），∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又A1C1与平面BC1D1交于点C1，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵FG∥BC1，且FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误.故选A、C.
7.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.
答案：点M与点H重合（点M只要在线段FH上即可）
解析：连接HN，FH，FN（图略），则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点.求证：
（1）BF∥HD1；
（2）EG∥平面BB1D1D；
（3）平面BDF∥平面B1D1H.
证明：（1）如图所示，取DD1的中点M，连接AM，FM，
∵F，M分别是CC1，DD1的中点，
∴FM∥CD且FM＝CD，
又AB∥CD且AB＝CD，
∴AB∥FM且AB＝FM，
则四边形ABFM为平行四边形，∴BF∥AM.
∵H，M分别是AA1，DD1的中点，
∴AH∥MD1且AH＝MD1，
则四边形AMD1H为平行四边形，
∴AM∥HD1，故BF∥HD1.
（2）连接AC，交BD于点O，则O是BD的中点，连接OE，OD1，
∵O，E分别是BD，BC的中点，
∴OE∥CD且OE＝CD.
∵G是C1D1的中点，
∴D1G∥CD且D1G＝CD，
∴D1G∥OE且D1G＝OE，
则四边形D1GEO为平行四边形，
∴EG∥OD1.
又OD1 平面BB1D1D，EG 平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D.
（3）由（1）知BF∥HD1，∵HD1 平面B1D1H，BF 平面B1D1H，∴BF∥平面B1D1H.
由正方体的性质得BB1∥DD1且BB1＝DD1，则四边形BB1D1D为平行四边形，
∴BD∥B1D1，又B1D1 平面B1D1H，BD 平面B1D1H，
∴BD∥平面B1D1H.
又BF∩BD＝B，BF 平面BDF，BD 平面BDF，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是（ ）
A.直线BQ∥平面EFG
B.直线A1B∥平面EFG
C.平面APC∥平面EFG
D.平面A1BQ∥平面EFG
解析：B 过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别为AA1，BC的中点），连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B 平面EFG，HE 平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP 平面ADD1A1，GH 平面ADD1A1，延长GH与PA的延长线必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误.
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是（ ）
A.2 B.
C. D.3
解析：B 如图，分别取棱B1C1，BB1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN.因为正方体中A1M∥AE，MN∥EF，所以平面A1MN内两相交直线A1M，MN与平面AEF平行，所以平面A1MN∥平面AEF，则点P在线段A1N上.过点A作AH⊥A1N，垂足为H，连接DH，则DP≥DH，当且仅当P与H重合时，DP＝DH＝＝.故选B.
11.（多选）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（ ）
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D.当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值
解析：AD 根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC 平面ABCD，A1C1 平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图③所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确.
12.（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.CC1∥平面A1ABB1
B.AF∥平面A1B1C1
C.EF∥平面A1ABB1
D.AE∥平面B1BCC1
解析：ABC 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为CC1∥AA1，CC1 平面A1ABB1，AA1 平面A1ABB1，所以CC1∥平面A1ABB1，A正确；因为平面ABC∥平面A1B1C1，AF 平面ABC，所以AF∥平面A1B1C1，B正确；取AB中点G，连接A1G，GF（图略），因为G，F分别是棱AB，BC的中点，所以GF AC，且A1E AC，所以GF A1E，所以四边形GFEA1为平行四边形，所以EF∥A1G，EF 平面A1ABB1，A1G 平面A1ABB1，所以EF∥平面A1ABB1，C正确；取AC中点H，连接C1H（图略），易证得四边形AHC1E为平行四边形，所以EA∥C1H，C1H与平面B1BCC1相交，所以AE与平面B1BCC1相交，D不正确.故选A、B、C.
13.如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是 .
答案：平面ABC，平面ABD
解析：如图，连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝＝，得MN∥AB，又AB 平面ABC ，AB 平面ABD，MN 平面ABC，MN 平面ABD，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
14.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2.
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求三棱锥F-PCD的体积.
解：（1）证明：取PC的中点G，连接DG，FG.
∵四边形ABCD为正方形，且DE BC，FG BC，∴DE∥FG且DE＝FG，∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，
又∵EF 平面PCD，DG 平面PCD，∴EF∥平面PCD.
（2）∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于E到平面PCD的距离，
∴V三棱锥F-PCD＝V三棱锥E-PCD＝V三棱锥A-PCD＝V三棱锥P-ACD.
∵PA⊥平面ABCD，∴V三棱锥P-ACD＝×S△ACD×PA＝××22×2＝.
∴V三棱锥F-PCD＝V三棱锥P-ACD＝.
15.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ）
解析：C 如图，过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵＝＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1（0≤x＜1，1≤y＜），∴函数y＝f（x）的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.故选C.
16.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
（1）求证：EF∥平面β；
（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.
解：（1）证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF β，BD β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，
设平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四边形ACDH是平行四边形.
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF 平面EFG，∴EF∥平面β.
综合①②可知，EF∥平面β.
（2）如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，
MF＝AC＝2.
∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝＝，即EF＝
