2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试已知他们通过面试的概率都是，且两人的面试结果相互之间没有影响，则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则( )
A. B. C. D.
5.在中，点为的重心，则( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断错误的是( )
A. 若，，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
7.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则红球的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，为共扼复数，则为实数
B. 若为虚数单位，为正整数，则
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数、满足，则
10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”表示事件“至少出现一个奇数点”，则( )
A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立
11.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 在上单调递增
D. 的图象关于直线对称
12.已知在等边中，，为的中点，为的中点，延长交于点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为的样本，其中高二年级有学生人，抽取了人则该校高中学生总数是______人
14.已知平面向量不共线，且，若，，
三点共线，则 ______．
15.四种电子元件组成的电路如图所示，，，，电子元件正常工作的概率分别为，，，，则该电路正常工作的概率为______．
16.在如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且若，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图其中等餐所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，，．
求频率分布直方图中的值．
利用频率分布直方图估计样本的平均数每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表
18.本小题分
一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字，，，，将该正四面体连续抛掷次，记录每一次底面的数字．
求两次数字之和为的事件的概率；
两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率．
19.本小题分
如图所示，四面体中，，分别是，的重心，设，，，点，，分别为，，的中点．
试用向量，，表示向量，；
试用空间向量的方法证明、、、四点共面．
20.本小题分
甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面底面，侧面是边长为的等边三角形，底面是正方形，是侧棱上的点，是底面对角线上的点，且，．
求证：；
求证：平面；
求点到平面的距离．
22.本小题分
已知向量，，函数．
求的最小正周期；
当时，求的零点和单调递增区间．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由频率分布直方图可得，，
解得；
由频率分布直方图可得，平均数为：
．
18.解：由题意，次所得数字，且，分别表示第一次、第二次的对应数字，
基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，共种；
其中两次数字之和为的事件有，，共种；
所以两次数字之和为的事件的概率为．
由，数字之和为，，，，，，，
有，概率为；
有，，概率为；
有，，，概率为；
有，，，，概率为；
有，，，概率为；
有，，概率为；
有，概率为；
所以两次数字之和为的事件概率最大，概率为．
19.解：在中，，分别，的中点，
，且，
又，，
在中，是的中心，是的中点，
由平行四边形法则可得，
，，，
，，
又，
故，；
证明：由得，
，分别是，的重心，
，，
，
又，
∽，
，且，
，
，
，
、、、四点共面．
20.解：因为甲每轮猜对的概率为，
所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对个，乙猜对一个，和甲猜对个，乙猜对个，
所以所求概率为．
21.解：证明：因为侧面底面，且侧面底面，
，面，
所以面，
因为面，
所以．
证明：过作交于点，过点作交于点，连接，
因为，
所以，
同理可得，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又面，面，
所以面．
由知面，
所以点到平面的距离是点到平面的距离，
在平面内过点作于，
因为面，
所以，
所以面，
所以是点到平面的距离，
在中，，，
所以，
所以点到平面的距离为．
22.解：，，
，
故的最小正周期为．
令，即，，解得，，
，
的零点为和，
令，，解得，，
，
的单调递增区间为，．
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