北海市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：北师大版必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数 满足 ，则 的虚部为
A． B． C． D．
2．在平行四边形 中，点 满足 ，则
A． B． C． D．
3．已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积是
A． B． C． D．
4．在 中，内角 ,,的对边分别为 ，且 ，则
A． B． C． D．
5．密位制是度量角的一种方法. 把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角. 以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制. 在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写. 密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”.1周角等于6000密位，记作1周角 ,1直角 . 如果一个半径为3的扇形，它的面积为 ，则其圆心角用密位制表示为
A． B． C． D．
6．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数为奇函数，则 可能的取值为
A． B． C． D．
7．如图，在正四面体 中，点 是线段 上靠近点 的四等分点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
8．已知函数 的图象与函数 的图象交于 两点，则（为坐标原点）的面积为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在 方格中，向量 的起点和终点均为小正方形的顶点，则
A． B． C． D．
10．如图，在棱长为2的正方体 中，是棱 的中点，是线段 上的一个动点，则下列说法正确的是
A．正方体 的内切球的表面积为
B．
C．三棱锥 的体积随着 的变化而变化
D．存在点 ，使得 平面
11．已知函数 . 则
A．函数 的最小正周期为
B．直线 是函数 的图象的一条对称轴
C．若 时，恒成立，则实数 的取值范围为
D．将函数 的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象. 若 时，函数 有且仅有5个零点，则实数 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在单位圆上有三点 ，设 三边长分别为 ,，则 .
13．已知向量 是单位向量，若 ，则 与 的夹角为 .
14．如图，三棱台 的上、下底边长之比为 ，三棱锥的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（本小题满分13分）
（1）已知 ，复数 是纯虚数，求 的值；
（2）已知 ，设 （是虚数单位），求 .
16．（本小题满分15分）
已知角 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
17．（本小题满分15分）
如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底 同在水平面内的两个测点 与 . 在 点测得塔底 在北偏东 方向，然后向正东方向前进20米到达 ，测得此时塔底 在北偏东 方向.
（1）求点 到塔底 的距离 ;
（2）若在点 测得塔顶 的仰角为 ，求铁塔高 .
18．（本小题满分17分）
在 中，内角,,的对边分别为 ，记 的面积为 ，且 .
（1）求角 ;
（2）若 为 的中点，且 ，求 的内切圆的半径.
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱锥 中，是等边三角形，,,,，分别为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ;
（2）求二面角 的余弦值.
【参考答案】
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．A
2．B
3．C
4．A
5．B
6．C
7．D
8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．BCD
10．ABD
11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．2
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（1） 解：因为复数 是纯虚数，所以 …………4分
解得 ；…………6分
（2） 因为 ，所以 ，所以 …………10分
解得 ,，所以 .…………13分
16．（1） 解：由题意角 ，由 得 .
则，…………3分
所以，…………6分
所以；…………9分
（2） .…………15分
17．（1） 解：由题意可知，，，故 ,…………1分
在中，由正弦定理，得，即，…………4分
所以（米）.
因此点到塔底得距离为米；…………7分
（2） 在中，由正弦定理，得，…………8分
得
，…………12分
在 中，，
所以铁塔高为米.…………15分
18．（1） 解：因为，所以，…………3分
由余弦定理得 ，所以 ，…………6分
又，所以；…………8分
（2） 因为 为 的中点，所以 ,
所以 ,
解得或（舍），…………11分
由余弦定理得 ，所以 .…………14分
设 的内切圆半径为 ,则,所以，解得.…………17分
19．（1） 证明：因为 ,，，易得 ，
又 ,，所以 ，所以 ，…………2分
又 ,,,平面 ，所以 平面 ，…………3分
又平面，所以.…………4分
因为 是等边三角形，是 的中点，所以 ,
又 ,,平面 ，所以 平面 ，…………6分
又平面,所以平面平面;…………7分
（2） 解：因为 平面 ,平面 ，所以平面 平面 .
在 中，过 作 的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，如图所示.
因为平面 平面 ，平面 平面 ,,平面 ,
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
因为 ,,平面 ，所以 平面 ,
又 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角.…………11分
在 中，，
又 平面 ,平面 ，所以 .
在 中，,
所以 ，解得 .
因为 平面 ,平面 ，所以 ，又 ，
在中， .
，即二面角的平面角的余弦值为.…………17分
