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必备知识·逐点夯实
第二节 两直线的位置关系
第九章 直线与圆、圆锥曲线
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
【核心素养】
数学运算、直观想象、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 两条直线的位置关系在高考中一般不单独成题,点到直线的距离公式时常与圆相结合出现在选择题或填空题中.
预测 预计2025年高考两直线平行、垂直仍会出现.一般在选择题、填空题中出现,也可能在解答题中交汇出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.两条直线的位置关系
(1)位置关系
项目 斜截式 一般式
方程 y=k1x+b1,y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(+≠0),A2x+B2y+C2=0(+≠0)
相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
垂直 k1k2=___ ____________
平行 k1=k2,且_____ 或
重合 k1=k2,且_____ A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
-1
A1A2+B1B2=0
b1≠b2
b1=b2
(2)交点坐标
若直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0),
l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)相交,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
②结论:|P1P2|=_____________________.
③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=.
(2)点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=____________.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=___________.
微点拨
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等.
常用结论
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
2.点关于特殊的直线的对称问题的结论:
点的坐标 对称直线 对称点的坐标
点P(x0,y0) y=x (y0,x0)
y=-x (-y0,-x0)
x+y+t=0 (-t-y0,-t-x0)
x-y+t=0 (y0-t,x0+t)
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4,5
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两条直线斜率相等,则两直线平行.( )
提示:(1)两直线有可能重合,故(1)错误.
(2)若l1∥l2,则k1=k2.( )
提示:(2)可能出现两直线斜率不存在情况,故(2)错误.
×
×
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.
( )
提示:(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,则该直线垂直于x轴,另一条直线的斜
率存在,则该直线不与x轴垂直,所以两直线相交,故(3)正确.
(4)若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合.( )
提示:(4)两直线斜率都不存在,可能重合,可能平行,故(4)正确.
√
√
2.(选择性必修一人AP57例5变形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形
是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A为直角顶点的直角三角形
D.以B为直角顶点的直角三角形
【解析】选D.直线AB的斜率kAB==-,直线BC的斜率kBC==2,
由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.
3.(选择性必修一人AP57练习T2变条件)若直线3x-2y-1=0与3x-ay+6=0平行,则a=( )
A.-2 B.-1 C. D.2
【解析】选D.由题意=,则a=2.经检验两条直线不重合.
4.(忽视直线斜率不存在的情形致误)(多选题)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3), D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选BD.当AB与CD的斜率均不存在时,m=2m,m+1=1,故得m=0,此时AB∥CD;当kAB=kCD,即m≠0时,=,解得m=2,此时AB∥CD.
5.(误用两平行线间的距离公式致误)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为( )
A.8 B.4 C. D.
【解析】选D.因为l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d==.
核心考点·分类突破
考点一 两条直线的平行与垂直
[例1](一题多法)
已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)试判断a为何值时,l1与l2平行;
【解析】(1)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平
行于l2;当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),l1∥l2
解得a=-1,综上可知,当a=-1时,l1∥l2.
方法二:显然a≠0,l1∥l2,则=≠
可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2.
[例1](一题多法)
已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(2)当l1⊥l2时,求a的值.
【解析】(2)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;
当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;当a≠1且a≠0时,l1:y=-x-3, l2:y=x-(a+1),由(-)·=-1,得a=.
方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=.
解题技法
1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行或垂直的方法
(1)两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;
(2)两直线垂直 两直线的斜率之积等于-1.
提醒:当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.
2.由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)
l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)
l1与l2平行的充要条件
l1与l2垂直的充要条件 A1A2+B1B2=0
l1与l2相交的充要条件 ≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充要条件 ==
提醒:在判断两直线的位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择题、填空题时,建议多用比例式来解答.
对点训练
1.(2024·合肥模拟)直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,则a=( )
A.0 B.1 C.-1 D.1或-1
【解析】选B.因为直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,
所以a=1或a=-1.当a=-1时,直线l1:x-y-1=0与直线l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.
2.(2024·贵阳模拟)已知直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则m的值为( )
A. B. C.2 D.3
【解析】选A.因为直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则2m-1=0,解得m=.
【加练备选】
若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值
为________.
【解析】由两直线垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥2,ab≤,
当且仅当a=1,b=时,等号成立,故ab的最大值为.
考点二 距离问题
[例2](1)已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4 B. C. D.
【解析】选D.由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+=0,则所求距离是=.
(2)过点A(-1,2),到原点的距离等于1的直线方程为____________________.
【解析】当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.
由题意可得=1,解得k=-,因此所求直线的方程为3x+4y-5=0.当直线的斜率不存在时,直线x=-1满足题意.
综上,所求直线的方程为3x+4y-5=0或x=-1.
3x+4y-5=0或x=-1
一题多变
[变式1]将例(1)变为:求到两平行直线3x+y-3=0和6x+my-1=0距离相等的直线的方程.
【解析】由题意得=≠,解得m=2,将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,
则所求直线方程可以设为6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),
由=,解得t=-,因此所求直线的方程为6x+2y-=0.
[变式2]将例(1)变为:已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上运动,求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.
【解析】(x1-x2)2+(y1-y2)2的几何意义是点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间距离的平方,
由题意知,两直线3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,
因此该距离的最小值即两条平行直线间的距离,==.
可知+的最小值为.
解题技法
距离问题的求解策略
(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解,注意直线方程应为一般式.
(2)两平行线间的距离的求法
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
②利用两平行线间的距离公式求解,利用公式前需把两平行线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.
对点训练
1.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,则实数a的值为( )
A.-1 B. C.-1或 D.1或-
【解析】选C.因为点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,可得
===5,
整理得10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,
解得a=-1或a=.
2.(2024·北京模拟)设d为动点P(cos θ,sin θ)到直线x-y-2=0的距离,则d的最大值
为( )
A.-1 B. C.1+ D.3
【解析】选C.点P(cos θ,sin θ)到直线x-y-2=0的距离d==,
因为-1≤cos(θ+)≤1,则--2≤cos(θ+)-2≤-2,
所以当cos(θ+)=-1时,dmax==1+.
3.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.4
【解析】选A.由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,
设该直线方程为x+y+c=0,则=,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,
所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.
【加练备选】
(2024·遂宁模拟)抛物线y=x2上的点P到直线x-y-2=0距离的最小值为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.设抛物线y=x2上一点为P(x0,),点P(x0,)到直线x-y-2=0的距离d==,所以当x0=,即P(,)时,到直线x-y-2=0的距离最短,为.
考点三 对称问题
考情提示
对称问题常常涉及中点坐标、两条直线的垂直关系及直线方程的求解等问题,其中掌握中心对称及轴对称满足的几何条件是解决此类问题的关键.
角度1 中心对称问题
[例3]直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是_____________.
【解析】设所求直线上任一点(x,y),则关于M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上,所以所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.
x-2y+11=0
解题技法
中心对称问题的解法
(1)若点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P'(x',y'),则
(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.
角度2 轴对称问题
[例4](1)已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,则点A关于直线l的对称点
A'的坐标为______________.
【解析】(1)设点A'的坐标为(x,y).由题意可知解得
所以点A'的坐标为(2,6).
(2,6)
(2)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是______________.
【解析】(2)设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),
由得
因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.
x-2y+3=0
解题技法
轴对称问题的解法
(1)若点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为A'(m,n),则有
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.
对点训练
1.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是( )
A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0
【解析】选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,
所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.
2.(多选题)光线自点(4,2)射入,经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3,0),则反射光线经过的点为( )
A. (14,) B.(9,-15)
C.(-3,15) D.(13,2)
【解析】选BC.由题意知,k=tan 45°=1,设点(4,2)关于直线y=x+1的对称点为(m,n),
则,解得,
所以反射光线所在的直线方程为y=(x-3)=(x-3),
所以当x=9时,y=-15;当x=-3时,y=15.
谢谢观赏！！9.2-两直线的位置关系-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1. （改编）若直线，的斜率分别为方程的两个根，则直线，的夹角为（ ）.
A. B. C. D.
2. 已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（ ）.
A. 7 B. 9 C. 11 D.
3. 平行直线和直线间的距离为（ ）.
A. 0 B. C. 3 D.
4. 已知直线，，其中，则“”是“”的（ ）.
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. （改编）已知直线，若直线与垂直，且的倾斜角为 ，则（ ）.
A. B. C. D.
6. [2024·云南联考]当点到直线的距离取得最大值时，（ ）.
A. 2 B. C. D.
7. 已知点关于直线的对称点为，若直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ）.
A. B. C. D.
8.(2024·九省适应性测试)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足=(1,-3),记P的轨迹为E,则( ).
A.E是一个半径为的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为
D.E是两条平行直线
综合提升练
9. （多选题）对于直线,，以下说法正确的是（ ）.
A. “”的充要条件是“” B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5
10. [2024·台州模拟]（多选题）已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）.
A. 在轴上的截距为 B. 能表示过点的任意直线
C. 若，则或 D. 若，则
11. [2024·嘉兴模拟]已知直线与直线和的交点分别为,，若是线段的中点，则直线的方程为__________.
12. [2024·宁波模拟]（双空题）已知，及直线，，作直线垂直于，，且垂足分别为,，则 ,的最小值为_______
应用情境练
13. 如图，射线，所在直线的方向向量分别为，，点在内，于点，于点.
（1）若，,，求的值；
（2）若，的面积是，求的值.
创新拓展练
14. （双空题）已知直线，，，且原点到直线的距离是，则 .若，点同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是.点的坐标为_______
15. [2024·广东阶段练习]瑞士数学家欧拉于1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上,后来,人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点,,其欧拉线方程为,给出以下四个结论:
的外心为;的顶点的坐标可能为；的垂心坐标可能为;的重心坐标可能为,.其中正确结论的序号是_______
9.2-两直线的位置关系-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. （改编）若直线，的斜率分别为方程的两个根，则直线，的夹角为（ D ）.
A. B. C. D.
[解析]因为直线，的斜率分别为方程 的两个根，
由根与系数的关系得，所以直线，的夹角为 .故选.
2. 已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（ A ）.
A. 7 B. 9 C. 11 D.
[解析]因为直线 与直线 垂直，所以,解得，
又点 在直线 上，所以将 代入，得，
则垂足为.又点 在 上，将 代入，得，所以.故选.
3. 平行直线和直线间的距离为（ D ）.
A. 0 B. C. 3 D.
[解析]若直线 与直线 平行，
则，解得 或.
当 时，直线 与直线 重合，舍去，
当 时，直线 与直线 平行，
此时直线 与直线 间的距离为.故选.
4. 已知直线，，其中，则“”是“”的（ C ）.
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
[解析]已知直线，，
由，得，解得 或，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选.
5. （改编）已知直线，若直线与垂直，且的倾斜角为 ，则（ A ）.
A. B. C. D.
[解析]因为直线 与 垂直，所以，又,所以.
因为 的倾斜角为 ，所以.因为，所以，
所以.故选.
6. [2024·云南联考]当点到直线的距离取得最大值时，（ C ）.
A. 2 B. C. D.
[解析]将直线 转化为，
联立 解得 所以直线经过定点，
当直线 与该直线垂直时，点 到该直线的距离取得最大值，
此时，解得.故选.
7. 已知点关于直线的对称点为，若直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ B ）.
A. B. C. D.
[解析]设，则
解得 所以.
设点 到直线 的距离为，
当 时取得最大值，
此时直线 垂直于直线，
所以直线 的斜率，
所以直线 的方程为，
即.故选.
8.(2024·九省适应性测试)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足=(1,-3),记P的轨迹为E,则( C ).
A.E是一个半径为的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为
D.E是两条平行直线
[解析] 设P(x,y),由=(1,-3),得Q(x-1,y+3),
由点Q在直线l:x+2y+1=0上,得x-1+2(y+3)+1=0,
化简得x+2y+6=0,即点P的轨迹E为一条直线且与直线l平行,
E上的点到l的距离d==,故A,B,D错误,C正确.
故选C.
综合提升练
9. （多选题）对于直线,，以下说法正确的是（ BD ）.
A. “”的充要条件是“” B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5
[解析]当 时，，解得 或，当 时，直线,的方程分别为,，符合题意，当 时，直线,的方程分别为,，符合题意，故 错误；
当 时，直线,的方程分别为,，，所以，故 正确；
直线，即，故直线 过定点，故 错误；
因为直线 过定点，所以当直线 与点 和点 的连线垂直时，到直线 的距离最大，最大值为，故 正确.故选.
10. [2024·台州模拟]（多选题）已知直线，直线，则下列结论正确的是（ AD ）.
A. 在轴上的截距为 B. 能表示过点的任意直线
C. 若，则或 D. 若，则
[解析]对于，在直线 中,令，则，故 正确；
对于，在直线 中，令,则，故直线 过定点，但无法表示直线，故 错误；
对于，且，故 错误；
对于，，故 正确.故选.
11. [2024·嘉兴模拟]已知直线与直线和的交点分别为,，若是线段的中点，则直线的方程为 .
[解析]因为直线 与直线 和 的交点分别为,，
设,，
且 是线段 的中点，由中点公式可得
解得,，所以直线 的斜率，
所以直线 的方程为，即.
12. [2024·宁波模拟]（双空题）已知，及直线，，作直线垂直于，，且垂足分别为,，则 ,的最小值为 .
[解析]由题意知，直线 与 互相平行，
作直线 垂直于，，且垂足分别为，（图略）.
由两平行线间的距离公式可得，
因为，，
设直线 的方程为，
联立 解得,，
同理求得,，
所以，
其中 表示点 与点 和 之间的距离之和，当点 与点 重合时，取得最小值，
所以 的最小值为，所以 的最小值为.
应用情境练
13. 如图，射线，所在直线的方向向量分别为，，点在内，于点，于点.
（1）若，,，求的值；
（2）若，的面积是，求的值.
[解析]（1）因为,，所以，
若，则，所以直线 的方程为，即，
则点 到直线 的距离为，
所以.
（2）直线 的方程为,点 到直线 的距离,所以,
所以 的面积为,
所以 或.
创新拓展练
14. （双空题）已知直线，，，且原点到直线的距离是，则 .若，点同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是.点的坐标为,.
[解析]因为原点到直线 的距离,所以，所以.
若，得，所以直线.
设存在点 满足题意，
由点 到 的距离是点 到 的距离的2倍，得，即，
由点 到 的距离与点 到 的距离之比是，
得，即.
因为,，所以,，
故满足条件的点 的坐标为,.
15. [2024·广东阶段练习]瑞士数学家欧拉于1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上,后来,人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点,,其欧拉线方程为,给出以下四个结论:
的外心为;的顶点的坐标可能为；的垂心坐标可能为;的重心坐标可能为,.其中正确结论的序号是①③④.
[解析]由顶点,,可知线段 的垂直平分线的方程为,
的外心在直线 上,
联立 可得外心坐标为,故①正确；
设外心为,则,故,
所以外接圆方程为,
设,则 的重心为,,代入欧拉线方程 中,得,联立解得或
即点 坐标可以为,,故②错误；
由点 坐标为,,可知重心可能为,,,,故④正确；
当点 坐标为 时,过点 且和 垂直的直线方程为,
联立欧拉线方程 可解得垂心坐标为，
当点 坐标为 时,过点 且和 垂直的直线方程为,
联立欧拉线方程 可解得垂心坐标为,故③正确
