3.1.1 函数的概念（同步训练）
一、选择题
1.(多选)下列各组函数是同一函数的有( )
A.f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B.f(x)＝与g(x)＝x
C.f(x)＝与g(x)＝ D.f(x)＝x与g(x)＝
2.下列各式中是函数的个数为( )
①y＝6；②y＝－x2；③y＝4－x；④y＝＋．
A.4 B.3 C.2 D.1
3.函数f(x)＝的定义域为( )
A.(－∞，5] B.[5，＋∞)
C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，5]
4.已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "sx36A．TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小样\\全优人教数学必修第一册(教师用书2023.8.9出教师用书)\\sx36A.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(A)) eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "sx36B．TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小样\\全优人教数学必修第一册(教师用书2023.8.9出教师用书)\\sx36B.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(B))
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "sx36C．TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小样\\全优人教数学必修第一册(教师用书2023.8.9出教师用书)\\sx36C.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(C)) eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "sx36D．TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小样\\全优人教数学必修第一册(教师用书2023.8.9出教师用书)\\sx36D.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(D))
5.下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A.A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→ B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D.A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
6.下列图形中，不能确定y是x的函数的是( )
7.函数y＝的定义域为( )
A.[－3，1] B.[－1，3]
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
8.已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则f(2x＋1)的定义域为( )
A.(－1，1) B.
C.(－1，0) D.
9.若函数f (x)＝ax2－1，a为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a的值是( )
A.1 B.0
C.－1 D.2
二、填空题
10.设f(x)＝，则f(f(x))＝__________
11.已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a的值为________
12.已知函数f(x)的定义域为(0，2)，则f(x－1)的定义域为____________
13.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.3]＝2，[－0.5]＝－1，当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为________
三、解答题
14.判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝()2，g(x)＝；(2)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1．
15.求下列函数的值域：
（1）y＝＋1； （2）y＝．
16.已知函数f(x)＝x＋．
(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
参考答案及解析：
一、选择题
1.AC 解析：对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f(x)＝＝－x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一函数．故选AC．
2.B 解析：根据函数的定义可知①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则∴∴x无解，∴④不是函数．
3.D 解析：要使得函数有意义，则5－x≥0且x－2≠0，解得x≤5且x≠2，则函数的定义域为(－∞，2)∪(2，5]．故选D．
4.D 解析：选项A，当0＜x≤4时，每个x对应2个y，错误；选项B，不满足定义域为A＝{x|0≤x≤4}，错误；选项C，不满足值域为B＝{x|0≤x≤2}，错误；选项D，每个x都满足从集合A到集合B的函数关系，正确．故选D．
5.C 解析：A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，x＝1时，|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应．
6.D 解析：(1)任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．由此可知D不满足要求，因此不表示函数关系．
7.B 解析：由题意，令－x2＋2x＋3≥0，即x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，所以函数的定义域为[－1，3]．故选B．
8.B 解析：由题意，令－x2＋2x＋3≥0，即x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，所以函数的定义域为[－1，3]．故选B．
9.A 解析：∵f (－1)＝a－1，∴f (f (－1))＝f (a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0，∴a＝0或a＝1．又a>0，∴a＝1．故选A．
二、填空题
10.答案：(x≠0且x≠1) 解析：f(f(x))＝＝＝．
11.答案：16
解析：因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1．又因为f(a)＝3，所以－1＝3，解得a＝16．
12.答案：(1，3)
解析：由题意知0＜x－1＜2，解得1＜x＜3，故f(x－1)的定义域为(1，3)．
13.答案：[0，2)∪(2，3)
解析：依题意，当－1.5＜x＜－1时，[x]＝－2，则y＝－2x∈(2，3)；当－1≤x＜0时，[x]＝－1，则y＝－x∈(0，1]；当0≤x＜1时，[x]＝0，则y＝0；当1≤x＜2时，[x]＝1，则y＝x∈[1，2)．所以当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为[0，2)∪(2，3)．
三、解答题
14.解：(1)由于函数f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，
而g(x)＝的定义域为{x|x∈R}，
它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．
(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．
15.解：（1）因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
（2）因为y＝＝－1＋，且函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0＜≤2，则y∈(－1，1]，所以所求函数的值域为(－1，1]．
16.解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝．
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋．
