第十四章《整式的乘法与因式分解》复习试卷（解析版）
一、选择题：（本题共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一项符合题目要求．）
1 . 下面是一位同学做的四道题：
①；②；③；④，
其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方进行选择即可．
【详解】解：①，故错误；
②，故错误；
③，正确；
④，故错误．
故选C．
2 . “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，梅花花粉的直径约为，
用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【解析】是多项式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
，结果不是几个最简整式的乘积，不是因式分解，故B不符合题意；
，符合因式分解得定义，是因式分解，故C符合题意；
，分母中含有字母，不是因式分解，故D不符合题意．
故选C．
若是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活变形是解题的关键，需注意要分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况，否则容易遗漏答案．
根据完全平方公式，分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：C．
5．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
【答案】A
【分析】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.
【详解】解: xy＝﹣3，x+y＝2,
x2y+xy2= xy (x+y)=-32=-6.
故答案：A.
6 .若，则m、n的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于m，n的方程来确定m，n的值．
【详解】∵（x-1）（x+3）=x2+2x-3=x2+mx+n，
∴m=2，n=-3．
故选C．
将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，
其中错误的是（ ）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
【答案】A
【分析】分别将四个选项中的式子与多项式4x2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.
【详解】A、4x2+1+2x，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；
B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
D 、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，
故选A.
8．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积可表示为其边长×边长和4个全等长方形的面积+中间小正方形的面积求解即可．
【详解】解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积可表示为：．
∵4个全等长方形的长和宽分别为a，b，中间小正方形的边长为，
∴大正方形的面积还可表示为：，
∴用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为：．
故选D．
9． 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则拼成长方形的另一边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用．根据题意，面积前后不发生改变，据此列式，可得拼成长方形的另一边长是，再计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：拼成长方形的另一边长是
．
故选：B
10．如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②．这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图②中Ⅱ部分的面积是( )
A．60 B．100 C．125 D．150
【答案】B
【分析】分析图形变化过程中的等量关系，求出变化后的长方形Ⅱ部分的长和宽即可．
【详解】解：如图：
∵拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a-b），
∴，解得a=25，b=5，
∴长方形Ⅱ的面积=b（a-b）=5×（25-5）=100．
故选∶B．
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．若(2x+3)0=1,则x .
【答案】≠-
【分析】根据幂的含义以及求法，可得非零数的零次幂等于1，据此解答即可．
【详解】解：非零数的零次幂等于1．
∴2x+3≠0，
∴x≠-
故答案为≠-．
12．若，则的值为 ．
【答案】7
【详解】分析：把a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab=1代入计算，即可求出a2+b2的值．
详解：把a+b=3两边平方得：（a+b）2=a2+2ab+b2=9，将ab=1代入得：a2+b2=7．
故答案为7．
13．已知长方形的面积为4a2-4b2,如果它的一边长为a+b，则它的周长为 ．
【答案】10a-6b
【分析】直接利用提公因式法和公式法因式分解得到另一边长，进而得出答案．
【详解】∵，长方形的一边长为a+b
∴长方形的另一边长为
∴该长方形的周长为：（4a-4b+a+b）×2=10a-6b，
故答案为：10a-6b
14．已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．
【答案】2
【分析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．
【详解】（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，
当ab=a+b+1时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为2．
如图1，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，
再将图中的阴影部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，
如图2，则图2中（1）部分的面积是 ．
【解答】解：根据题意得，，，解得，，，
图2中（1）的面积为，
故答案为：150．
16 .如图1中的小长方形的长为，宽为，
将四个同样的小长方形拼成如图2所示的正方形，则小长方形的面积为 ．
【解答】解：由图2可知，
，
解得：，
则小长方形的面积为．
故答案为：3．
17．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，
“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，
请利用上述方法将分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】令，代入后因式分解后，再将还原即可得到答案．
【详解】解：令，
则原式，
再将还原，原式，
故答案为：．
如图所示，两个正方形的边长分别为和，
如果，，那么阴影部分的面积是 ．
【解答】解：由图可知，
五边形的面积正方形的面积梯形的面积，
，
阴影部分的面积五边形的面积三角形三角形
，
，，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：30．
三、解答题（本题共6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。）
19．计算：．
【答案】4
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方．
熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方是解题的关键．
先计算负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
20．对于任意实数、、、，我们规定符号的意义是按照这个规律计算：
（1）______
（2）当时，求的值．
【答案】（1）-2；（2）1
【分析】（1）直接按规定的法则计算即可；
（2）先解变形为，再按法则把 转化为(x+1)(x-1)-3x(x-2)按多项式乘多项式法则，单项式乘多项式运算法则计算，合并同类项，然后把代入计算即可．
【详解】（1）=5×8-7×6=40-42=-2，
故答案为：-2；
（2）∵，
∴，
∴
=(x+1)(x-1)-3x(x-2)，
= x2-1-3x2+6x，
=-2x2+6x-1，
=-2(x2-3x)-1，
=-2×(-1)-1，
=1．
21．因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)； (2) (b-1)(x+y)(x-y)；(3) (3x+y+2)(3x-y-2)；(4) y(y-2)2.
【分析】(1)先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可.
(2)变形之后，先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可.
(3) 先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可.
【详解】(1)原式=；
(2) 原式=，
=，
=；
(3) 原式=，
=
22．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，多项式乘以多项式，多项式乘以单项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以多项式化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
．
当时， 原式．
23．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)用完全平方公式分解因式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式的特点即可得到答案；
（2）观察可知第四步的结果括号内还可以用完全平方公式分解因式；
（3）仿照题意进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是用完全平方公式分解因式；
（2）解：设，
原式
，
∴该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为
（3）解：设，
∴
．
如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，
规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
【答案】（1）5a2+3ab；（2）63.
【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）根据题意得：
（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab；
（2）当a=3，b=2时，
原式=.
25．仔细阅读下面例题，解答问题
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b＝ ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），
求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）-3；（2）9；（3）另一个因式为（x+5），k的值为25．
【分析】（1）将（x-2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（2）（2x-1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x-k=（2x-5）（x+n）=2x2+（2n-5）x-5n，可知2n-5=5，k=5，继而求出n和k的值及另一个因式．
【详解】（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，
∴a﹣2=﹣5，
解得：a=﹣3；
（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，
∴b=9；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣5）（x+n）=2x2+（2n﹣5）x﹣5n，
则2n﹣5=5，n=5，
解得：n=5，k=25，
故另一个因式为（x+5），k的值为25．
26 .数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的学科，
同学们，我们就用数形结合思想来解决下面问题吧!
将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，
你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_________．
将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，
你根据两个图形的面积关系写出一个等式：（________）_______．
图③甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，
把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，
则图③乙中间空余的部分的面积是__________．
(4)观察图③乙，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是________．
(5)根据（4）中等量关系解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)，（也可）
(4)（移项变式后答案皆可）
(5)
【分析】（1）分别表示出两个图形的面积即可得出结果；
（2）分别表示出图甲，图乙的面积即可；
（3）中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得；
（4）根据阴影部分面积可得关于，，ab的等式；
（5）利用（4）中结论代入求解即可．
（1）解：图甲：大矩形的面积可表示为：（a-b）（a+b）；
图乙：大正方形的边长为a，图形的面积可表示为：，
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是，
故答案为：；
（2）解：图甲的面积可表示为：（a-b）（a+2b），
图乙的面积可表示为：，
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是（a-b）（a+2b）=，
故答案为：a+2b，；
（3）解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b-2b=a-b，
则面积是．
故答案为：；
（4）解：根据图形得出
（5）解：根据阴影部分面积可得：，
∵，，
∴，
∴mn=6．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第十四章《整式的乘法与因式分解》复习试卷
一、选择题：（本题共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一项符合题目要求．）
1 . 下面是一位同学做的四道题：
①；②；③；④，
其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2 . “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，梅花花粉的直径约为，
用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
若是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
6 . 若，则m、n的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，
其中错误的是（ ）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，
用两种不同的方法表示这个大正方形的面积， 则可以得出一个等式为（ ）
A． B．
C． D．
9． 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则拼成长方形的另一边长是（ ）
A． B． C． D．
10． 如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，
再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②．这个拼成的长方形的长为30，宽为20，
则图②中Ⅱ部分的面积是( )
A．60 B．100 C．125 D．150
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．若(2x+3)0=1,则x .
12．若，则的值为 ．
13．已知长方形的面积为4a2-4b2,如果它的一边长为a+b，则它的周长为 ．
14．已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．
如图1，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，
再将图中的阴影部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，
如图2，则图2中（1）部分的面积是 ．
16 .如图1中的小长方形的长为，宽为，
将四个同样的小长方形拼成如图2所示的正方形，则小长方形的面积为 ．
17．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，
“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，
请利用上述方法将分解因式的结果是 ．
如图所示，两个正方形的边长分别为和，
如果，，那么阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本题共8小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。）
19．计算：．
20．对于任意实数、、、，我们规定符号的意义是按照这个规律计算：
（1）______
（2）当时，求的值．
21．因式分解：
(1)
(2)
(3)
22．先化简，再求值：，其中，．
23．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，
规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
25．仔细阅读下面例题，解答问题
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b＝ ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），
求另一个因式以及k的值．
26 .数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的学科，
同学们，我们就用数形结合思想来解决下面问题吧!
将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，
你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_________．
将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，
你根据两个图形的面积关系写出一个等式：（________）_______．
图③甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，
把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，
则图③乙中间空余的部分的面积是__________．
(4)观察图③乙，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是________．
(5)根据（4）中等量关系解决如下问题：若，，求的值．
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