中考专题复习之图形的变化
知识梳理
1.点关于 x 轴、y 轴、原点对称
设任意一点 P(x,y),则关于x轴对称点为(x,-y),关于y 轴对称点为(-x,y),关于原点的对称点为(-x,-y).
2.轴对称图形
轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线叫作对称轴.互相重合的点叫作对应点.
3.轴对称
轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合，这条直线叫作对称轴.互相重合的点叫作对应点.
4.轴对称的性质
轴对称的性质如下：
(1)成轴对称的两个图形全等.
(2)对称轴与连接对应点的线段垂直.
(3)对应点到对称轴的距离相等.
(4)对应点的连线互相垂直.
5.中心对称
一个图形旋转180°能与自身重合，则这个图形叫作中心对称图形.特征：连接对应点的线段必然经过对称中心，并被对称中心平分成相等的两部分.
6.图形的平移
平面图形在它所在的平面内平行地移动.决定因素：平移的方向、平移的距离.其特征如下：
(1)对应点间的连线平行且相等(或在同一条直线上).
(2)对应边平行且相等(或在同一条直线上).
(3)对应角相等.
(4)图形的形状和大小不变.
7.图形的旋转
一个平面图形绕一定点按一定的方向旋转一定的角度的运动叫作旋转.旋转对称图形：一个图形绕内部某一点旋转一定的角度能与自身重合.其特征如下：
(1)图形上每一点都绕同一点按相同的方向和角度旋转.
(2)对应点到旋转中心的距离相等.
(3)对应边相等，图形的形状、大小不改变.
8.由三视图想象几何体的形状
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：
(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状及几何体的长、宽、高.
(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线.
(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助.
(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
规律方法指导如下：
(1)画几何体的三视图.画三视图时应注意三视图的位置要准确，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线，主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等.
(2)由三视图想象物体的形状.根据三视图想象物体的形状，一般由俯视图确定物体在平面上的形状，由左视图、主视图想象物体在空间上的形状，从而确定物体的形状.
9.画图方法
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下.
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
要点诠释如下：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其次，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；第三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
典型例题
例 1
下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ).
解析 一个图形若是中心对称图形，必定是轴对称图形.中心对称图形：一个图形旋转180°能与自身重合.轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.根据以上定义，此题选 A.
例 2
如图所示,正方形 ABCD 的边长为12,且DM=1,N 是对角线AC 上一动点,则DN+MN 的最小值为 .
解析 如图所示,连接BM,BN.
因为正方形ABCD 中,AD=AB,且AC 平分∠DAB,
又因为 AN=AN,
所以△ANB≌△AND,
所以BN=ND,
所以DN+MN=BN+MN.
因为在△BNM中,BN+MN>BM,或BN+MN=BM(此时BM与AC的交点为N),所以 DN+MN 的最小值为BM,
所以
例3
如图所示，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上一点，连接BE，将 绕点 C 顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=60°,则∠EFD 的度数为( ).
A.10° B. 15°
C.20° D.25°
解析 图形在旋转过程中，图形的形状、大小不变.
因为△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF,
所以∠DCF=90°,CE=CF,∠BEC=∠DFC=60°,
所以∠EFC=45°,
所以∠EFD=∠DFC-∠EFC=60°-45°=15°,故选 B.
例4
下列水平放置的四个几何体中，主观图与其他三个不相同的是( ).
解析 主观图即是立体图形在所在平面内的投影，A，B，C 的主观图均为长方形，D 的主观图为三角形，因此选 D.
双基训练
1.正方形、矩形、圆、椭圆、菱形、等边三角形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).
3.在直角坐标系中，将线段OA 向左平移2个单位，平移后，点 O，A 的对应点分别为点O ,A ,若O(0,0),A(1,4),则点O ,A 的坐标分别是( ).
A.(0,0),(1,4) B.(0,0),(3,4)
C.(-2,0),(1,4) D.(-2,0),(-1,4)
5.下列图形中，经过折叠不能围成一个立方体的是( ).
7.将点 A(3，2)沿y轴向左平移4个单位长度得到点 B，点 B 关于x 轴的对称点的坐标是 .
8.如图所示是某物体的三视图，则这个物体的形状是 .
9. 如图所示,将周长为12的△ABC 沿 BC 延长线的方向平移1个单位得到△A'B'C',则四边形 ABC'A'的周长为 .
10.如图所示，已知正方形 ABCD 中，边长为2cm，则图中阴影部分的面积为 .
能力提升
11.如图所示,在△ABC 中, 在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到, 的位置，使得 则 =( ).
A.30° B. 35°
C.40° D.50°
12.一个由n个相同大小的正方形组成的简单几何体的主视图和俯视图如下，那么它的左视图不可能是( ).
13. 在 Rt△ABC 中,已知 , 点 D 在边 BC 上,BD=2CD(如图所示).把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m(0
15.三棱柱的三视图如图所示,△EFG 中,EF=8cm,EG=12cm,∠EGF=30°,则AB的长为 cm.
拓展资源
16.图形既关于点O 中心对称，又关于直线 AC，BD 对称， ,已知点 E,M是线段AB上的动点(不与端点重合)，点 O 到EF，MN 的距离分别为 与 组成的图形被称为蝶形.
(1)求蝶形面积S 的最大值.
(2)当以EH 为直径的圆与以MQ 为直径的圆重合时，求 满足的关系式，并求 的取值范围.
17.下列给出了某种工件的三视图，某工厂要铸造5000件这种铁质工件，要用去多少吨生铁 工件铸造成后，表面需要涂一层防锈漆，已知1kg防锈漆可以涂 的铁器面，涂完这批工件需要用多少千克防锈漆 (铁的密度为
第 24 讲
1-6 DDDACB 7.(1,2) 8. 三棱柱 9.14 10.2
11-12 AA 13. 80 或120 14. 2π 15.6
16.(1) 由题意得,四边形ABCD 为菱形.
因为EF∥BD,
所以△ABD∽△AEF,
所以 即
所以
所以当
(2) 根据题意得,OE=OM.
如图所示,作OR⊥AB 于R,OB 关于OR 对称线段为OS.
①当点E,M不重合时,则OE,OM 在 OR 的两侧,易知RE=RM.因为
所以
所以
由ML∥EK∥OB,得 所以 即
所以 此时h 的取值范围为 且
②当点E,M 重合时,则 此时h 的取值范围为
17.350千克.
