1.1认识三角形重要题型同步练习
考点一：三角形的基本概念
例1．三角形是（ ）
A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形
变式1-1．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1-2．观察下列图形，其中是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
考点二：三角形的分类
例2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若且，则为锐角三角形
变式2-1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2-2．在中，，是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
考点三：构成三角形的条件
例3．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
变式3-1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
变式3-2．已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（ ）
A． B． C． D．
考点四：三角形三边关系的应用
例4．如图，小明为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘一侧选取了点O，测得，，那么A、B间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．已知a、b、c为三角形三边的长，化简： ．
变式4-2．中，，，若第三边c的长为偶数，则的周长为
考点五：三角形高、角平分线、中线的作图
例5．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高．
变式5-1．如图四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
考点六：三角形高相关计算
例6．如图，在中，，，，，边上的高长是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．如图，，是的两条高，，，，则的长为（ ）
A．cm B．3cm C．cm D．4cm
考点七：三角形中线相关问题
例7．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
变式7-1．如图，是的中线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式7-2．如图，与的面积相等，线段应该是的（ ）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．不能确定
考点八：三角形角平分线相关问题
例8．如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
变式8-1．如图，在中，是角平分线，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点九：三角形内角和定理相关问题
例9．如图，在中，，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式9-1．如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ．
变式9-2．如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 ．
答案解析
考点一：三角形的基本概念
例1．三角形是（ ）
A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形
【答案】B
【分析】根据三角形的定义解答即可．
【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键．
变式1-1．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可．
【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念，
故选：C
变式1-2．观察下列图形，其中是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
是三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握：平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形是三角形．
考点二：三角形的分类
例2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若且，则为锐角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案．
【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意；
B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意；
C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意；
D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
变式2-1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
变式2-2．在中，，是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的分类，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度求出即可得到是直角三角形．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，
故选：B．
考点三：构成三角形的条件
例3．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】、，不能组成三角形；
、，能组成三角形；
、不能组成三角形；
、不能组成三角形；．
故选：
变式3-1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析解．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：、，
不能构成三角形，不符合题意；
B、，
不能构成三角形，不符合题意；
C、，
不能构成三角形，不符合题意；
D、，
能构成三角形，符合题意．
故选：D．
变式3-2．已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出，再结合选项的值，来进行作答即可．
【详解】解：设第三边的长为，
∵一个三角形的两边长分别为和，
∴，
即，
观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的在范围内，
故选：C．
考点四：三角形三边关系的应用
例4．如图，小明为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘一侧选取了点O，测得，，那么A、B间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边，根据三角形的三边关系列出不等式，通过解不等式判断即可．
【详解】解：在中，，，
则，即，
∴A、B间的距离不可能是，
故选：D．
变式4-1．已知a、b、c为三角形三边的长，化简： ．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系，结合绝对值的定义进行化简．
【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，，
又，
，
，
，
．
变式4-2．中，，，若第三边c的长为偶数，则的周长为
【答案】10
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，这是判断第三边范围的主要依据．先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长即可．
【详解】解： ，，
，即，
第三边c的长为偶数，
，
的周长为，
故答案为：10．
考点五：三角形高、角平分线、中线的作图
例5．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可
【详解】如图为中线， 为角平分线，为高
变式5-1．如图四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键； 三角形的高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，据此求解即可．
【详解】解：根据三角形高的定义可知四个选项中只有D选项中线段是的高，
故选：D．
考点六：三角形高相关计算
例6．如图，在中，，，，，边上的高长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键；
由三角形等面积法直接求斜边上的高．
【详解】
，
，
故选：D
变式6-1．如图，，是的两条高，，，，则的长为（ ）
A．cm B．3cm C．cm D．4cm
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
故选：A．
考点七：三角形中线相关问题
例7．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵为中线，
∴，
∵的周长，的周长，
∴与的周长之差为，
故选：A．
变式7-1．如图，是的中线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据三角形的中线的定义即可判断．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
故选：B．
变式7-2．如图，与的面积相等，线段应该是的（ ）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形面积计算，过点A作于E，根据三角形面积计算公式得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于E，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴线段应该是的中线，
故选：B．
考点八：三角形角平分线相关问题
例8．如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键．
由三角形的外角的性质可得，进而得到，最后根据三角形内角和即可解答．
【详解】解：∵是的外角，
∴，即，
∵ 为的角平分线，
∴，
∴．
故选A．
变式8-1．如图，在中，是角平分线，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和的定理，根据可得出，根据角平分线的定义可得出，利用平角的定义求出，最后利用三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
故选：C．
考点九：三角形内角和定理相关问题
例9．如图，在中，，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：C．
变式9-1．如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数．
【详解】，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
变式9-2．如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，最后根据，求出结果即可．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：36．
