1.2定义 命题与证明重点题型训练
考点一：是否是命题的判断
例1．下面的语句中，哪个不是命题（ ）
A．任何一个三角形一定有一个角是直角
B．对顶角相等
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．过直线m外一点A作m的平行线
变式1-1．下列语句是命题的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线
C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等
变式1-2．下列句子中，是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
考点二：真假命题的判断
例2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．相等的角是对顶角
D．若，则
变式2-1．下列命题中，是假命题的是（）
A．两点确定一条直线 B．若，则
C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
变式2-2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．点到直线的垂线段叫做点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角是对顶角
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点三：命题的题设和结论
例3．用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ．
变式3-1．命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，如果 ，那么 ．
变式3-2．把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ．
考点四：假命题的反例
例4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
变式4-1．能说明命题“对于任何实数a，”，是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
变式4-2．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ．
考点五：证明
例5．已知：如图，，求证：．
变式5-1．已知：如图，在中，．求证：平分．
变式5-2．已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：．
答案解析
考点一：是否是命题的判断
例1．下面的语句中，哪个不是命题（ ）
A．任何一个三角形一定有一个角是直角
B．对顶角相等
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．过直线m外一点A作m的平行线
【答案】D
【分析】本题考查了命题的定义，根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由题设事项推出的事项，逐一判断即可．
【详解】解：A、如果一个图形是三角形，那么一定有一个角是直角，是一个假命题，故不符合题意；
B、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是一个真命题，故不符合题意；
C、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是一个真命题，故不符合题意；
D、过直线m外一点A作m的平行线，这不是命题，故符合题意；
故选：D．
变式1-1．下列语句是命题的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线
C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等
【答案】D
【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键．
【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意；
B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意；
C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意；
D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意；
故选： D．
变式1-2．下列句子中，是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
【答案】A
【分析】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可．
【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意；
B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意；
C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意，
D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意；
故选A．
考点二：真假命题的判断
例2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．相等的角是对顶角
D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质和判定，对顶角，等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题；
C、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
D、若，则，原命题是假命题；
故选：B．
变式2-1．下列命题中，是假命题的是（）
A．两点确定一条直线 B．若，则
C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
【答案】C
【分析】本题主要考查命题的真假判断，根据命题与定理进行一一判断可得答案．
【详解】解：A．两点确定一条直线，是真命题，不符合题意；
B．若，则，是真命题，不符合题意；
C．相等的角不一定是对顶角，是假命题，符合题意；
D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，是真命题，不符合题意；
故选C．
变式2-2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．点到直线的垂线段叫做点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角是对顶角
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据点到直线的距离、垂直的判定、对顶角和平行线的判定进行判断即可．
【详解】解：A. 点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，不合题意；
B. 在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，不合题意；
C. 相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不合题意；
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，符合题意．
故选：D．
考点三：命题的题设和结论
例3．用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ．
【答案】如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题；先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可．
【详解】解：用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成“如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等”；
故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等．
变式3-1．命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，如果 ，那么 ．
【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角是等角的补角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，放在“那么”的后面，即可得到答案．
本题考查了将原命题写成“如果…那么…”即题设(条件)与结论的形式，解决问题的关键是找出相应的题设和结论．
【详解】解：解：题设为：两个角是对顶角，结论为：它们相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
变式3-2．把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ．
【答案】如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角
【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个角是锐角，放在“如果”的后面，结论是这个角的余角是锐角，应放在“那么”的后面．
【详解】解：条件为：一个角是锐角，结论为：这个角的余角是锐角，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的，那么这个角的余角是锐角．
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角．
考点四：假命题的反例
例4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了举反例，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，据此可得答案．
【详解】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是，此时满足，也满足，
故选；C．
变式4-1．能说明命题“对于任何实数a，”，是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．根据“对于任何实数a，”成立的条件是即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是，
故选：D．
变式4-2．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，有理数乘方计算，根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出结果．
【详解】解：当时，，，
“如果，那么”是假命题，
故答案为：1（答案不唯一）．
考点五：证明
例5．已知：如图，，求证：．
【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出．
【详解】证明：过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．
变式5-1．已知：如图，在中，．求证：平分．
【分析】根据三角形内角和定理以及外角的性质，求出，，进而即可得到结论．
【详解】证明：∵在中，，
∴，，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理以及外角的性质，是关键．
变式5-2．已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：．
【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用三角形外角的性质求出是解题的关键．
