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第四章 三角函数、解三角形
第五节
函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
课堂考点突破
——精析考题 提升能力2025高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用-专项训练
基 础 巩固练
1.将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象的函数解析式为( )
A.y=sin 2x B.y=cos 2x
C.y=sin D.y=sin
2.函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象如图所示,现将y=f(x)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2cos 2x
D.y=2sin 2x
3.将函数f(x)=cos(ω<0)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于y轴对称,则ω的最大值为( )
A.- B.- C.- D.-
4.将函数f(x)=3cos的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在[-t,2t](t>0)上单调递增,则实数t的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0,|φ|<(k∈Z)的部分图象如图所示,则下列说法正确的有( )
A.f(x)=3sin
B.f(x)在(π,2π)上单调递增
C.f(x)<的解集为(k∈Z)
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
6.(多选题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,将该函数的图象向左平移个单位长度后,得到的图象对应的函数为偶函数,则下列说法正确的有( )
A.f(0)=
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的图象关于点中心对称
D.f(x)的图象关于直线x=对称
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,其中f(0)=,f=0,则f= .
8.若函数y=sin x+cos x的图象向右平移φ个单位长度后是一个奇函数的图象,则正数φ的最小值为.
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,当x∈时,求g(x)的值域.
综 合 提升练
10.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π,把函数f(x)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为( )
A.y=2sin 2x
B.y=2cos 2x
C.y=2sin
D.y=2sin
11.已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0).在同一周期内,当x=时取最大值,当x=-时取最小值,则φ的值可能为( )
A. B. C. D.
12.若函数f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0,x∈R,又f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为3π,则ω的值为( )
A. B. C. D.2
13.(多选题)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+hA>0,ω>0,|φ|<,h>0,若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示,则下列关于函数f(x)的结论中,正确的有( )
A.A=2
B.φ=
C.图象的对称中心为,k∈Z
D.在区间上单调递增
14.已知函数f(x)=sin(ω>0),当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值是,则函数f(x)在上的减区间为.
15.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式和f(x)在[0,π]上的减区间;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到g(x)的图象,用“五点法”在下图作出g(x)在[0,π]内的大致图象.
创 新 应用练
16.若函数f(x)=sin(ω>0)在上恰有两个零点,且在上单调递增,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
17.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,将函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得函数图象的解析式为 .
18.如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC,另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数y=k(k>0)的图象的一部分,后一段DBC是函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<,x∈[4,8]的图象,图象的最高点为B,且DF⊥OC,垂足为点F.
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(x∈[4,8])的解析式;
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE,点P在曲线OD上,其横坐标为,点E在OC上,求儿童乐园的面积.
参考答案
1.A 2.D 3.D 4.A 5.AC 6.ABC
7.- 8
9.解 (1)由题图可知,f(x)的最大值为2,最小值为-2.又A>0,∴A=2,
周期T==π,
=π,ω>0,则ω=2,
∴f(x)=2sin(2x+φ).代入点,得sin=1,
则+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z.
又|φ|<,则φ=-,
∴f(x)=2sin
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到y=2sin的图象;
再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,故g(x)=2sin
∵x,∴x--,sin,
即2sin,∴g(x)的值域为[-,2].
10.A 11.C 12.A 13.AC
14
15.解 (1)因为函数f(x)的最大值是3,所以A+1=3,解得A=2.
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以最小正周期T=π,所以ω=2,
所以f(x)=2sin+1.
令+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,
即+kπ≤x+kπ,k∈Z.
因为x∈[0,π],所以f(x)的减区间为
(2)依题意得g(x)=f-1=2sin,列表如下:
x 0 π
2x- - 0 π
f(x) - 0 2 0 -2 -
描点(0,-),,(π,-),连线得g(x)在[0,π]内的大致图象如图所示.
16.B 17.y=2cos x
18.解 (1)由题图可知A=,ω=
将B代入y=sinx+φ中,得+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z).
因为|φ|<,
所以φ=-,
故y=sin,x∈[4,8].
(2)在y=sin中,令x=4,得D(4,4),从而得曲线OD的方程为y=2(0≤x≤4),
则P,
所以矩形PMFE的面积S=,即儿童乐园的面积为
