大庆中学2023——2024学年度下学期期末考试
高二数学期末考试题
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 班级 考号填写在答题卡上.
2.将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.北斗七星是夜空中的七颗亮星，中国古代天文学家分别把它们称作：天枢 天璇 天玑 天权 玉衡 开阳 摇光.我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如下图，用点表示某季节的北斗七星，其中点看作共线，其他任意三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A.30 B.31 C.34 D.35
4.已知等差数列的前项和为，且，则数列的公差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（ ）
A.常数项为240 B.含的项的二项式系数为15
C.各项的二项式系数和为64 D.第四项为
6.曲线上的点到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.2
7.在正方体中，分别为上的动点，且满足，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是.（ ）
①存在的某一位置，使
②的面积为定值
③当时，直线与直线AQ一定异面
④无论运动到何位置，均有
A.①③④ B.①②④ C.②④ D.①③
8.已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.2
二 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.以下几种说法正确的是（ ）
A.对于相关系数越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小
B.若随机变量满足，则
C.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
D.某人在次射击中，击中目标的次数为，射击中靶的概率为，若，则
10.如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论不正确的是（ ）
A.该八面体的体积为
B.到平面的距离为
C.该八面体的外接球的表面积为
D.与所成角为
11.定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B.函数有三个零点
C.过可以作两条直线与图像相切
D.若函数在区间上有最大值，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量，且，则的值为__________.
13.已知数列满足：，则此数列的前20项的和为__________.
14.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲 乙 丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感染支原体肺炎病毒的概率为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
在1，2，3，……，8这8个自然数中，任取3个数字.
（1）求这3个数中恰有1个偶数的概率；
（2）设为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量的概率分布列及方差.
16.（本小题15分）
已知函数是函数的一个极值点.
（1）求的值；
（2）求的单调区间.
17.（本小题15分）
在如图所示的几何体中，四边形是边长为的正方形，四边形为菱形，，平面平面.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求平面和平面夹角的余弦值.
18.（本小题17分）
某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6
收益（单位：元） 165 142 148 125 150
（1）求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
附：
（2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.甲 乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.
①在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率；
②已知甲 乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲 乙两名学生所获得奖学金总金额的分布列及数学期望.
19.（本小题17分）
若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3；第二次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）证明：.
高二数学期末考试题
答案和解析
【答案】
1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C
9.AC 10.ABC 11.ACD
12. 13.1133 14.0.054
【解析】
1.解：，
所以，
故选C.
2.解：若，则成立，
当时，满足，但不成立.
是的充分不必要条件.
3.解：过这七个点中任意三个点有种，
又因为共线，在这四个点中任取3个点不构成三角形，有种，
所以不同三角形的个数为，故选B.
4.解：设等差数列的公差为，
，
，
又，
，
，
故选B.
5.由题可知二项展开式的通项为.
对A，当，即时取得常数项，故A正确；
对B，当，即时取得的项，其二项式系数为，故B正确；
对C，二项式系数和为，故C正确；
对D，第四项为，故D错误.
故选：D
6.解：设曲线上过点的切线平行于直线，
此切点到直线的距离最短，
，
，得，
曲线上的点到直线的最短距离为，
故选A.
7.解：在①中，当分别是线段和的中点时，，故①正确；
在②中，假设正方体边长为在处时，在处时，的面积为
在处时，在处时，的面积为，故面积不是定值，故②错误；
在③中，当时，假设直线与是共面直线，
则与共面，矛盾，所以直线与是异面直线，故③正确；
在④中，垂直于在平面内的射影，如图，
又因为平面平面，
所以平面，
又平面，
所以无论运动到任何位置，均有，故④正确.
故选A.
8.解：因为，所以，
因为，所以，得，
所以，
记，
所以，
所以，且，
所以
.
当且仅当即等号成立，
此时.
故选：C.
9.解：在回归分析中，相关指数的绝对值越接近于1，相关程度就越大，A正确；观测值越大，有关系把握程度越大，C正确
故选AC.
10.解：如图，
对于A，连接交于点，连接，易得过点，且平面，
又，
则，
则该八面体的体积为错误；
对于B，取中点，连接，易得，
易知，
因为平面，所以平面，
过作交延长线于，
因为平面，所以，
又平面，故平面，
所以，则，
即到平面的距离为错误；
对于C，因为，则点即为该八面体的外接球的球心，则外接球半径，所以外接球的表面积为C错误；
对于D，易得，则或其补角即为与所成角，
又，则与所成角为D正确.
故选：ABC.
11.解：对于选项A，，
因为点是对称中心，结合题中“拐点”的定义可知：
，
解得.
故A选项正确；
对于选项B，由，
可知，
则，令，解得或.
则当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，
则的大致图象如下：
由图可知只有1个零点，
故B选项错误；
对于选项C，因为，
所以点恰好在的图象上，
画出的切线（蓝色）如下所示：
由图象可知过点可作的两条切线，
故C选项正确；
对于选项D，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是，
所以且，解得，
故D选项正确.
故选：ACD.
由对称中心是，结合题中“拐点”的定义，可求出和的值；再通过求导画出图象可判断选项B C D.
12.解：随机变量服从正态分布，故曲线关于对称，
即，
.
故答案为：.
13.解：由于，
所以当为奇数时，是等差数列，即：
，共10项，
和为；
所以当为偶数时，是等比数列，即：
，共10项，
其和为；
该数列前20项的和.
故答案为1133.
14.解：记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒，
记事件：此人来自甲市，记事件：此人来自乙市，记事件：此人来自丙市.
，且彼此互斥，
由题意可得，
，
由全概率公式可得
，
所以从三市中任取一人，这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054.
15.解：（1）这3个数中恰有1个偶数，则剩余2个数为奇数，
设这3个数中恰有1个偶数为事件，
则，
（2）的可能取值为，
，
，
，
，
所以随机变量的概率分布列为：
0 1 2 3
期望为，
方差为
16.解：（1），
依题意得，，即，
经检验符合题意.
（2）由（i）得，
，
令得，.
列表：
-1 3
- 0 + 0 -
6
所以的单调递减区间为或；增区间为
17.解：（1）设，如图1，连接.因为四边形为菱形且，
所以为等边三角形，则.
四边形是边长为的正方形，所以.
又因为面，故面，
面.
，
（2）因为平面平面，且面 面面，
在正方形中，，所以面面，
，
又由（1）知.
如图2，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.可得：，
.设面的法向量为，
令，
设面的法向量为，
令，
故.
所以，平面和平面夹角的余弦值为.
18.解：（1），
，
，
当时，（元），
即某天售出8箱水的预计收益是186元.
（2）①设事件为“学生甲获得奖学金”，事件为“学生甲获得一等奖学金”，则，
即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为.
②的取值可能为，
，
，
，
即的分布列为
0 300 500 600 800 1000
的数学期望
（元）.
19.解：（1）第三次得到数列，则；
（2）设第次构造后得的数列为，则，
根据题意可得第次构造后得到的数列为：，
所以，
即与满足的关系式为，
由，可得且，
所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以，即；
（3）由（2）得，
所以当，
当时，
，
综上所述：.
