2025届新高三开学联考
数学试题
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．函数的部分图象如图所示，则可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．展开式中的常数项为（ ）
A． B．0 C．5 D．10
5．若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．16 D．64
6．函数的部分图象如图所示，若直线与图象两个交点的横坐标分别为0和，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若，数列的前项和为，且，，则（ ）
A．76 B．38 C．19 D．0
8．若为函数图象上的一点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，其中为的共轭复数，则（ ）
A．的实部为2 B．的虚部是
C． D．在复平面内，对应的点在第二象限
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴的左、右端点分别为，，虚轴的上、下端点分别为，，斜率为的直线经过且与的左支交于两个不同的点，为上一点，且，则（ ）
A． B．四边形的周长小于24
C． D．的面积为
11．已知正三棱台上、下底面的边长及高分别为，，2，则正三棱台的（ ）
A．斜高为 B．体积为
C．侧棱与底面所成的角为 D．外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知质点，从点处分别以，的速度同时在圆上作逆时针运动，若经过，，第一次相遇，则______．
13．已知，，若，则______．
14．已知直线与抛物线交于，两点，为的焦点，若中点的纵坐标始终为1，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设公比不为1的等比数列的前项和为，且．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
16．（本小题满分15分）
在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：
月份 1 2 3 45 6
销量 12 21 33 41 52 63
（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？
（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．
17．（本小题满分15分）
如图，三棱柱中，为底面的重心，，，且，．
（1）求证：平面；
（2）若底面，且三棱柱的各棱长相等，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
已知函数，，．
（1）当时，求在上的值域；
（2）当时，，，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的的内接四边形叫做的内接矩形．如图，已知四边形是的一个边长为1的内接正方形，，分别与轴交于，，且，为的两个焦点．
（1）求的标准方程；
（2）设是四边形内部的100个不同的点，线段，与轴分别交于，，记，其中，证明：，中至少有一个小于．
2025届新高三开学联考
数学参考答案及解析
一、选择题
1．D 【解析】依题意，，，所以．故选D．
2．A 【解析】点在圆内，所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件．故选A．
3．A 【解析】函数中，，所以排除D；因为，，都为奇函数，为偶函数，所以，为偶函数，为奇函数，所以排除B；当时，，同时单调递增，且同时非负，所以在时也单调递增，所以排除C．故选A．
4．B 【解析】展开式中的通项为，所以展开式中的常数项为．故选B．
5．C 【解析】因为，所以，因为，所以，所以，当且仅当时，的最小值为16．故选C．
6．C 【解析】由图像得，的周期为，所以，因为，且，所以或，因为0在单调递增区间内，所以，所以．故选C．
7．A 【解析】因为，所以的图象关于点对称，因为，所以，所以，所以，所以，又，，所以，，所以，所以，所以，，所以．故选A．
8．B 【解析】在上单调递增，切线的斜率也单调递增，设，在图象在处的切线斜率为，所以取得最小值即（*），令，则单调递增，取检验得，满足（*），所以取得最小值为．故选B．
二、选择题
9．AC 【解析】设，因为，所以，所以，所以，所以，，所以，，所以的实部为2，所以A正确；的虚部是，所以B错误；，所以C正确；，所以在复平面内对应的点在第四象限，所以D错误．故选AC．
10．ABD 【解析】的实半轴，虚半轴，半焦距，渐近线方程为，所以A．，所以A正确；四边形的周长为，所以B正确；作出与其渐近线，直接由图形得，，所以C错误；D．不妨设位于的右支，则，所以①，因为，所以，所以②，所以得，，所以三角形的面积为，所以D正确．故选ABD．
11．AC 【解析】如图，
在正三棱台中，设，分别为上下底面的中心，，分别为，的中点，因为上底面的边长，下底面的边长分别为，，所以，，，，又，所以，所以A正确；体积为，所以B错误；侧棱与底面所成的角为，在直角梯形中，由，，计算得，所以C正确；由已知得，外接球的球心在直线上，设，由得，，解得，所以外接球的表面积为，所以D错误．故选AC．
三、填空题
12． 【解析】由已知得，经过，，第一次相遇，此时比多走一圈，所以，所以．故答案为．
13． 【解析】因为，所以，所以，所以，，则，，故．故答案为．
14． 【解析】不妨设，，直线的方程为，与联立消去得，，此时必须，所以，因为中点的纵坐标为1，所以，所以，所以，所以，又为抛物线的焦点，所以，因为，所以，所以．故答案为．
四、解答题
15．解：（1）设的公比为，
，，
，，
，．
（2），，
（或）
，
．
16．解：（1），
，
又回归直线过样本中心点，
所以，得，
所以，
当时，，
所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台．
（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
．
17．解：（1）连接并延长交于，延长交于点，连接．
因为为底面的重心，所以，
因为，，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点为，连接．
因为底面，且三棱柱的各棱长均相等，所以直线，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间坐标系，
设三棱柱的棱长为6，
则，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，不妨设，
因为，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以．所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．解：（1）当时，，
所以，
因为，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以，当时，，
所以在上的值域为．
（2）当时，，，
即在区间上成立．
则，
令，，
因为，所以，
所以，，
所以在时单调递增．可知．
当时，，即，
所以在上单调递增．
所以成立．
当时，，当时，，
所以使得，
当时，，
即，即在上单调递减，
所以，即，不成立，舍去，
综上，．
19．解：（1）依题意，焦距，所以，
，
所以，
所以，
所以的标准方程为，
即．
（2）连接并延长与交于点，连接，
则，
所以，
所以根据对称性，
所以，中至少有一个小于．
