2025届高考数学一轮复习人教A版多选题专题练：第四章 指数函数与对数函数
一、多项选择题
1．已知,,则( )
A. B. C. D.
2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A. B.
C. D.
3．下列各式中成立的是( )
A. B.
C. D.
4．下列各组数符合分数指数幂的定义，且值又相等的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和
5．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和
6．若实数，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7．若，则( )
A. B. C. D.
8．已知函数，则( )
A.“”是“”的充要条件
B.“”是“”的充分不必要条件
C.当时，
D.当时，
9．已知函数的零点是,,且,函数的零点是,,且,当时,则( )
A. B.
C. D.存在a,使得
10．已知函数，是定义域为R且都关于对称的函数，，当时，，下列结论正确的是( )
A.函数是周期为的周期函数
B.函数图象关于对称
C.
D.的图象与的图象有8个交点
11．下列说法正确的是( )
A.若函数的定义域为，则函数的定义域为
B.函数的单调递增区间是
C.函数的单调递减区间是
D.幂函数在上为减函数，则m的值为1
12．已知，且，则函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
13．已知函数，则下列结论正确的有( )
A.函数存在两个不同的零点
B.函数既存在极大值又存在极小值
C.当时，方程有两个实数根
D.若当时，，则t的最小值为2
14．,运算“”为,则( )
A. B.
C. D.若a,,则
15．已知，，且，则( )
A.的最大值为2 B.可能为3
C.的最大值为2 D.的最小值为
16．已知,,,则( )
A. B. C. D.
17．已知大气压强随高度的变化满足关系式,是海平面大气压强,.我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表:
平均海拔/m
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围,设在第一 二 三级阶梯某处的压强分别为,,,则( )
A. B. C. D.
18．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为（，单位），物体的温度冷却到（，单位：）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数.现有一壶开水（100）放在室温为20的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（参考数据：）( )
A.函数关系也可作为这壶外水的冷却模型
B.当时，这壶开水冷却到40大约需要28分钟
C.若，则
D.这壶水从100冷却到70所需时间比从70冷却到40所需时间短
19．若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是( )
A.若，则在上不存在零点
B.已知方程的解在内，则
C.若，则在上至少有一个零点
D.若在内有且只有一个零点，则
20．已知定义在R上的奇函数满足,且当时,则下列结论正确的有( )
A.
B.函数在区间上单调递增
C.
D.关于x方程有8个实数解
参考答案
1．答案：AD
解析：对于A,根据在单调递增,结合,知,A正确.
对于B,根据在单调递增,结合,知,B错误.
对于C,根据在单调递增,结合,知,C错误.
对于D,根据,结合,
知,则,即,D正确.
故选：AD.
2．答案：CD
解析：，而，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；，故D正确.
故选：CD.
3．答案：BCD
解析：，故A错误；，故B正确；，故C正确；
故D正确.
故选：BCD.
4．答案：ACD
解析：对于A：，故选项A正确；
对于B：0的负分数指数幂没有意义，故选项B错误；
对于C：，故选项C正确；
对于D：，故选项D符合题意.
故选：ACD.
5．答案：AC
解析：A：，故A正确；
B：0的负指数幂没有意义，故B错误；
C：，，故C正确；
D：和的值不相等.故D错误.
故选：AC.
6．答案：ABD
解析：因为在定义域R上单调递减且，所以，故A正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确；
当时，，故C不正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确.
故选：ABD
7．答案：BC
解析：由题意，，原式，可变换为，即；
当时，，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；
当时，，所以，所以，即；
当时，，所以，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；
综上：.
故选：BC.
8．答案：AC
解析：因为，所以等价于，构造函数，
则，因为是增函数，所以.
因为函数为增函数，且，所以，
所以“”是“”的充要条件.
当时，，理由如下：
(解法一)可变为，
则.因为是增函数，所以，即.
(解法二)设，则，，即，
代入，得，即.
假设，则等式左右异号，矛盾.所以，即.
故选：AC.
9．答案：ABC
解析：根据题意可知,的零点转化为直线与图象的交点,
的零点转化为直线与图象的交点,因为的定义域为R,
,令,得,令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,且,
当时,,当时,．
且当时,,当时,,
故.
的定义域为,,令,得,令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,且,
当时,,当时,．
且当时,,当时,,故.
对于A,,由条件知将两式分别相加
相减得,
即,
设,即证明对于任意恒成立,
整理得在时恒成立,
令,,则,
所以在上单调递增,,即,故A项正确．
对于B,因为,所以,
因为,在上单调递增,所以,即,
所以,故B项正确．
对于C,同理,即,又,,即,故C项正确．
对于D,,易知,故D项错误．
故选：ABC．
10．答案：BC
解析：因为函数，是定义域为R且都关于对称的函数，
所以，，
由，得，
两式相减得，即为偶函数.
由得，又为偶函数，
所以，即，，，
所以函数是周期为的周期函数，故A错误；
由，，得，
所以函数图象关于对称，故B正确；
因为函数是周期为的周期函数，当时，，
所以，故C正确；
显然可得函数也为偶函数，
考虑作出函数和在上的图象，如图所示：
由图可知函数的图象和的图象在上共有5个交点，
由对称性可得，的图象与的图象共有10个交点，故D错误.
故选：BC.
11．答案：AD
解析：对选项A：函数的定义域为，则函数的定义域为满足，解得，故定义域为，正确；
对选项B：的定义域为，
故根据复合函数单调性得函数的单调递增区间是，错误；
对选项C：函数的单调递减区间是和，错误；
对选项D：幂函数，则，解得或，
当时，在上为增函数，排除；
当，，满足条件，故，正确.
故选：AD.
12．答案：AC
解析：若，则函数的图象单调递减且过点，
函数的图象单调递减且过点；
若，则函数的图象单调递增且过点，
而函数的图象单调递增且过点，
只有A，C的图象符合.
故选：AC.
13．答案：ABC
解析：由得，解得，所以A正确；，当时，，当或时，，所以函数的单调递减区间为，，函数的单调递增区间为，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确；当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有两个实数根，所以C正确；画出的大致图象如图，因为，所以t的最大值是2，所以D不正确.故选ABC.
14．答案：ABCD
解析：对于A,,故A正确;
对于B,,故B正确;
对于C,,
,
所以,故C正确;
对于D,若a,,则,,
要证,只需要证,即证,
即证,即证,即证,
因为,,所以上式成立,所以,故D正确.
故选:ABCD.
15．答案：BCD
解析：对于A，因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，故A不正确；
对于B，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故，又，故B正确；
对于C，因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，则，故C正确；
对于D，因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
16．答案：BCD
解析：因为,,,
因为,故,A错误,D正确;对于B,因为,所以,故B正确;
对于C,因为,即,所以,故正确.故选BCD.
17．答案：ACD
解析：设在第一级阶梯某处的海拔为,则,即.
因为,所以,解得,A正确.
由,得.当时,,即,所以,B错误.
设在第二级阶梯某处的海拔为,在第三级阶梯某处的海拔为,
则两式相减可得.
因为,,所以,则,即,故,C,D均正确.
18．答案：BCD
解析：由，得，所以，整理得.A项错误；由题意可知.对于B项，，B项正确；由，得，即，则.C项正确；设这壶水从100冷却到70所需时间为分钟，则，设这壶水从70冷却到40所需时间为分钟，则，因为，所以，D项正确.故选BCD项.
19．答案：BC
解析：若，，，则，，，
令，，，则在上存在零点0，故A错误；
令，又在R上单调递增，且，，
所以方程的解在内，所以，故B正确；
函数在区间上的图象不间断，若，则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故C正确；
若，，，又在上存在零点0，但，故D错误.故选BC.
20．答案：ACD
解析：由,即奇函数的周期为2,A对;
且,,
又,故,则的部分图象如下,
由图知：在区间上不单调,B错;
,C对;
对于D,令,则,故,
问题化为在上有4个解,
由,x趋向1时,
且,在上递减,在上递增,
在上图象如上图,在上有4个交点,D对.
故选：ACD.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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