2023巴西女子数学锦标赛中文翻译
A组
1.定义一个数列(an),其中a1=12,a2=24,对于n≥3，我们有：
am=am-2×14
(1)2023在数列中吗？
(2)证明数列中没有完全平方数。
2.设a、b、c是实数，满足存在三个连续的正整数n,使得a”+b=c”。证明abc=0:
3.设ABC是一个锐角三角形，D和E分别是A和B到对边的垂足，设M为AC的
中点。通过D和B且在B处与BE相切的圆与线BM在F处相交，F≠B。证明
FM是∠AFD的角平分线。
4.确定所有满足以下条件的正整数n:存在一个n×n的网格表，我们可以将1到n中
的每个数重复写n次（每个单元格中有一个数），使得每行的n个数的和模n的余数不
同，每列的n个数的和模n的余数不同。
B组
1.设a、b、c是实数，满足存在三个连续的正整数n,使得an+b=c。证明abc=0。
2.给定一个正整数n,定义Tn为满足a>b且n=axby的正整数四元组(a,b,x,)的数量。证明
T2023是奇数。
3.设S是一个非空的正整数集合，AB是一条仅有点A和B被染成红色的线段。一次操作包括
选择两个已经染成红色的不同的点X和Y,以及一个整数n∈S,并且将线段XY上的n个点
A1,A2,,An染成红色，满足XA1=A1A2=A2A=.=An-1An=AnY和
XA1
的值有多少个这样的子集S。
4.给定点P和Q,贾奎林有一把能够画出线段PQ的直尺。贾奎林还有一个特殊的工具，可以
构造出以PQ为直径的圆。而且，当两个圆（或一个圆和一条线，或两条线）相交时，她
可以用铅笔标出交点，并且利用这些点标出更多的线和圆。起初，她有一个锐角不等边三
角形ABC。证明贾奎林可以构造出ABC的内心。
