哈师大附中2021级高二学年下学期期中考试
数学科试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数图象在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．展开式中x项的系数为（ ）
A．28 B． C．112 D．
3．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知点P是椭圆上的动点，于点M，若，则点N的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
6．已知数列，如果，，，…，，…是首项为1，公比为的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“k阶比增函数”．若函数为“1阶比增函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列关于函数的判断正确的是（ ）
A．的解集是 B．是极小值，是极大值
C．是最小值，是最大值 D．无最值
10．下列说法正确的是（ ）
A．空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，则一共可以作210个不同的四面体
B．甲、乙、丙3个人值周，从周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出24种不同的值周表
C．从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有26543个
D．4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有144种
11．已知函数，对于满足的任意，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知数列满足，，是数列的前n项和（ ）
A． B．
C． D．数列是等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则________．
14．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为________．
15．已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的x的取值范围是________．
16．若在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知}是各项均为正数的等比数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列前n项和．
18．（12分）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在上的最值．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD上的动点．
（1）确定E的位置，使平面AEC并证明；
（2）设，且在第（1）问的结论下，求二面角的正弦值．
20．（12分）已知数列的前n项和为，若，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，若的前n项和恒成立，求整数m的最小值．
21．（12分）已知椭圆，经过点，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点的直线与椭圆E交于不同两点B、C．求证：直线AB和AC的斜率之和为定值．
22．（12分）已知，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
哈师大附中2021级高二学年下学期期中考试
数学科答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．A 7．C 8．A
9．ABD 10．AD 11．BD 12．ABC
13．6 14．240 15． 16．
17．解：（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为q，，，
所以，解得（舍去）或4，
所以数列是首项为2、公比为4的等比数列，．
（2）因为，所以，
求和可得：．
18．解：（1）因为，所以．
因为，，
所以所求切线方程为，即．
（2），令，得或．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，当时，取极大值；当时，取极小值．
又因为，，
所以在上的最小值为，最大值为16．
19．解：（1）E为PD的中点，可使平面AEC．证明过程如下：
连接BD，交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点．
∵E为PD的中点，
∴．
又平面AEC，平面AEC，
∴平面AEC．
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
∴平面ADE的法向量为，
设平面AEC的法向量为，则，即，
令，则，，∴，
∴．
由图可知，平面AEC与平面ADE所成的角为锐角，
故平面AEC与平面ADE夹角的余弦值为，正弦值为．
20．解：（1），
∴，为首项，公差的等差数列，
∴，，当时，，因此．
（2），
，
作差可得：，
∴，又因为当时，，整数m的最小值为2．
21．解：（1）由椭圆E经过点得，．
设半焦距为c，由离心率为得，．
又因为，所以，解得．
故椭圆E的方程为．
（2）因为直线BC过点）且与轨迹E有两个不同交点，
所以直线BC的斜率一定存在且大于零．
于是可设直线BC的方程为．
代入并整理得．
．
设，，则，．
设直线AB和AC的斜率分别为和，则
为定值，此题得证．
22．解：（1）∵
，
∵，∴，
当，，单调递增，当，，单调递减，
当，，单调递增．
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）情况一：若，即时，由的单调性，其在上恒为正，无零点，
在增区间至多有一个零点，不符题意．
情况二：若，即时，
由于，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，
取，则，，，
．
当时，，由于在区间上单调递增，
故在恒为正，无零点，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，符合题意．
情况三：若，即时，同情况二可得在增区间恒为正，无零点，
仅有一个零点，不符题意．
综上，a的取值范围是．
