石家庄二中高三年级暑假作业质量检测数学
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数
在上单调递减，那么p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，且，则的最大值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
4．若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
7．设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知定义域为的函数在上单调递增，，且图象关于对称，则（ ）
A．周期 B．在单调递减
C．满足 D．在上可能有1012个零点
10．已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数在区间上是增函数
B．当时，函数在区间上是减函数
C．若函数有最大值2，则
D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是
11．设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 ．
13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
14．设函数（为自然对数的底数）．若，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）
设函数．
(1)求的单调区间与极小值：
(2)求在上的值域．
16．（本小题满分15分）
已知函数，.
（1）若是偶函数，求实数a的值及函数的值域；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
17．（本小题满分15分）
“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”.
（1）若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这个“青团”是肉松馅的概率.
18．（本小题满分17分）
随着国家二胎政策的全面开放,为了了解一线城市与非一线城市的育龄女性对于二胎的生育意愿,某机构从不同地区调查了200位育龄女性,所得数据如下表：
非一线城市 一线城市 总计
有生育意愿 75 45 120
无生育意愿 25 55 80
总计 100 100 200
(1)能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”？
(2)利用分层抽样的方法从非一线城市的育龄女性中任选4人进行座谈,现从参加座谈的女性中任选2人,求选出的2人中恰有1人愿意生育二胎的概率.
附：.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．（本小题满分17分）
已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
参考答案：
1．A因为，所以，
又，，所以，得到，
2．C关于x的不等式对一切恒成立，
则，即，∴p为真：；
对数函数在上单调递减，则，即.∴q为真：.
∵ ∴p是q的必要不充分条件.
3．B因为，，且，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，即的最大值为.
4．C不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不合题意；
当时，不等式解集为，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；故实数m的取值范围为．
5．D当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D
6．B因为，而，因此，则，
所以.
7．C的图象如图所示
由，得或，
当时，有3个零点，当时，，即与有4个交点，所以，解得，
8．B因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，
即a的范围是.
9．ABD
A选项：由知的对称轴为，且，又图象关于对称，即，故，所以，即，所以，的周期为4，正确；
B选项：因为在上单调递增，，所以在上单调递增，又图象关于对称，所以在上单调递增，因为关于对称，所以在上单调递减，，故在单调递减，B正确；
C选项：根据周期性，，，，因为关于对称，所以，，故，错误；D选项：在上，，有2个零点，所以在上有1010个零点，在上有2个零点，故在上可能有1012个零点，正确，
10．BCD对于AB选项：当时，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的性质可得，函数在上单调递减，故A错误，B正确；对于C选项：若有最大值2，显然不成立，
则函数有最小值，
所以，解得，故C正确；
对于D选项：若函数在上是增函数，则在是减函数，
当时，显然成立，
当时，由二次函数的性质可得，解得，
所以的取值范围为，故D正确；
11．ACD
对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
12．
由题知，，，，
①当时，在上恒大于零，
则在上单调递增，不符合题意；
②当时，
由得，；由得，；
所以函数在上递增，在上递减，
所以当时，取得极大值，
若函数在区间不单调，必有，解得．
综上可知，实数的取值范围是.
故答案为：.
13．由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
14．
【详解】令，则是奇函数，且在上是增函数.
故答案为：.
15．(1)的单调递增区间为；单调递减区间为；极小值为；
(2)
【详解】（1）由可得，
令，即的单调递增区间为；
令，即的单调递减区间为；
则的极小值为；
（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
，
故在上的最大值为，最小值为，
故在上的值域为.
16．答案：（1）；函数的值域是
（2）
解析：（1）若是偶函数，则，
即，
则，
即恒成立，所以.
经验证，时，为R上的偶函数，符合题意.
因为，所以，
故函数的值域是.
（2）因为函数在区间上单调递增，且为定义域上的增函数，
所以在上单调递增，且时，，
所以解得.
故实数a的取值范围是.
17．（1）
（2）
解析：（1）从甲箱中任取2个“青团”的事件总数为，
这2个“青团”馅不同的事件数为，
所以这2个“青团”馅不同的概率为.
（2）设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅”，
事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”，
事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”，
事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”，则，，彼此互斥.
，，，
，，，
所以
，
18．答案：(1)由题意得,
所以能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”.
(2)由题意知,非一线城市中有生育意愿的育龄女性与无生育意愿的育龄女性的人数之比为,所以选取的4人中,有生育意愿的有3人,分别记为,无生育意愿的有1人,记为.
从4人中任选2人的选法有共6种.
其中选出的2人中恰有1人愿意生育二胎的选法为,共3种.
所以选出的2人中恰有1人愿意生育二胎的概率.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
