1菱形的性质与判定
课时1 菱形的性质
刷基础
知识点1 菱形的定义
1已知四边形 ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是 ( )
A. AB=CD B. AB=BC
C. AD=BC D. AC=BD
知识点2 菱形的性质
2如图,在菱形ABCD中,对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论中错误的是 ( )
A. AB=AD B. AC⊥BD
C. AC=BD D.∠DAC=∠BAC
3如图,菱形ABCD 对角线交点与坐标原点 O重合，点A(-2，5)，则点C的坐标是 ( )
A.(5,-2) B.(2,-5) C.(2,5) D.(-2,-5)
4如图，在菱形ABCD中,点A在x轴上,点 B的坐标为(8,2),点 D 的坐标为(0,2),则点 C 的坐标为 ( )
A.(2,2) B.(2,4) C.(4,2) D.(4,4)
5如图,在菱形ABCD 中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 ( )
A B.1 C 2 D
6如图，小陶家有一个菱形中国结装饰,测得BD=12 cm,AC=16 cm,AC,BD交于点 O,EF⊥AB 分别交AB,CD 于点E,F,则EF的长为 cm.
7如图，已知菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD交于点O,且AC+BD=14,则该菱形的面积为 .
8如图,在菱形ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,E为AB的中点,DE⊥AB.
(1)求∠DAB 和∠CAB的度数;
(2)如果. 求 DE 和AD的长.
刷提升
1如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD 对角线 BD 的中点,AD//x轴且AD=4,∠A=60°,将菱形ABCD 绕点 O 旋转,使点 D落在 y 轴上，旋转后点 C 的对应点的坐标是( )
A.(,0） B.(4,-2)或(-4,-2)
C.(0,） D.( ,0)或(- ,0）
2将长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为 .
3如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,AB=4,BD 为对角线,E 为 AD 的中点,F为 BD 上的一个动点，则△AEF 周长的最小值为 .
4在菱形AB-CD中,∠BAD=60°.
(1)如图(1),点 E 为线段AB 的中点,连接DE,CE,若AB=4,求线段 EC的长;
(2)如图(2),M 为线段AC上一点(M不与A,C重合)，以AM 为边，构造如图所示的等边三角形AMN,线段MN与AD交于点G,连接NC,DM,Q为线段 NC 的中点,连接DQ,MQ,求证:DM=2DQ.
5在菱形ABCD 中,∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F 是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE,EF.
(1)如图(1),当E 是线段AC 的中点时,BE 和EF的数量关系是 .
(2)如图(2),当点 E 不是线段AC 的中点,其他条件不变时，请你判断(1)中的结论是否成立.若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图(3)，当点 E 是线段AC 延长线上的任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
课时2 菱形的判定
刷基础
知识点1 根据菱形的定义进行判定
1 依据所标识的数据判断，下列平行四边形一定为菱形的是( )
2如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,若AF=6,则四边形AEDF 的周长是 ( )
A.24 B.28 C.32 D.36
3 如图，将△ABC沿着 BC 方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 .(写出一个即可)
4如图，平行四边形ABCD中,AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD的平分线,且E,F分别在边 BC,AD 上,AE=AF.
求证：四边形AECF 是菱形.
知识点2 根据菱形的对角线进行判定
5如图,□ABCD的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，添加下列条件不能证明□ABCD 是菱形的是 ( )
A.∠ABD=∠ADB B. AC⊥BD
C. AB=BC D. AC=BD
6如图,在 ABCD中,E,F分别是 AD,BC 上的点,且 DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形.
知识点3 根据菱形的四边进行判定
7如图,在∠AOB 中,以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 OA 于点C,交射线 OB 于点 D,再分别以 C,D 为圆心,OC 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E,作射线OE,若OC=10,OE=16,则C,D两点之间距离为 ( )
A.10 B.12 C.13 D.
8如图,在四边形 ABCD 中,AC 是 BD 的垂直平分线,E 是 CD 上一点,BE 交 AC 于 F,连接DF,∠BEC=∠ADF,试证明四边形 ABCD 是菱形.
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1如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，则四边形ABCD 只需满足的一个条件是 ( )
A.四边形 ABCD 是梯形
B.四边形ABCD 是菱形
C.对角线AC=BD
D. AD=BC
2如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线交AD,BC于E,F,则四边形AFCE 是菱形. 乙:分别作∠A 与∠B 的平分线 AE,BF,分别交BC,AD 于点 E,F,则四边形ABEF 是菱形.
下列判断正确的是 ( )
A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确
C.甲正确，乙错误 D.甲、乙均错误
3如图，四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,作∠BAD的平分线AE 交 BD,BC 于点 F,E.若EC=3,CD=4,则AE的长为 .
4在直角坐标系中，点A,B,C,D的坐标分别为(-3,0),(x,y),(0,4),(-6,z),若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形，则z的值为 .
5如图，在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于 O点,点E,F分别在OD,BO 上,且OE=OF,连接AE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)连接AF,CE,当 BD 平分∠ABC时,四边形AFCE 是什么特殊的四边形 请说明理由.
刷素养
6某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，足够长的长方形纸条，探究两张纸条叠放在一起时重叠部分的形状和面积.如图(1)所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移.
(1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状.
(2)当重叠部分为如图(2)所示的四边形ABCD时,
①求证：四边形ABCD 是菱形.
②求菱形ABCD的面积.
课时3 菱形的性质与判定的综合应用
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1如图，平行四边形ABCD 中,∠A=110°,AD=DC. E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点 P,连接PF,EF,则∠PEF= ( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
2如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC 与 BD 交于点 O,E 为 CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE 分别交AC,AD 于点F,G,连接OG,则下列结论中一定成立的是 ( )
①②与△DEG 全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG 面积相等；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形.
A.①③④ B.①④ C.①②③ D.②③④
3如图,△ABC是边长为1 的等边三角形，分别取AC，BC边的中点 D,E,连接DE,作 EF∥AC 得到四边形EDAF,它的周长记作 C ;分别取EF,BE的中点D ,E ,连接D E ,作E F ∥EF,得到四边形E D FF ,它的周长记作 C ,…,照此规律作下去,则C 023 等于 .
4如图所示，四边形ABCD中,AC⊥BD 于点O,AO=CO=4,BO=DO=3,点 P 为线段AC 上的一个动点.过点 P 分别作PM⊥AD 于点 M,作PN⊥DC 于点 N.连接PB,在点 P 运动过程中, PM + PN + PB 的 最 小 值 等于 .
5如图,在 ABCD中,CE 平分∠BCD,交 AD 于点 E,DF 平分∠ADC,交BC 于点 F,CE与DF 交于点 P,连接EF,BP.
(1)求证:四边形CDEF 是菱形;
(2)若AB=2,BC=3,∠A=120°,求BP的长.
刷素养
6如图，在边长为 10 的菱形ABCD中,对角线 BD=16,点 O 是直线 BD上的动点,OE⊥AB于点 E,OF⊥AD 于点 F.
(1)对角线AC 的长是 ,菱形ABCD的面积是 .
(2)如图(1),当点 O 在对角线 BD 上运动时,OE+OF的值是否会发生变化 请说明理由.
(3)如图(2)，当点O 在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化 若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF 之间的数量关系，并说明理由.
