第十二章 全等三角形
专题一 全等的性质
核心考点一 全等三角形的定义和性质
1. 下列说法正确的是 ( )
A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形的周长和面积分别相等
C. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 D. 所有的等边三角形都是全等三角形
2. 如图, △ABC≌△CDA, 那么下列结论错误的是 ( )
A. ∠1=∠2 B. AC=CA
C. AB=AD D. ∠B=∠D
3. 已知图中的两个三角形全等，则∠α= °.
核心考点二 全等常见类型(1) ——平移型全等三角形的性质
4. 如图, 将Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到△DEF. 下列结论: ①△ABC≌△DEF;②AC=DF; ③EC=CF;④S 四边形ABEG=S 四边形DGCF.其中正确的有 ( )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
核心考点三 全等常见类型 (2) ——对称型全等三角形的性质
5. 如图的三角形纸片中, AB=8, BC=6, AC=5, 沿过点B的直线折叠这个三角形, 使点C落在AB上的点E处, 折痕为BD, 则△AED的周长为 .
6. 如图, △ADC≌△ADE≌△BDE, 则∠B= °.
7. 如图, 若△ABE≌△ACF, 且AB=5, AE=2, 则EC的长为 .
8. 如图, △ABE和△ADC是△ABC分别沿着 AB, AC边翻折形成的, 若 人人的CD 与BE交于 O 点, 则∠EOC 的度数为 °.
9.如图, 锐角△ABC中, D, E分别是AB, AC边上的点, ， 且C'D∥EB'∥BC, BE, CD 交于点F, 若∠BAC=40°, 则.
核心考点四 全等常见类型 (3) ——旋转型全等三角形的性质
10. 如图，将△ABC绕A点逆时针方向旋转一个角α，使B 点落在BC上的E点，若( AD∥BC,则∠CAE的度数为 °.
11. 如图,△ABC≌△ADE, BC的延长线交DA于点F, 交DE于点G, ∠B=30°, 则∠1的度数为 °.
12.如图,已知△ABC≌△DEF,CD平分∠BCA,若∠A=30°,∠CGF=88°,则∠E的度数是 °.
核心考点五 分类讨论思想
13. 如果△ABC的三边长分别为3, 5, 7, △DEF的三边长分别为3, 3x-2, 2y-1, 若这两个三角形全等, 则x+y= .
专题二 全等三角形的判定 (1) ——SSS
核心考点一 规范书写基本结构(1) ——线段和差与平移型全等
1.如图, 点A, D, C, F在同一条直线上, AD=CF, AB=DE, BC=EF.求证: △ABC≌△DEF.
核心考点二 规范书写基本结构(2) ——公共边与对称型全等
2.如图, AB=AD, CB=CD, ∠BAD=64°, 求∠DAC的度数.
3. 如图, E是∠BAC的平分线AD上任意一点, 且AB=AC, 则图中全等三角形有 对.
核心考点三 角的和差与旋转型全等
4.如图, 点B, C, E三点在同一直线上, 且AB=AD, AC=AE, BC=DE, 若∠1+∠2+∠3=96°, 则∠3的度数为 .
核心考点四 连线构造全等
5.如图, AB=AC, BD=CD. 求证: ∠B=∠C.
核心考点五 利用SSS在网格中找全等
6. 在如图所示的6×6网格中，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点) ，则与△ABC有一条公共边且全等(不含△ABC) 的所有格点三角形的个数是 个.
专题三 全等三角形的判定(2)——SAS
核心考点一 规范书写基本结构(1) ——线段和差与对称型全等
1.如图, 点E, F在BC上, BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C. 求证: ∠A=∠D.
F C
核心考点二 规范书写基本结构(2) ——公共角与对称型全等
2.如图, 点D在AB上, 点E在AC 上, , 求证: ∠B=∠C.
核心考点三 规范书写基本结构(3) ——角的和差与旋转型全等
3.如图, CA=CD, ∠1=∠2, BC=EC. 求证: AB=DE.
4.如图, 已知AB=AD, BC=DE, 且∠CAD=10°, ∠B=∠D=25°, ∠EAB=120°, 则∠EGB 的度数为 °.
核心考点四 画图判断
5. 下列条件中, 能利用“SAS”判定△ABC≌△A'B'C'的是 ( )
A. AB=A'B', AC=A'C', ∠C=∠C' B. AB=A'B', ∠A=∠A', BC=B'C'
C. AC=A'C', ∠C=∠C', BC=B'C' D. AC=A'C', ∠A=∠A', BC=B'C'
核心考点五 导角与一线三等角结构
6. 如图, 在△ABC中, ∠B=∠C, BF=CD, BD=CE, ∠FDE=64°, 则∠A= °.
专题四 全等三角形的判定 (3) ——ASA
核心考点一 规范书写基本结构(1) ——公共边与对称型全等
1. 如图, ∠1=∠2, ∠3=∠4, 求证: BD=BC.
核心考点二 规范书写基本结构(2) ——公共角与对称型全等
2. 如图, 点D在AB上, 点E在AC上, AB=AC, ∠B=∠C. 求证: BD=CE.
核心考点三 利用 ASA 确定三角形
3. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )
A. 带①去 B. 带②去
C. 带③去 D. 带①②③去
核心考点四 导角与旋转型全等
4.如图,∠A=∠B, AE=BE, 点D在AC边上, ∠1=∠2, AE和BD相交于点 O. 求证: △AEC≌△BED.
核心考点五 导角与一线三等角型全等
5. 如图, 在△ABC中, ∠B=∠C, 点D是边BC上一点, CD=AB, 点E在边AC上. 若∠ADE=∠B,求证: BD=CE.
C
专题五 全等三角形的判定(4)——AAS
核心考点一 规范书写基本结构(1) ——公共边与对称型全等
1. 如图, AC平分∠BAD, CB⊥AB, CD⊥AD, 垂足分别为B, D. 求证:
核心考点二 规范书写基本结构(2) ——三垂直结构中的导角
2. 如图, ∠ACB=90°, AC=BC, AD⊥CE, BE⊥CE, 垂足分别为D, E, AD=8, DE=6 6, 求BE的长.
核心考点三 三垂直结构中的平移变形
3. 如图, 点B, C, D共线, AC=BE, AC⊥BE, ∠ABC=∠D=90°, AB=12, DE=5, 则
4. 如图, AB⊥CD, 且AB=CD. E, F是AD上两点, CE⊥AD, BF⊥AD. 若 CE=a, BF=b, EF=c,则AD= .
核心考点四 隐含的三垂直结构
5. 如图, 在等腰 Rt△ABC中, AC=BC, D为△ABC内一点, 且∠BCD=∠CAD, 若 CD=4, 则△BCD的面积为 .
核心考点五 画图判断
6. 下列条件中, 能判断△ABC≌△DEF的是 ( )
A. AB=DE, BC=EF, ∠A=∠D B. BC=EF, AC=DF, ∠B=∠E
C. ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F D. AB=DE, ∠A=∠D, AC=DF
专题六 全等三角形的判定 (5) ——HL
核心考点一 规范书写基本结构——公共边与对称型全等
1. 如图, AB=AD, CB⊥AB, CD⊥AD, 垂足分别为B, D. 求证: △ABC≌△ADC.
核心考点二 利用全等导线段
2. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, 点D在△ABC外, 连接AD, 作DF⊥AB于点E, 交BC于点F, AD=AB, AE=AC, 连接AF. 求证: DF=BC+CF.
核心考点三 判断全等三角形的对数
3. 如图, 已知AB=AC, AD=AE, AF⊥BC于点 F, 则图中全等三角形共有 对.
核心考点四 连线构全等
4. 如图, 在△ABC中, ∠A=90°, D为BC上一点, AB=BD, 过点D作ED⊥BC, 交AC于点 E, 若AC=8, CD=4, 则△CDE的周长是 .
5. 如图, ∠C=∠D=90°, BC与AD交于点E, AD=BC. 求证: AC=BD.
核心考点五 放垂构全等(可多种方法)
6.如图, 在△ABC中, AH是高, AE∥BC, AB=AE, 在AB边上取点D, 连接DE,DE=AC,若 则 BC= .
专题七 全等三角形的个数
核心考点一 全等三角形的个数——从基本图形到组合图形
1. 如图, 已知CD⊥AB于点D, BE⊥AC于点E, CD, BE交于点O, 且AO平分∠BAC, 则图中的全等三角形共有 对.
2. 如图, 已知AB∥CD, AC∥DB, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三角形有 对.
核心考点二 网格内全等三角形的个数——从基本框数起，再平移
3.如图，3×4的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有 个.(不含∠△ABC)
核心考点三 动点形成的全等三角形的个数——讨论对应边
4. 如图, AB=4cm, BC=6cm, ∠B=∠C, 如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t= .
5.如图, CA⊥AB, 垂足为点A, AB=24, AC=12, 射线BM⊥AB, 垂足为点B,一动点E从A 点出发以3个单位长度/秒沿射线AN运动，点D 为射线BM上一动点，随着 E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E经过t秒时(t>0),△DEB与△BCA全等,则t= .
专题八 角平分线的性质
核心考点一 角平分线的性质与作垂构造
1. 感知: 如图1, AD平分∠BAC, ∠B+∠C=180°, ∠B=90°. 易知DB=DC;
探究: 如图2, AD平分∠BAC, ∠ABD+∠ACD=180°, ∠ABD<90°. 求证: DB=DC.
核心考点二 作垂构造与线段转化
2. 如图, ∠C=90°, AD平分∠BAC交BC于点 D, 若BC=5, BD=3, 则D到AB的距离为 .
3. 如图, OP平分∠MON, PA⊥ON于A, 点Q是射线OM上的一个动点, 若 PA=2, 则PQ的最小值是 .
4.如图, BD平分∠ABC, DE⊥BC于点E, AB=7, DE=4, 则△ABD的面积为 .
5.如图, 在△ABC中, BD平分∠ABC, DE⊥AB于点E. 若DE=4, BC=9, 求△BCD的面积.
专题九 角平分线的判定
核心考点一 角平分线的判定
1. 如图, DA⊥AC, DE⊥EC, 若AD=DE, ∠ACD=30°, 则∠DCE= °.
2. 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F, 求证: 点F在∠DAE的平分线上.
核心考点二 一内一外角(或两外角) 平分线交点——旁心
3. 如图, 在△ABC中, ∠ABC=50°, ∠ACB=60°, 点E在BC的延长线上, 的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点 D, 连接AD, 则∠CAD度数为 °.
核心考点三 隐藏的外角平分线
4.如图, 在四边形AEDC中, , 且CE平分∠ACD. 若∠EAC=108°, 则∠DEC的度数为 .
5. 如图, 在△ABC中, 点D是BC上一点, 已知∠DAC=30°, ∠DAB=75°, CE平分∠ACB交AB于点 E, 连接DE. 求∠DEC的度数.
