(共75张PPT)
第六章
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6.2 柱、锥、台的体积
1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.
2.掌握求几何体体积的基本技巧.
学习目标
在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积又如何来计算呢？
导 语
一、柱、锥、台的体积公式
二、等体积法求几何体体积
课时对点练
三、割补法求几何体的体积
随堂演练
内容索引
柱、锥、台的体积公式
一
提示 V正方体=a3(a为棱长)；
V长方体=abc(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)或V长方体=Sh(S，h分别表示长方体的底面积和高).
正方体和长方体的体积公式分别是什么？
问题1
提示 没有变化.因为改变前后书堆的底面积和高没有变化.
取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积的变化？
问题2
几何体 体积公式
柱体 圆柱、棱柱 V柱体=____
S—柱体的底面积，h—柱体的高
锥体 圆锥、棱锥 V锥体=______
S—锥体的底面积，h—锥体的高
台体 圆台、棱台 V台体=________________________
S上，S下—台体的上、下底面积，h—台体的高
Sh
Sh
)h
(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是
A. B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
例 1
√
√
当圆柱的高为8 cm时，V=π×
(cm3).
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为 .
224π
设上底面半径为r，下底面半径为R=4r，高为h=4r，如图.
∵母线长为10，
∴102=(4r)2+(4r-r)2，
解得r=2.
∴下底面半径R=8，高h=8，
∴V圆台=)h=π(r2+rR+R2)h=224π.
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形列出方程并求解.
反
思
感
悟
(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为
A.2 B.
C. D.π
跟踪训练 1
√
设圆柱的底面半径为r，
则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，
所以2πr×，
即2，故r=3，
故圆锥的体积为π.
二
等体积法求几何体体积
如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积.
例 2
由题意可知，
∵a2，
又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a，
∴a3，
∴a3.
本例中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1-EBFD1的体积.
延伸探究
因为EB=BF=FD1=D1E=a，D1F∥EB，
所以四边形EBFD1是菱形.
则△EFB≌△FED1.
因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-FED1的高相等，
所以
.
又因为a2，
所以a3，
所以a3.
反
思
感
悟
等体积法是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于三棱锥的体积.
一个封闭的正三棱柱容器，高为3，容器内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱的交点E，F，F1，E1分别为
所在棱的中点，则图甲中水面的高度为
A. B.
C.2 D.
跟踪训练 2
√
因为E，F，F1，E1分别为所在棱
的中点，
所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积
V=S梯形EFCB×3=S△ABC.
设图甲中水面的高度为h，
则S△ABC×h=.
割补法求几何体的体积
三
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
例 3
如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E-ABCD=×42×3=16.
∵AB=2EF，EF∥AB，
∴S△EAB=2S△BEF.
∴V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=V三棱锥C-ABE
=V四棱锥E-ABCD=4.
∴多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.
反
思
感
悟
对于给出的一个不规则的几何体求其体积时，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口.
如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5.则此几何体的体积为 .
跟踪训练 3
96
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA'=BB'=CC'=8，所以V几何体=×24×8=96.
1.知识清单：
(1)柱体、锥体、台体的体积公式.
(2)等体积法、割补法求几何体体积.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误.
随堂演练
四
1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC的体积为
A. B.
C. D.
设三棱锥B1-ABC的高为h，
则.
√
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3
4
2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
A.5π B.6π
C.20π D.10π
√
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2
3
4
用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5=20π，
故所求几何体的体积为10π.
3.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为 cm3.
设正六棱柱的底面边长为x cm，
由题意得6x×6=72，所以x=2，
所以该正六棱柱的体积V=(cm3).
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36
4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是
_____寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
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2
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4
由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为
=3(寸).
课时对点练
五
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C A A
题号 11 12 13 14 15
答案 D D C 1
答案
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9.
如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.
连接DG，CH，容易求得EG=HF=.
所以AG=GD=BH=HC=，
S△AGD=S△BHC=××1=，
V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=×2+×1=.
答案
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10.
圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，其中0
则有==2，
所以AO1=2r，
设圆柱的高为h，h=4-2r，其侧面积S=2πr(4-2r)=4π(-r2+2r)=4π，
整理得r2-2r+1=0，解得r=1.
当r=1时，h=2，所以该圆柱的体积V=πr2h=2π.
答案
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16.
设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，连接MD，AC(图略)，
因为M是AE的中点，
所以VM-ABCD=V，
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC，VE-MDC=VD-EMC，
所以==.
答案
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16.
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB=3CD，
所以=，即VE-MBC=VE-MDC，
又VE-MBC=V-VE-MDC，
所以VM-EBC=VE-MBC=V.
答案
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1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点S为棱A1B1上一动点，四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的
A. B.
C. D.不确定
令正方体棱长为a，则V正方体=a3，V四棱锥S-ABCD=a3，
∴V四棱锥S-ABCD=V正方体.
√
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基础巩固
答案
2.将两个棱长为10 cm的正方体熔化后铸成一个底面边长为5 cm的正四棱柱，则该正四棱柱的高为
A.8 cm B.80 cm
C.40 cm D. cm
设该正四棱柱的高为h cm，
根据题意，得5×5×h=2×103，
解得h=80.
√
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答案
3.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为
A. B.
C. D.π
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答案
绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，体积相等的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为
.
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答案
4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且的值是
A. B.
C. D.2
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答案
设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h.
∵
.
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答案
5.已知体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是
A.54 B.54π
C.58 D.58π
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答案
设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，
则52=πh1(r2+9r2+3r·r)，
∴πr2h1=12.
令原圆锥的高为h，
由相似知识得h1，
∴V原圆锥=×12=54.
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答案
6.如图所示，E，F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC，CD的中点，将其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三点重合，则所围成的三棱锥的体积为
A. B.
C. D.
√
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答案
设点B，D，C重合于点P，如图所示，
∵AB⊥BE，AD⊥DF，
∴AP⊥PE，AP⊥PF.
又PE，PF 平面PEF，PE∩PF=P，
∴AP⊥平面PEF，
即AP为三棱锥的高，
∴VA-PEF=S△CEF·AB=.
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答案
7.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 .
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答案
三棱锥D1-EDF的体积即为三棱锥F-DD1E的体积，因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值
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答案
.
8.如图，圆锥形容器的高为2，圆锥内水面的高为1.若将圆锥形容器倒置，水面高为h，则h= .
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答案
设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，
∴水的体积V=S，
设倒置后液面的面积为S'，则，
∴S'=，
∴.
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答案
9.如图所示，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，求该多面体的体积V.
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答案
如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.
连接DG，CH，容易求得EG=HF=.
所以AG=GD=BH=HC=，
S△AGD=S△BHC=，
V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=.
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答案
10.已知圆锥的底面半径为2，高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时，求该圆柱的体积.
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答案
圆锥的轴截面如图所示，
设圆柱底面半径为r，
其中0
则有=2，
所以AO1=2r，
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答案
设圆柱的高为h，h=4-2r，
其侧面积S=2πr(4-2r)=4π(-r2+2r)=4π，
整理得r2-2r+1=0，解得r=1.
当r=1时，h=2，
所以该圆柱的体积V=πr2h=2π.
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答案
11.已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的体积为
A. B.
C.32 D.
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综合运用
答案
如图，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE，
∵OE=2，∠OPE=30°，
∴斜高PE==4，
∴PO=2，
∴V=.
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答案
12.沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为
A.2 cm B.
C. D. cm
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答案
由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=，
底面圆的半径r=，
故细沙的体积V=.
当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，
设高为H'，则，
解得H'=.
故此圆锥形沙堆的高为 cm.
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答案
13.(2024·天津)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，则该五面体的体积为
A. B.
C. D.
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答案
用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，
使得D，N；E，M；F，L重合，
因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，
AD=1，BE=2，CF=3，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面DGK(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，
侧棱长l=1+3=2+2=3+1=4，
V五面体ABC-DEF=V三棱柱ABC-JIH=×4=.
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答案
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除平面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体
积为 .
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答案
连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，
∵E，H分别为AD1，CD1的中点，
∴EH∥AC，EH=AC.
∵F，G分别为B1A，B1C的中点，
∴FG∥AC，FG=AC，∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
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答案
又EG=HF，EH=HG，
∴四边形EFGH为正方形.
又四棱锥M-EFGH的高为，
∴四棱锥M-EFGH的体积为.
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答案
拓广探究
15.如图，PA是圆柱OO1的一条母线，AB是底面圆的一条直径，C是底面圆周上一点，三棱锥P-ABC的体积与圆柱OO1的体积之比为1∶3π，则tan∠CAB= .
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答案
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设圆柱的底面半径为r，高为h，∠CAB=θ，
由题意知∠ACB=90°，
可得S△ABC=AB·AC·sin∠CAB
=·2r·2rcos θ·sin θ=r2sin 2θ，
V三棱锥P-ABC=r2sin 2θ·h，V圆柱=S☉O·h=πr2h，
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答案
∵，
∴sin 2θ=1，又0°<θ<90°，∴θ=45°，∴tan θ=1，
即tan∠CAB=1.
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答案
16.在四棱锥E-ABCD中，底面四边形ABCD为梯形，AB∥CD，2AB=3CD，M为AE的中点，设四棱锥E-ABCD的体积为V，那么三棱锥M-EBC的体积为多少？
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答案
设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，连接MD，AC(图略)，
因为M是AE的中点，所以VM-ABCD=V，
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC，VE-MDC=VD-EMC，
所以.
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答案
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB=3CD，
所以VE-MDC，
又VE-MBC=V-VE-MDC，
所以VM-EBC=VE-MBC=V.
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答案6.2 柱、锥、台的体积
[学习目标] 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧.
一、柱、锥、台的体积公式
问题1 正方体和长方体的体积公式分别是什么？
问题2 取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积的变化？
知识梳理
几何体 体积公式
柱体 圆柱、棱柱 V柱体=______ S—柱体的底面积，h—柱体的高
锥体 圆锥、棱锥 V锥体=______ S—锥体的底面积，h—锥体的高
台体 圆台、棱台 V台体=__________________ S上，S下—台体的上、下底面积，h—台体的高
例1 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )
A. B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为 .
反思感悟 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形列出方程并求解.
跟踪训练1 (2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A.2 B.
C. D.π
二、等体积法求几何体体积
例2 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积.
延伸探究 本例中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1-EBFD1的体积.
反思感悟 等体积法是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于三棱锥的体积.
跟踪训练2 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，容器内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱的交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. B.
C.2 D.
三、割补法求几何体的体积
例3 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
反思感悟 对于给出的一个不规则的几何体求其体积时，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口.
跟踪训练3 如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5.则此几何体的体积为 .
1.知识清单：
(1)柱体、锥体、台体的体积公式.
(2)等体积法、割补法求几何体体积.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误.
1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A.5π B.6π
C.20π D.10π
3.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为 cm3.
4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
答案精析
问题1 V正方体=a3(a为棱长)；
V长方体=abc(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)或V长方体=Sh(S，h分别表示长方体的底面积和高).
问题2 没有变化.因为改变前后书堆的底面积和高没有变化.
知识梳理
Sh Sh
(S上+S下+)h
例1 (1)AB [当圆柱的高为8 cm时，V=π××8=(cm3)；当圆柱的高为12 cm时，V=π××12=(cm3).]
(2)224π
解析 设上底面半径为r，下底面半径为R=4r，高为h=4r，如图.
∵母线长为10，
∴102=(4r)2+(4r-r)2，
解得r=2.
∴下底面半径R=8，高h=8，
∴V圆台=(S上+S下+)h
=π(r2+rR+R2)h=224π.
跟踪训练1 B [设圆柱的底面半径为r，
则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，
所以2πr×=πr×，
即2=，故r=3，
故圆锥的体积为π×9×=3π.]
例2 解 由题意可知=，
∵=EA1·A1D1=a2，
又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a，
∴=×a×a2=a3，
∴=a3.
延伸探究 解 因为EB=BF=FD1=D1E==a，D1F∥EB，
所以四边形EBFD1是菱形.
则△EFB≌△FED1.
因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-FED1的高相等，
所以=2=2.
又因为=EA1·AB=a2，
所以=a3，
所以=2=a3.
跟踪训练2 D [因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，
所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=S梯形EFCB×3=S△ABC×3=S△ABC.
设图甲中水面的高度为h，
则S△ABC×h=S△ABC，解得h=.]
例3 解 如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E-ABCD=×42×3=16.
∵AB=2EF，
EF∥AB，
∴S△EAB=2S△BEF.
∴V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB
=V三棱锥C-ABE
=V三棱锥E-ABC
=×V四棱锥E-ABCD=4.
∴多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC
=16+4=20.
跟踪训练3 96
解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA'=BB'=CC'=8，所以V几何体=V三棱柱=×S△ABC·AA'=×24×8=96.
随堂演练
1.D 2.D 3.36 4.3作业54 柱、锥、台的体积
(分值：100分)
单选题每小题5分，共45分
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点S为棱A1B1上一动点，四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的( )
A. B.
C. D.不确定
2.将两个棱长为10 cm的正方体熔化后铸成一个底面边长为5 cm的正四棱柱，则该正四棱柱的高为( )
A.8 cm B.80 cm
C.40 cm D. cm
3.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B.
C. D.π
4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且的值是( )
A. B.
C. D.2
5.已知体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )
A.54 B.54π
C.58 D.58π
6.如图所示，E，F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC，CD的中点，将其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三点重合，则所围成的三棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
7.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 .
8.如图，圆锥形容器的高为2，圆锥内水面的高为1.若将圆锥形容器倒置，水面高为h，则h= .
9.(10分)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，求该多面体的体积V.
10.(12分)已知圆锥的底面半径为2，高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时，求该圆柱的体积.
11.已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的体积为( )
A. B.
C.32 D.
12.沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为( )
A.2 cm B.
C. D. cm
13.(2024·天津)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，则该五面体的体积为( )
A. B.
C. D.
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除平面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为 .
15.如图，PA是圆柱OO1的一条母线，AB是底面圆的一条直径，C是底面圆周上一点，三棱锥P-ABC的体积与圆柱OO1的体积之比为1∶3π，则tan∠CAB= .
16.(13分)在四棱锥E-ABCD中，底面四边形ABCD为梯形，AB∥CD，2AB=3CD，M为AE的中点，设四棱锥E-ABCD的体积为V，那么三棱锥M-EBC的体积为多少？
答案精析
1.A 2.B 3.B 4.C
5.A [设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，
则52=πh1(r2+9r2+3r·r)，
∴πr2h1=12.令原圆锥的高为h，
由相似知识得=，
∴h=h1，
∴V原圆锥=π(3r)2×h
=3πr2×h1=×12=54.]
6.A [设点B，D，C重合于点P，如图所示，
∵AB⊥BE，
AD⊥DF，
∴AP⊥PE，
AP⊥PF.
又PE，PF 平面PEF，
PE∩PF=P，
∴AP⊥平面PEF，
即AP为三棱锥的高，
∴VA-PEF=S△PEF·AP
=S△CEF·AB
=××××1=.]
7.
8.
解析 设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，
∴水的体积V=×2S-×S×(2-1)=S，
设倒置后液面的面积为S'，
则=，
∴S'=，∴水的体积为V=S'h=，∴=S，解得h=.
9.解 如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG=HF=.
所以AG=GD=BH=HC=，
S△AGD=S△BHC=××1=，
V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC
=×2+×1=.
10.解 圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，
其中0
△AO1D∽△AO2C，
则有==2，
所以AO1=2r，
设圆柱的高为h，h=4-2r，
其侧面积S=2πr(4-2r)
=4π(-r2+2r)=4π，
整理得r2-2r+1=0，解得r=1.
当r=1时，h=2，
所以该圆柱的体积V=πr2h=2π.
11.D [如图，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE，
∵OE=2，∠OPE=30°，
∴斜高PE===4，
∴PO=2，
∴V=×4×4×2=.]
12.D [由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=×8=，
底面圆的半径r=×4=，
故细沙的体积V=πr2H=π××=.
当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为H'，则π×42×H'=，解得H'=.
故此圆锥形沙堆的高为 cm.]
13.C [用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，
使得D，N；E，M；F，L重合，因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，
AD=1，BE=2，CF=3，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面DGK(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，
侧棱长l=1+3=2+2=3+1=4，
V五面体ABC-DEF=V三棱柱ABC-JIH
=S△DGK·l=××1×1××4=.]
14.
解析 连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，
∵E，H分别为AD1，CD1的中点，
∴EH∥AC，EH=AC.
∵F，G分别为B1A，B1C的中点，
∴FG∥AC，FG=AC，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EG=HF，EH=HG，∴四边形EFGH为正方形.又四棱锥M-EFGH的高为，
∴四棱锥M-EFGH的体积为××=.
15.1
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，∠CAB=θ，
由题意知∠ACB=90°，
可得S△ABC=AB·AC·sin∠CAB
=·2r·2rcos θ·sin θ=r2sin 2θ，
V三棱锥P-ABC=·S△ABC·h=r2sin 2θ·h，
V圆柱=S☉O·h=πr2h，
∵=，
∴=，
∴sin 2θ=1，又0°<θ<90°，∴θ=45°，∴tan θ=1，即tan∠CAB=1.
16.解 设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，连接MD，AC(图略)，
因为M是AE的中点，
所以VM-ABCD=V，
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC，VE-MDC=VD-EMC，
所以==.
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB=3CD，
所以=，即VE-MBC=VE-MDC，
又VE-MBC=V-VE-MDC，
所以VM-EBC=VE-MBC=V.
