2024—2025 学年度第一学期期末测试
初四数学试题
说明：1. 考试时间 120分钟，满分 120分。
2. 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验。
一．选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，满分 30分）
1.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后排序正
确的是（ ）
A.③①④② B.②④①③ C.③②①④ D. ③④①②
2.圆的直径是5cm，如果圆心与直线上某一点的距离是2.5cm，那么该直线和
圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相离或相切 D.相交或相切
3.已知反比例函数y=- ，下列结论不正确的（ ）
A.若 x<-5，则 y>1
B.图象经过点（-1，5）
C.图象在第二、四象限内
D.在每一象限内，y值随x值的增大而增大
4.如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正
方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有2个
面被涂色的概率为（ ）
5.中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所
设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，
过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为50°，若
圆曲线的半径0A=3km，则这段圆曲线（弧AB）的长为（ ）km
6.形状与抛物线y=-x2+8相同，并且图象有最低点，则抛物线可能是（ ）
A.y = x2 +8x +7
B.y =-x2 +8x+7
C.y=-x2-8x+7
D.y =x2+8x+7 或y=-x2+8x+7
7.在△ABC中，∠A=40°，点0是△ABC的外心，则∠BOC的度数是（ ）
A.40° B.80° C.100° D.80°或100°
8.如图，电线杆的顶上有一盏高为6m的路灯，电线杆底部为A，身高1.5m的
男孩站在与点A相距6m的点B处，若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路
灯下的影子 BC 扫过的面积为（ ）
A.4π B.28π C.38π D.64π
9.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y=ax2-4ax上的点，下列命题正确
的是（ ）
A.若|x1-2|>|x2-2|，则y1>y2
B.若|x1-2|>|x2-2|，则y1
D.若 y1 =y2，则 x1+x2 =2
10.如图， O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与 A，C重
合），弦 AC，BD 交于点 H.下列结论：①∠ADB=60°；②当DB最长时，DB =2DC；
③当∠ABD =20°时，CD=2AD；④AH·CH=BH·DH.其中一定正确的结论有（ ）
A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监
视器，它的监控角度是56°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装
这样的监视器 台.
12.已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=5.的一个根为x=2，且抛物线
y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为 .
13.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以
AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为 .
13题 14题 15题 16题
14.如图，将半径为 4cm 的圆形纸片剪掉 4 分之一，余下部分围成一个圆
锥的侧面，则这个圆锥的高是 cm.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y= （x>0）和y=
（x<0）的图象上，AB//x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴的正半轴交于点D，
若△ABC的面积为18， ，则k的值为 .
16.如图，正方形ABCD内接于 O，线段MN在对角线BD上运动，若 O的面
积为6π，MN=1，则△AMN的周长的最小值是 .
三、解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17.计算：
18.用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积.
（1）如图①，已知扇形AOB，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直
线平分；
（2）如图②，已知扇形AOB，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积
被这条圆弧平分.（要求：保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明）
19.4张相同的卡片上分别写有数字0、1、-2、2，将卡片的背面朝上，洗匀后
从中任意抽取1张.将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1
张，同样将卡片上的数字记录下来.
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小明设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录
下来的数字所得结果为正数时，甲获胜：否则，乙获胜.小明设计的游戏规则公
平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）.
20.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半
圆0，AB=50cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，MN//GH.
（1）作 OC⊥MN于点 C，求OC的长；
（2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时
水面截线减少了多少？
21.如图1，在△ABC中，AB = 6，BC=10，点P为边AB上一点，AP=x，过点
P作PQ//BC，交AC于点Q.点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比
为y2
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范
围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函
数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出函数y1>y2时x的取值范围（近似值保留小
数点后一位，误差不超过0.2）
22.某学校科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验.如图，光线自点
B处发出，经水面点E处折射到池底点A处，已知BE与水平线的夹角α=36.9°，点
B到水面的距离BC=1.50m，点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离AD=2.90m.
点 B，C，D 在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，记入射角为β，
折射角为γ，求 值
（精确到0.1.参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）.
比
23.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A（-1，0），C（4，0），反
例函数y= （k≠0，x>0）的图象与AB交于点D（m，2），与BC交于点E.
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数y= （k≠0，x>0）图象上一动点（点P在D、E之间
运动，不与D、E重合），过点P作PM//AB，交y轴于点M，作PN//x轴，交BC于
点N，连接MN，求APMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
24.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点
D，过点D作直线DG//BC，连接BE，DB，DC.
（1）若∠ACB=70°，则∠ADB= ；∠AEB= .
（2）求证：DE=CD；
（3）求证：DG是的⊙O 切线.
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2 +bx+6（a≠0）经过点（-1, ），
与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan ∠CBA=3.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段OA上不与点O，A重合的点，过点E作EP⊥x轴，交抛物线
于点P，交AC于点D，点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线
段BC的中点，连接AM，NF.当线段PD的长度取得最大值时，请求出AM +MN +NF
的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD的
长度取最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个
动点，当∠QDK=∠ACB 时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
2024—2025学年度第一学期期末考试
初四数学试题参考答案及评分意见
（仅供参考）
一．选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，满分 30分）
1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.A
二．填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，满分 18分）
11.4 12.（2，5） 13. 14. 15. 16.6
三．解答题（本大题共 9个小题，共 72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17.（6 分）解：（1）| |+
= ……………………2 分
……………………3 分
（2）
. ……………………………5 分
. ………………………………6分
18.（6 分）解：（1）如图，OC 即为所求做的直线……………3分
（2）如图， 即为所求做的圆弧（说明可有可无）…6 分
说明：方法一，作 OA 的中垂线交 OA 于 C，然后以 C为圆心，CA 长为半径画弧交 0A 的中垂
线于点 M，再以 0 为圆心，OM 的长为半径画弧分别交 OA、0B 于点 D、E.则 即为所求；
方法二，构造等腰直角三角形 OAC，作 AF⊥OC，交 OC 于点 F；以 0为圆心，0F 的长为半径
画弧交 0B 于点 E，交 OA 于点 D， 即为所求.
1
19.（7 分）解：（1） ； ……………………2 分
4
（2）由树状图可知：共有 12 种等可能的结果，两个数的
差为正数的情况有 6种，
6 1
∴ P （结果为正数） ，
12 2
P （结果为非正数）
6 1
． ……………………6 分
12 2
∵ ,∴游戏规则公平． ……………………7 分
20.（7 分）解：（1）连接 OM ……………………1分
∵AB=50，∴OM
∵OC⊥MN，∴∠OCM=90°,MC=NC= MN= ……………2
分
在 Rt△OMC 中，根据勾股定理得：
即， ∴OC=7,∴OC 的长 7cm； …………3 分
（2）过点 O 作 OH⊥EF，垂足为点 H，连接 OE …………4 分
∴∠OHE=90°,EF=2EH
由题意可知：OH ……………………………………5分
在 Rt△OEH 中，根据勾股定理得： ,即，
∴EH=15 ……………………………………6 分
∴EF=2EH=2 , ∴48-30=18
∴此时水面截线减少了 18cm； ……………………………………………………7分
21.（8 分）解：（1） ， ，…………………2 分
（2）图象如图； ………………………4分
函数 的一条性质：当 时，y随 x的增大而增大；
函数 的一条性质：当 时，y随 x的增大而减小；
……………………6分
（3）当 时， …………………………8 分
22.（8 分）解：过点 E 作 EH⊥AD，垂足为点 H， …………………………1 分
由题意可知： 36.9°，EH=1.2m， ……2分
在 Rt△BCE 中， ……3 分
. ，∴CE ，
∴AH=AD-CE=2.90-2=0.9m…………………………5 分
在 Rt△AEH 中，由勾股定理得： ，
∴ ， ∴
， …………………………6 分
∴ ，∴
∴ 的 值 为
1.3 …………………
………8 分
23.（9 分）解:（1）∵A(-1，0)，C(4，0)，∴AC=5
又∵AC=BC，∴BC=5，∵∠ACB=90°，∴点 B(4,5)
设直线 AB 的函数表达式为 y=ax+b，
将 A(-1，0),B(4，5)代入 y=ax+b,得 ，
解之得： ，∴直线 AB 的函数表达式为 y=x+1， ……………………2 分
将点 D(m，2)代入 y=x+1 中得：m=1，∴点 D的坐标为（1，2） ……………………3分
将 D(1,2)代入 y= 中得：k=2. …………………………………4分
(2)延长 NP 交 y轴于点 Q,交 AB 于点 L. ……………………5分
∵AC=BC，∠BCA=90°，∴∠BAC=45°，
∵PN//x 轴，∴∠BLP=∠BAC=45°,∠NQM=∠QOA=90°
∵AB//MP，∴∠MPL=∠BLP=45°，∴∠QMP=∠QPM=45°，∴QM=QP …………………7分
设点 P的坐标为(t， )(1
当 t=2 时，
∴当 t=2 时， 的最大面积为 2，此时点 P 的坐标(2,1) . ……………………9 分
24.（10 分）解：(1)70°，125°；…………………………………………………2 分
(2) 证明：连接 EC
∵点 E是△ABC 的内心，∴AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACB，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ACE＝∠BCE，
∵ , ∴∠BAE＝∠BCD，∴∠CAE＝∠BCD，
∵∠CED＝∠CAE+∠ACE, ∠DCE＝∠BCD+∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC……6 分
(3)连接 OD 交 BC 于点 M，连接 OB、OC
∵∠BAE＝∠CAE，∴ ，∴∠BOD＝∠COD
∵OB=OC ∴OD⊥BC， ∴∠OMC＝90°，∵DG∥BC， ∴OD⊥DG，
又∵OD 是半径, ∴∠ODG＝∠OMC＝90°，∴DG 是⊙O的切线． ……………10 分
25.（11 分）解：（1）解：当 时，y＝ ，
∴点 C坐标为（0，6），∴OC=6
在 Rt△OBC 中，∵tan∠CBA=3，∴ ，∴ ，
∴OB=2，∴点 B坐标为（2，0），
把（2，0），（-1， ）代入表达式得： ，
解之得： ，∴抛物线的表达式为 y＝ ………………3 分
（2）∵B（2，0），C（0，6）， ∴BC 的中点 F 的坐标为（1，3）
当 时，0＝ ，∴ ，∴点 A 坐标为（-6，0），
设直线 AC 的表达式为： ，将点 A（-6，0），点 C（0，6）代入得：
解之得： ，∴直线 AC 的表达式为： ， …………………………………4分
设点 P的坐标为（ ， ），则点 D 的坐标为（ ），
∴PD
∴当 时，PD 有最大值，此时点 D（ ），点 E（ ,0）, ∴MN=3
∵A（-6，0），E（ ,0），∴AE=MN=3， ……………………………………………6 分
连接 EF 交 y 轴于点 N，过点 N作 NM//x 轴，交 PE 于点 M，连接 AM，
易得：四边形 AENM 为平行四边形，AM=EN，
此时 AM+MN+NF=AE+EN+NF=AE+EF 的值最小
过点 F作 FH⊥AB，垂足为点 H，则点 H的坐标为（1,0），∴EH= ，FH=3，
在 Rt△EFH 中，根据勾股定理，得 ，即， ，∴EF=5
∴AE+EF= ∴AM+MN+NF 的最小值为 8 ………………………………8分
（3）符合条件的点 Q 的坐标为（ ， ）或（ ， ）
（写出一个给 1分，写出两个给 3分 ……………………………11 分
