第五章 函数应用章末测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数f(x)=，g(x)=kx2，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．(∞,1) B．(1,0) C．(0,4) D．(0,1)∪(1,4)
2．已知函数当时，方程的根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数在上有零点，则正数的所有可取的值的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 定义在上的偶函数,，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数是定义域为的偶函数.当时，，若关于的方程，有且只有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v（单位：）可以表示为，其中Q表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若函数y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a可取值为( )
A．－2 B．0 C． D．－
8．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．
C．是函数的一个周期
D．方程恰有4个不同的根
三、填空题
9．设方程的两根为，，其中，则实数m的取值范围是 .
10．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行 次函数值的计算.
11．已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是 ..
12．已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为
四、解答题
13．全国新旧动能转换的先行区济南市将以“结构优化·质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为万元，在年产量不足80个时，（万元）；在年产量不小于80个时，（万元）.每个工业机器人售价为6万元.通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入 固定成本 流动成本）
(2)年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？
14．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系．要求及图示如下：
①函数是区间上的增函数；
③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分；
⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分．
现有以下三个函数模型供选择：
（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）．
(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟．（注：，结果保留整数）．
15．已知，关于的函数，集合，.
（1）若，求、的值；
（2）若，且，求集合.
16．FISS足球世界杯是很受全球高中生欢迎的足球赛事，中国成功获得国际中体联足球世界杯2024，2026，2028年主办权，经过大连市的积极申办，教育部正式推荐，大连最终成为2024年国际中体联足球世界杯承办地．筹备期间组委会委托A工厂生产某种纪念品，生产该纪念品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足9万件时，（万元），在年产量不小于9万件时，（万元），每件纪念品售价为10元，通过市场分析，此纪念品当年能全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)年产量为多少万件时，该工厂在这一纪念品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C B C D BD ACD
1．D
【解析】画出f(x)，g(x)的图像，f(x)=g(x)有两个不同的实数根即图象有两个交点，讨论0
分别画出函数f(x)，g(x)的图像如图所示，
由图像可以看出，g(x)=kx2的图像恒过A(0,2)，设B(1,2)，则直线AB的斜率为4，
①当0
②当k=1时，函数f(x)，g(x)的图像有一个交点，
即方程f(x)=g(x)有一个实数根；
③当1
④当k≤0时，函数f(x)，g(x)的图像有一个交点，即方程f(x)=g(x)有一个实数根.
综上，实数k的取值范围是0
【点睛】方法点睛：根据函数解析式画出函数图象，由f(x)=g(x)有两个不同的实数根等价于函数图象有两个交点，问题转化为当函数图象有两个交点时k的取值.
1、刻画含绝对值的函数图象，以及过定点的函数图象.
2、分类讨论k的取值，判断函数图象的交点情况.
2．D
【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解.
【详解】当时，即则的周期为
画出函数的图像，
令则又因为则
由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数，
由图像可知，当时，存在一个零点，因为时，
当时，则在两函数存在一个零点，
当时，则在两函数存在一个零点，
当时，则在两函数存在一个零点，
当时，恒成立，则两函数无零点.
综上所述，两函数有三个零点.
故选：D.
3．C
【分析】考虑函数在区间上有一个零点、有两个零点，根据二次函数的零点分布分别求解出的取值范围，即可求解出正数的所有取值的集合.
【详解】当在实数集上仅有一个零点，，所以，
此时零点，所以满足；
当在实数集上有两个零点，有一个零点在上时，，
所以，所以；
当在上有两个零点时，对称轴为，
所以，解得，所以.
综上所述：正数的所有取值的集合为.
故选C.
【点睛】本题考查二次函数的零点分布以及零点的存在性定理的运用，难度一般.定义在区间上的，若有则在区间上一定有零点；反之，若在区间上有零点则不一定有.
4．B
【分析】根据题目，判断出在上的单调性，再根据零点存在性定理，判断在的零点个数，最后根据偶函数的性质，推出结果．
【详解】由题意知，当时，指数函数和对数函数都是增函数，所以为增函数，所以在至多有一个零点．又因为当时，，当时，．根据零点判定定理，在有且仅有一个零点，又因为是偶函数，图像关于轴对称，所以在上也存在一个零点．综上所述，共有2个零点，故答案选B．
【点睛】本题是涉及函数相关知识的综合题，既考查了判断函数单调性的方法，偶函数的性质，也考查了函数的零点判定定理．
5．C
【解析】设，则方程必有两根，作出函数的图象，可得出，，由此可得出实数的取值范围.
【详解】设，作出函数的图象如下图所示：
由于关于的方程，有且只有个不同实数根，
则关于的二次方程必有两根，其中，且，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，涉及复合型二次函数的零点问题，解决此类问题一般将函数分为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
6．D
【分析】利用公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以
所以，
故选：D
7．BD
【分析】y＝(ax－1)(x＋2)有唯一零点－2等价于方程(ax－1)(x＋2)＝0有唯一解x＝－2，据此即可求出a的取值.
【详解】由题可知ax－1≠0或ax－1＝0的解为x＝－2，
故a＝0或a＝.
故选：BD.
8．ACD
【分析】令，根据偶函数的性质及函数的对称性判断A，推导出的周期，即可判断C，根据周期性与对称性，作出，的图象与的图象，数形结合即可判断D.
【详解】对于A：令，则是偶函数，即，即，
所以关于对称，故A正确；
对于C：因为是定义在上的奇函数，则，
因为，所以，
即，所以的周期，
显然，则也是函数的周期，故C正确；
对于B：因为，，
所以，，
所以，故B错误；
对于D：因为，，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，可知关于点对称，又可作出上的图象，
又的周期，作出，的图象与的图象，
又，，所以，即，
如图所示：所以与有4个交点，故D正确，
故选：ACD．
9．
【解析】由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数的取值范围．
【详解】解：方程的两根，，其中， 故，即，解得或，令
①，解得；
②解得
综上可得
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.
10．4
【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的，根据精度要求即可求解.
【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1，
第1次计算后区间长度为；
第2次计算后区间长度为；
第3次计算后区间长度为；
第4次计算后区间长度为；
故至少计算4次.
故答案为：4.
11．
【分析】根据二次函数与对数函数的图象作出函数图象，利用数形结合及对勾函数的性质计算即可.
【详解】作函数的图象如下图所示：
由图象可知，方程有四个不同的解，且，
需满足，
则由二次函数的对称性可知，，
由对数函数的图象及性质可知，，，，
则，，
∴，
而函数在递减，上递增，
当时，，当或4时，，故其取值范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：函数零点求参问题通常利用数形结合思想，及常用结论：对于方程有两根，且该两根之积为定值1，化简，再根据参数范围及对勾函数的性质计算即可.
12．
【分析】令，根据题设条件探求出方程有4个互不相同的实根，再借助一元二次方程实根分布即可作答.
【详解】当时，的图象是图象右移1个单位并去掉y轴及左侧的部分，
当时，的图象是抛物线去掉y轴右侧的部分，如图，
令，原方程化为：，令，
观察图象知，直线与的图象最多有4个公共点，即关于的方程最多4个根，
而关于的方程有个不相等的实数根，则关于的方程有4个根，，
并且关于t的方程在上有两个不等实根，
于是得：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
13．(1)
(2)年产量为85个时，工业机器人生产中所获利润最大，最大利润是25万元
【分析】小问1：分段讨论求解即可；
小问2：当时，利用二次函数性质求解最值；当时，结合基本不等式求解最值．
【详解】（1）因为每个工业机器人售价为6万元，则x个工业机器人的销售收入为6x万元，依题意得：当时，，
当时，，
∴
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值20；
当时，，
此时，当即时，取得最大值25；
∵，
∴年产量为85个时，工业机器人生产中所获利润最大，最大利润是25万元．
14．(1)选项模型（Ⅲ），
(2)37分钟
【分析】（1）根据一次函数与指对数函数的图象判断即可；
（2）代入函数模型求解即可.
【详解】（1）由图可知，该函数的增长速度较慢，
对于模型（1），，为线性增长，不合题意；
对于模型（2），是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适；
对于模型（3），对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型（3），
此时，所求函数过点，
则，解得，故所求函数为，
经检验，当时，，符合题意
综上所述，函数的解析式为
（2）由（1）得，因为每天得分不少于3分，
所以，即，
所以，即，
所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟
15．（1），；（2），；，；，；，.
【分析】（1）等价于有两个相等的实根，解且即得解；（2）先化简两个集合的方程，由题得两方程同解，再对分类讨论得解.
【详解】（1）由题得有两个相等的实根，
所以有两个相等的实根，
所以且，
解之得，.
（2）当b=0时，
关于A的方程可以化为（1）
关于B的方程可以化为，
因式分解为 （2）
由条件A=B可知，方程（1）和（2）同解，
（1）当时，两方程为和，所以，
所以;
（2）当时，两方程为和，所以所以；
（3）当时，两方程为和，所以所以；
（4）当时，两方程为和，所以所以；
（5）当时，方程（2）中，，有两个不同的解，此时方程（1）和（2）不同解，所以舍去.
所以，；，；，；，.
【点睛】本题主要考查集合和集合的关系，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．(1)
(2)当年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为30万元
【分析】（1）根据题意分和两种情况，求分段函数解析式；
（2）根据题意分和两种情况，根据二次函数和基本不等式求最值.
【详解】（1）因为每件商品售价为10元，则x万件商品销售收入为10x万元，
当时，；
当时，；
所以.
（2）由（1）可知：
当时，，
当时，取得最大值29；
当时，，
当且仅当时等号成立，即时，取得最大值30；
因为，所以当年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为30万元．
