2024年浙江省宁波市南三县（奉化区、宁海县、象山县）初中毕业生学业诊断性考试一模数学模拟试题
1．（2024·宁波模拟）的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义：两个乘积互为1的数，互为倒数，据此即可求解.
2．（2024·宁波模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式=6a2，此选项不符合题意；
B、原式=2a，此选项不符合题意；
C、原式=a6，此选项符合题意；
D、原式=a6-3=a3，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
C、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
3．（2024·宁波模拟）2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：126万亿=126000000000000=1.26×1014.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．（2024·宁波模拟）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
5．（2024·宁波模拟）某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如下表：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 5 15 9 6 5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．70分，80分 B．70分，75分 C．60分，80分 D．70分，85分
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 由统计表中的信息可知，70分出现15次，是出现次数最多的数据，所以众数为70分；
由于一共调查了人，
所以中位数为第20、21个数据的平均数，即中位数为（分，
故答案为：B.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据定义并结合题意可求解.
6．（2024·宁波模拟）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 解：，
解①可得：，
解②可得，
故不等组的解集为：，
故答案为：A．
【分析】由题意，先求出每一个不等式的解集，然后找出各解集的公共部分即为不等式组的解集.
7．（2024·宁波模拟）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？”译文为：现有重量相等的黄金9枚，重量相等的白银11枚，称重后发现黄金和白银的重量相等，互相交换一枚，则金方轻13两。问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 解：黄金枚，白银枚，称重相等，
；
互相交换枚后，金方轻了两，
．
根据题意可列方程组．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据题中的相等关系“黄金枚，白银枚，称重相等；互相交换枚后，金方轻了两”可列出关于，的二元一次方程组即可求解.
8．（2024·宁波模拟）如图，在三角形中，过点B，A作，，，交于点F，若，，，则线段的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在与中
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据三线合一得到，再根据垂直的定义得到，即可证明，解题即可．
9．（2024·宁波模拟）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．
设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故答案为：B．
【分析】得到抛物线的对称轴判断①；根据两点到对称轴的距离大小判断②；令，即可得到，解得 m的值判断③；得到抛物线的顶点在直线上，即可得到直线与直线平行，得到两直线的距离判断④解题．
10．（2024·宁波模拟）如图，在中，点O为对角线上一点，过点O作，，若要求出的面积，则只需知道（ ）
A．与的面积之积 B．与的面积之商
C．与的面积之和 D．与的面积之差
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过O作于N，交于M，
设，；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形均是平行四边形，
∵，，
∴，
∴的面积为，的面积为，的面积为；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
∵与的面积之积为，
∴，
∴，
即知道与的面积之积，即可求出的面积；
故答案为：A．
【分析】过O作于N，交于M，设，，表示与的面积分别为，即可得到的面积为；根据，即可得到，可得与的面积之积为，解题即可．
11．（2024·宁波模拟）分解因式： .
【答案】x(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.
12．（2024·宁波模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
13．（2024·宁波模拟）一个不透明的袋子中只装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，1个红球，1个黑球．从袋中随机摸出一个小球是白球的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 从中随机摸出一个小球，摸到白球的概率是．
故答案为：
【分析】 根据概率公式计算，即可求解．
14．（2024·宁波模拟）若一个圆锥侧面展开图的半径为14cm，圆心角为，则该圆锥的底面半径长为 ．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径长为rcm，∵圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长，
∴
解得
故答案为：．
【分析】根据"圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长"可得关于r的方程，解方程即可求解.
15．（2024·宁波模拟）如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为 ．
【答案】或10
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当点E在线段上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即；
②当点E在线段延长线上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即．
综上：或．
故答案为：或10．
【分析】分为两种情况：①点E在线段上时，②点E在线段延长线上时，过点F作的平行线，交于点H，交于点G，根据勾股定理得到，然后求出，设，再利用勾股定理列方程解题．
16．（2024·宁波模拟）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
17．（2024·宁波模拟）（1）计算：
（2）化简：
【答案】解：（1）
（2）
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．（2024·宁波模拟）如图是由完全相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹，用虚线表示）．
（1）在图1中的边上画出点D，使得．
（2）在图2中的边上画出点E，使得．
【答案】（1）解：如图，如图，取格点，，连接，交于，
由，，，
∴，
∴，
∴
（2）如图，取格点，，记，与格线的交点分别为，，连接，连接并延长与交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
由网格特点可得：，分别为，的中点，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）取格点，，使得，，连接交于点，则点D即为所作；
（2）取格点，，使得为正方形，记，与格线的交点分别为，，连接并延长与交于点，点E即为所作.
19．（2024·宁波模拟）某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，随机调查了一部分学生进行问卷测试，并将测试结果按等第（记90分及以上为A等，80分及以上90分以下为B等，70分及以上80分以下为C等，70分以下为D等）绘制成如图1，图2两个不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参与本次调查的学生人数为________，图1中m的值是________．
（2）补全条形统计图，并计算测试成绩为“A等”的部分所在扇形统计图中圆心角的度数．
（3）结合调查的结果，估计全校1200名学生中测试成绩为“C等”的人数．
【答案】（1）50；40
（2）解：等级的人数有：（人），
如图，补全学生测试成绩条形统计图
测试成绩为A等的部分所在扇形统计图中圆心角的度数为
（3）解：全校1200名学生中测试成绩为C等的人数估计为
（人）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次被调查的学生人数是：（人，
，
所以图1中m的值是40，
故答案为：50；40；
【分析】（1）利用等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后根据等级的人数除以总人数，即可求出m的值；
（2）利用总人数减去其它各组人数求出等级的人数，补全条形统计图；再用A等级人数所占比例乘以求出圆心角即可；
（3）用1200乘以“C等”的人数占比解题．
20．（2024·宁波模拟）2022年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角．（参考数据：，，）
（1）此时舞者的垂直高度约为多少米．
（2）如图3，下半身与水平面的夹角不变，当与在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？
【答案】（1）解： 如图，过点B作于点F，作于点E，
，四边形BEDF为矩形，
，，
，
在中，，米
，
同理：，
米
（2）解： 如图，作于点G，
，
在中，米，
米，
米，
即舞者的高度增加了0.66米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，作于点，即可得到，利用矩形的性质得到，，即可得到，然后利用解直角三角形解题即可；
（2）作于点G，先得到，然后在中，得到米，再利用余弦求得
米，解题即可.
21．（2024·宁波模拟）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：
(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．
(2)慢车出发多少小时候，两车相距200km．
【答案】（1）100；（8，480）；
（2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h；
在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km
共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h
∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h．
答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km
在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶
则慢车速度为=60km/h
设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h
∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8，348）
∴慢车行驶时间为h，
∴C点的横坐标为8
∴C点的坐标为（8，480）；
故答案为：100，（8，480）；
【分析】（1）先分析图象得到甲乙两地的距离为480km， 快车和慢车一起行驶了3小时，快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶1小时，即可求出慢车速度和快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段为慢车行驶；即可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标解题；
（2）分快车出现故障前和故障后两种情况，利用路程=速度差×时间解题即可．
22．（2024·宁波模拟）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交于点F，交于点G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下；∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴四边形AEGB是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）解：∵，
∴，
过点F作于点M，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
【知识点】菱形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
23．（2024·宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中，．
素材2 已知大棚有200根长为的支架和200根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】解： （1）如图，以O为原点，建立如图所示的坐标系，
，，
设抛物线解析式为，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，将代入解析式得，，
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
，
为，
改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为，
将代入解析式得，
，
为，为，
共需改造经费，
能完成改造．
（3）如图，设改造后抛物线解析式为，
则为，为，
由题意可列不等式，，解得，
，
时，的值最大，为1.6米
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为原点，建立坐标系，即可得到函数的对称轴为直线x=5，然后根据待定系数法得求出函数解析式；
（2）先求出函数的解析式，再得到G、的坐标解题即可；
（3）设改造后抛物线解析式为，即可得到、的坐标，进而得到关于的取值范围，根据增减性得到的最大值．
24．（2024·宁波模拟）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
（2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
（3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
【答案】（1）①√；②×
（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，∴
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，
（3）解：①如图所示，连接，，， 设交于点，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即是的中点，
∴，
∵四边形是倍分四边形．
若是倍分线，则点到的距离相等，
而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线，
∴是倍分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴
②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点，
由①可得，则四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，则，
在中，∵
∴，则
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴
∴
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答（1）】解：①平行四边形是倍分四边形（√ ）
②梯形是倍分四边形（×）
故答案为：①√；②×．
【分析】（1）根据“倍分四边形”的定义判断即可 ；
（2）根据“倍分四边形”的定义得到，过点作于点，即可得到，，然后利用勾股定理求出长，即可得到，再在中，运用勾股定理解题；
（3）①连接，，， 设交于点，利用是倍分四边形．得到是倍分线，即，然后得到，即可得到，设，得到，即可得到，过点作于点，再根据勾股定理得到，解题；
②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得是平行四边形，即可得到，然后推导，即可得到解题．
2024年浙江省宁波市南三县（奉化区、宁海县、象山县）初中毕业生学业诊断性考试一模数学模拟试题
1．（2024·宁波模拟）的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．（2024·宁波模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·宁波模拟）2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁波模拟）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·宁波模拟）某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如下表：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 5 15 9 6 5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．70分，80分 B．70分，75分 C．60分，80分 D．70分，85分
6．（2024·宁波模拟）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
7．（2024·宁波模拟）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？”译文为：现有重量相等的黄金9枚，重量相等的白银11枚，称重后发现黄金和白银的重量相等，互相交换一枚，则金方轻13两。问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·宁波模拟）如图，在三角形中，过点B，A作，，，交于点F，若，，，则线段的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．（2024·宁波模拟）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·宁波模拟）如图，在中，点O为对角线上一点，过点O作，，若要求出的面积，则只需知道（ ）
A．与的面积之积 B．与的面积之商
C．与的面积之和 D．与的面积之差
11．（2024·宁波模拟）分解因式： .
12．（2024·宁波模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
13．（2024·宁波模拟）一个不透明的袋子中只装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，1个红球，1个黑球．从袋中随机摸出一个小球是白球的概率是 ．
14．（2024·宁波模拟）若一个圆锥侧面展开图的半径为14cm，圆心角为，则该圆锥的底面半径长为 ．
15．（2024·宁波模拟）如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为 ．
16．（2024·宁波模拟）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ．
17．（2024·宁波模拟）（1）计算：
（2）化简：
18．（2024·宁波模拟）如图是由完全相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹，用虚线表示）．
（1）在图1中的边上画出点D，使得．
（2）在图2中的边上画出点E，使得．
19．（2024·宁波模拟）某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，随机调查了一部分学生进行问卷测试，并将测试结果按等第（记90分及以上为A等，80分及以上90分以下为B等，70分及以上80分以下为C等，70分以下为D等）绘制成如图1，图2两个不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参与本次调查的学生人数为________，图1中m的值是________．
（2）补全条形统计图，并计算测试成绩为“A等”的部分所在扇形统计图中圆心角的度数．
（3）结合调查的结果，估计全校1200名学生中测试成绩为“C等”的人数．
20．（2024·宁波模拟）2022年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角．（参考数据：，，）
（1）此时舞者的垂直高度约为多少米．
（2）如图3，下半身与水平面的夹角不变，当与在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？
21．（2024·宁波模拟）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：
(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．
(2)慢车出发多少小时候，两车相距200km．
22．（2024·宁波模拟）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交于点F，交于点G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，，，求线段的长．
23．（2024·宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中，．
素材2 已知大棚有200根长为的支架和200根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值．
24．（2024·宁波模拟）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
（2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
（3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义：两个乘积互为1的数，互为倒数，据此即可求解.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式=6a2，此选项不符合题意；
B、原式=2a，此选项不符合题意；
C、原式=a6，此选项符合题意；
D、原式=a6-3=a3，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
C、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：126万亿=126000000000000=1.26×1014.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 由统计表中的信息可知，70分出现15次，是出现次数最多的数据，所以众数为70分；
由于一共调查了人，
所以中位数为第20、21个数据的平均数，即中位数为（分，
故答案为：B.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据定义并结合题意可求解.
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 解：，
解①可得：，
解②可得，
故不等组的解集为：，
故答案为：A．
【分析】由题意，先求出每一个不等式的解集，然后找出各解集的公共部分即为不等式组的解集.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 解：黄金枚，白银枚，称重相等，
；
互相交换枚后，金方轻了两，
．
根据题意可列方程组．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据题中的相等关系“黄金枚，白银枚，称重相等；互相交换枚后，金方轻了两”可列出关于，的二元一次方程组即可求解.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在与中
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据三线合一得到，再根据垂直的定义得到，即可证明，解题即可．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．
设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故答案为：B．
【分析】得到抛物线的对称轴判断①；根据两点到对称轴的距离大小判断②；令，即可得到，解得 m的值判断③；得到抛物线的顶点在直线上，即可得到直线与直线平行，得到两直线的距离判断④解题．
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过O作于N，交于M，
设，；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形均是平行四边形，
∵，，
∴，
∴的面积为，的面积为，的面积为；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
∵与的面积之积为，
∴，
∴，
即知道与的面积之积，即可求出的面积；
故答案为：A．
【分析】过O作于N，交于M，设，，表示与的面积分别为，即可得到的面积为；根据，即可得到，可得与的面积之积为，解题即可．
11．【答案】x(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 从中随机摸出一个小球，摸到白球的概率是．
故答案为：
【分析】 根据概率公式计算，即可求解．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径长为rcm，∵圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长，
∴
解得
故答案为：．
【分析】根据"圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长"可得关于r的方程，解方程即可求解.
15．【答案】或10
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当点E在线段上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即；
②当点E在线段延长线上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即．
综上：或．
故答案为：或10．
【分析】分为两种情况：①点E在线段上时，②点E在线段延长线上时，过点F作的平行线，交于点H，交于点G，根据勾股定理得到，然后求出，设，再利用勾股定理列方程解题．
16．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
17．【答案】解：（1）
（2）
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．【答案】（1）解：如图，如图，取格点，，连接，交于，
由，，，
∴，
∴，
∴
（2）如图，取格点，，记，与格线的交点分别为，，连接，连接并延长与交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
由网格特点可得：，分别为，的中点，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）取格点，，使得，，连接交于点，则点D即为所作；
（2）取格点，，使得为正方形，记，与格线的交点分别为，，连接并延长与交于点，点E即为所作.
19．【答案】（1）50；40
（2）解：等级的人数有：（人），
如图，补全学生测试成绩条形统计图
测试成绩为A等的部分所在扇形统计图中圆心角的度数为
（3）解：全校1200名学生中测试成绩为C等的人数估计为
（人）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次被调查的学生人数是：（人，
，
所以图1中m的值是40，
故答案为：50；40；
【分析】（1）利用等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后根据等级的人数除以总人数，即可求出m的值；
（2）利用总人数减去其它各组人数求出等级的人数，补全条形统计图；再用A等级人数所占比例乘以求出圆心角即可；
（3）用1200乘以“C等”的人数占比解题．
20．【答案】（1）解： 如图，过点B作于点F，作于点E，
，四边形BEDF为矩形，
，，
，
在中，，米
，
同理：，
米
（2）解： 如图，作于点G，
，
在中，米，
米，
米，
即舞者的高度增加了0.66米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，作于点，即可得到，利用矩形的性质得到，，即可得到，然后利用解直角三角形解题即可；
（2）作于点G，先得到，然后在中，得到米，再利用余弦求得
米，解题即可.
21．【答案】（1）100；（8，480）；
（2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h；
在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km
共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h
∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h．
答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km
在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶
则慢车速度为=60km/h
设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h
∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8，348）
∴慢车行驶时间为h，
∴C点的横坐标为8
∴C点的坐标为（8，480）；
故答案为：100，（8，480）；
【分析】（1）先分析图象得到甲乙两地的距离为480km， 快车和慢车一起行驶了3小时，快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶1小时，即可求出慢车速度和快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段为慢车行驶；即可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标解题；
（2）分快车出现故障前和故障后两种情况，利用路程=速度差×时间解题即可．
22．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下；∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴四边形AEGB是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）解：∵，
∴，
过点F作于点M，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
【知识点】菱形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
23．【答案】解： （1）如图，以O为原点，建立如图所示的坐标系，
，，
设抛物线解析式为，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，将代入解析式得，，
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
，
为，
改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为，
将代入解析式得，
，
为，为，
共需改造经费，
能完成改造．
（3）如图，设改造后抛物线解析式为，
则为，为，
由题意可列不等式，，解得，
，
时，的值最大，为1.6米
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为原点，建立坐标系，即可得到函数的对称轴为直线x=5，然后根据待定系数法得求出函数解析式；
（2）先求出函数的解析式，再得到G、的坐标解题即可；
（3）设改造后抛物线解析式为，即可得到、的坐标，进而得到关于的取值范围，根据增减性得到的最大值．
24．【答案】（1）①√；②×
（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，∴
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，
（3）解：①如图所示，连接，，， 设交于点，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即是的中点，
∴，
∵四边形是倍分四边形．
若是倍分线，则点到的距离相等，
而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线，
∴是倍分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴
②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点，
由①可得，则四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，则，
在中，∵
∴，则
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴
∴
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答（1）】解：①平行四边形是倍分四边形（√ ）
②梯形是倍分四边形（×）
故答案为：①√；②×．
【分析】（1）根据“倍分四边形”的定义判断即可 ；
（2）根据“倍分四边形”的定义得到，过点作于点，即可得到，，然后利用勾股定理求出长，即可得到，再在中，运用勾股定理解题；
（3）①连接，，， 设交于点，利用是倍分四边形．得到是倍分线，即，然后得到，即可得到，设，得到，即可得到，过点作于点，再根据勾股定理得到，解题；
②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得是平行四边形，即可得到，然后推导，即可得到解题．
