贵州省遵义四校联盟2024-2025学年上学期期末素养测评八年级数学试卷
1．（2024八上·遵义期末）下列分别代表“立春”、“芒种”、“大雪”、“小满”标识，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．“立春”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．“芒种”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．“大雪”标识是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．“小满”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”逐项判断解题．
2．（2024八上·遵义期末）化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方运算法则解题即可．
3．（2024八上·遵义期末）如图，通过尺规作图，得到的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可得：，，
∴根据可以判断，
故答案为：C．
【分析】由作图得到，，再根据可判断解题即可．
4．（2024八上·遵义期末）点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
5．（2024八上·遵义期末）如图，分别是边、的中点，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵分别是边、的中点，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到DE是△ABC的中位线，即可得到，，进而得到，，解题即可．
6．（2024八上·遵义期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，故此选项错误，不符合题意；
，故此选项错误，不符合题意；
，故此选项正确，符合题意；
、，故此选项错误，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法法则逐项判断即可解题．
7．（2024八上·遵义期末）六边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和，
∴六边形的内角和，
∴任意六边形的内角和是，
故答案为：．
【分析】利用多边形的内角和公式解题即可．
8．（2024八上·遵义期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】依据分式的性质“分式的分子分母同时乘以或除以同一个非零的数或式子，分式的值不变”逐项判定解题即可．
9．（2024八上·遵义期末）按如图方式放置等腰直角板（，），分别过A、B，作，，垂足分别为D、E．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵等腰直角板，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据等腰直角三角形可到和全等，解题即可．
10．（2024八上·遵义期末）边长分别为m和的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：图中阴影部分的面积为，
故答案为：D．
【分析】利用阴影部分的面积两个正方形的面积之和两个三角形的面积解题即可．
11．（2024八上·遵义期末）若，，且，则x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，
∴，
∴，
化简得，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘除法和幂的乘方法则计算解题即可．
12．（2024八上·遵义期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，如图，“杨辉三角”两腰上的数都是，其余每个数为它上方左右两个数的和，它给出（为非负整数），当时的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的各项系数的规律：
则展开式中的系数为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
13．（2024八上·遵义期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
14．（2024八上·遵义期末）如图，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：是的外角，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角求出的度数，利用邻补角互补得到的度数即可解题．
15．（2024八上·遵义期末）已知一个长方形的面积是，其中一边的长为，则另一边的长为 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
16．（2024八上·遵义期末）小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为 ；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ．
【答案】3；
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
17．（2024八上·遵义期末）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂，然后合并解题即可；
（2）先运算完全平方公式、单项式乘多项式，然后合并解题即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024八上·遵义期末）（1）因式分解：；
（2）当、时，求（1）的值．
【答案】解：（1）；
（2）当、时，
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可；
（2）将、整体代入（1）中因式分解后的式子计算即可．
19．（2024八上·遵义期末）如图，在边长为1的正方形网格中，是关于直线l的对称图形．
（1）连接，，求四边形的面积；
（2）在直线l对上找一个点P，使最短．
【答案】（1）解：由图知，，
∴四边形的面积为12
（2）解：如图，连交直线l与点P，
∵是关于直线l的对称图形．
∴关于直线l的对称，
∴，
∴，
∴由两点之间，线段最短知，此时最短，
∴点P即为所求
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据梯形的面积公式即可解题；
（2）连交直线l与点P，则点P即为所作.
（1）解：由图知，，
∴四边形的面积为12；
（2）解：如图，连交直线l与点P，
∵是关于直线l的对称图形．
∴关于直线l的对称，
∴，
∴，
∴由两点之间，线段最短知，此时最短，
∴点P即为所求．
20．（2024八上·遵义期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：
（1）因式分解：；
睿睿做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则________；________；
∴（____）（____）
（2）因式分解：；
【答案】（1）2，4，2，4
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
【分析】（1）根据十字相乘法因式分解解题；
（2）根据十字相乘法因式分解解题．
（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则．
21．（2024八上·遵义期末）如图，在中，，是边的高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交于点F，且，垂足为F．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵是边的高，点D是边的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形
（2）解：由（1）可得是等边三角形，∴，
∵，
∴，
∴，
∵是边的高，
∴，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分，即可得到，证明结论；
（2）利用等边三角形的性质得到，然后根据30°的直角三角形的性质得出，即可得到，然后根据30°的直角三角形的性质解题即可．
（1）证明：∵是边的高，点D是边的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：由（1）可得是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是边的高，
∴，
∴．
22．（2024八上·遵义期末）如图，平分且平分，，点F在射线上，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，∴，
∴，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，然后根据得到证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，再推理得到解题即可．
（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∴，
∴，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴．
23．（2024八上·遵义期末）如图①，为等腰直角三角形，，点D、点E分别为、的中点．
（1）请任意写出两对相等的边________，________；
（2）若绕点C顺时针旋转，连接，，求证：．
【答案】（1），
（2）证明：由（1）可得：，，，∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
24．（2024八上·遵义期末）小梦同学在学习整式的乘法这一章后，对其进行深入探究：若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为，所以5是“梦想数”．
（1）小梦同学发现13是“梦想数”，则．
（2）请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）________、________．
（3）已知（x，y，k是整数），要使M为“梦想数”，求k的值．
【答案】（1）2，3
（2）20，29（答案不唯一）
（3）解：
，
是一个“梦想数”，
是一个完全平方式，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）解：∵，
故答案为：2，3；
（2）解：∵，，
∴20，29是符合条件的“梦想数”，
故答案为：20，29（答案不唯一）；
【分析】(1)利用“梦想数”的定义解题即可；
(2)利用“梦想数”的定义解题即可；
(3)利用“梦想数”的定义，M可以化为两个数的平方和的形式，然后求k的值即可.
（1）解：∵，
故答案为：2，3；
（2）解：∵，，
∴20，29是符合条件的“梦想数”，
故答案为：20，29（答案不唯一）；
（3）解：
，
是一个“梦想数”，
是一个完全平方式，
，
．
25．（2024八上·遵义期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究：
（1）【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数．
解：在上截取一点E，使得，证明，得到…
请把上面的步骤补充完整．
（2）【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________．
【答案】（1）解：在上截取一点E，使得，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：，理由如下：在上截取一点E，使得，
同理（）可得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：如图，过点作的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】（）在上截取一点E，使得，得到，即可得到，，进而求出，再根据，得到，进而求出解题即可；
（）在上截取一点E，使得，同（）得到，即可得到，，进而求得，再利用三角形外角得到，进而得到，解题即可；
（）过点作的延长线于点，可以证明，即可得到，，进而证明，可得，然后根据解题即可．
（1）解：在上截取一点E，使得，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
在上截取一点E，使得，
同理（）可得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
贵州省遵义四校联盟2024-2025学年上学期期末素养测评八年级数学试卷
1．（2024八上·遵义期末）下列分别代表“立春”、“芒种”、“大雪”、“小满”标识，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·遵义期末）化简为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·遵义期末）如图，通过尺规作图，得到的理由是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·遵义期末）点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·遵义期末）如图，分别是边、的中点，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·遵义期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·遵义期末）六边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·遵义期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·遵义期末）按如图方式放置等腰直角板（，），分别过A、B，作，，垂足分别为D、E．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·遵义期末）边长分别为m和的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·遵义期末）若，，且，则x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2024八上·遵义期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，如图，“杨辉三角”两腰上的数都是，其余每个数为它上方左右两个数的和，它给出（为非负整数），当时的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的各项系数的规律：
则展开式中的系数为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024八上·遵义期末）因式分解： ．
14．（2024八上·遵义期末）如图，，，则的度数为 ．
15．（2024八上·遵义期末）已知一个长方形的面积是，其中一边的长为，则另一边的长为 ．
16．（2024八上·遵义期末）小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为 ；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ．
17．（2024八上·遵义期末）计算
（1）
（2）
18．（2024八上·遵义期末）（1）因式分解：；
（2）当、时，求（1）的值．
19．（2024八上·遵义期末）如图，在边长为1的正方形网格中，是关于直线l的对称图形．
（1）连接，，求四边形的面积；
（2）在直线l对上找一个点P，使最短．
20．（2024八上·遵义期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：
（1）因式分解：；
睿睿做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则________；________；
∴（____）（____）
（2）因式分解：；
21．（2024八上·遵义期末）如图，在中，，是边的高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交于点F，且，垂足为F．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
22．（2024八上·遵义期末）如图，平分且平分，，点F在射线上，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
23．（2024八上·遵义期末）如图①，为等腰直角三角形，，点D、点E分别为、的中点．
（1）请任意写出两对相等的边________，________；
（2）若绕点C顺时针旋转，连接，，求证：．
24．（2024八上·遵义期末）小梦同学在学习整式的乘法这一章后，对其进行深入探究：若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为，所以5是“梦想数”．
（1）小梦同学发现13是“梦想数”，则．
（2）请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）________、________．
（3）已知（x，y，k是整数），要使M为“梦想数”，求k的值．
25．（2024八上·遵义期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究：
（1）【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数．
解：在上截取一点E，使得，证明，得到…
请把上面的步骤补充完整．
（2）【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．“立春”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．“芒种”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．“大雪”标识是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．“小满”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”逐项判断解题．
2．【答案】A
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方运算法则解题即可．
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可得：，，
∴根据可以判断，
故答案为：C．
【分析】由作图得到，，再根据可判断解题即可．
4．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵分别是边、的中点，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到DE是△ABC的中位线，即可得到，，进而得到，，解题即可．
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，故此选项错误，不符合题意；
，故此选项错误，不符合题意；
，故此选项正确，符合题意；
、，故此选项错误，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法法则逐项判断即可解题．
7．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和，
∴六边形的内角和，
∴任意六边形的内角和是，
故答案为：．
【分析】利用多边形的内角和公式解题即可．
8．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】依据分式的性质“分式的分子分母同时乘以或除以同一个非零的数或式子，分式的值不变”逐项判定解题即可．
9．【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵等腰直角板，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据等腰直角三角形可到和全等，解题即可．
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：图中阴影部分的面积为，
故答案为：D．
【分析】利用阴影部分的面积两个正方形的面积之和两个三角形的面积解题即可．
11．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，
∴，
∴，
化简得，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘除法和幂的乘方法则计算解题即可．
12．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：是的外角，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角求出的度数，利用邻补角互补得到的度数即可解题．
15．【答案】
【知识点】整式的混合运算
16．【答案】3；
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂，然后合并解题即可；
（2）先运算完全平方公式、单项式乘多项式，然后合并解题即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：（1）；
（2）当、时，
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可；
（2）将、整体代入（1）中因式分解后的式子计算即可．
19．【答案】（1）解：由图知，，
∴四边形的面积为12
（2）解：如图，连交直线l与点P，
∵是关于直线l的对称图形．
∴关于直线l的对称，
∴，
∴，
∴由两点之间，线段最短知，此时最短，
∴点P即为所求
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据梯形的面积公式即可解题；
（2）连交直线l与点P，则点P即为所作.
（1）解：由图知，，
∴四边形的面积为12；
（2）解：如图，连交直线l与点P，
∵是关于直线l的对称图形．
∴关于直线l的对称，
∴，
∴，
∴由两点之间，线段最短知，此时最短，
∴点P即为所求．
20．【答案】（1）2，4，2，4
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
【分析】（1）根据十字相乘法因式分解解题；
（2）根据十字相乘法因式分解解题．
（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则．
21．【答案】（1）证明：∵是边的高，点D是边的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形
（2）解：由（1）可得是等边三角形，∴，
∵，
∴，
∴，
∵是边的高，
∴，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分，即可得到，证明结论；
（2）利用等边三角形的性质得到，然后根据30°的直角三角形的性质得出，即可得到，然后根据30°的直角三角形的性质解题即可．
（1）证明：∵是边的高，点D是边的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：由（1）可得是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是边的高，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，∴，
∴，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，然后根据得到证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，再推理得到解题即可．
（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∴，
∴，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴．
23．【答案】（1），
（2）证明：由（1）可得：，，，∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
24．【答案】（1）2，3
（2）20，29（答案不唯一）
（3）解：
，
是一个“梦想数”，
是一个完全平方式，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）解：∵，
故答案为：2，3；
（2）解：∵，，
∴20，29是符合条件的“梦想数”，
故答案为：20，29（答案不唯一）；
【分析】(1)利用“梦想数”的定义解题即可；
(2)利用“梦想数”的定义解题即可；
(3)利用“梦想数”的定义，M可以化为两个数的平方和的形式，然后求k的值即可.
（1）解：∵，
故答案为：2，3；
（2）解：∵，，
∴20，29是符合条件的“梦想数”，
故答案为：20，29（答案不唯一）；
（3）解：
，
是一个“梦想数”，
是一个完全平方式，
，
．
25．【答案】（1）解：在上截取一点E，使得，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：，理由如下：在上截取一点E，使得，
同理（）可得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：如图，过点作的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】（）在上截取一点E，使得，得到，即可得到，，进而求出，再根据，得到，进而求出解题即可；
（）在上截取一点E，使得，同（）得到，即可得到，，进而求得，再利用三角形外角得到，进而得到，解题即可；
（）过点作的延长线于点，可以证明，即可得到，，进而证明，可得，然后根据解题即可．
（1）解：在上截取一点E，使得，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
在上截取一点E，使得，
同理（）可得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
