四川省遂宁市射洪中学校2024 2025学年九年级上学期期末数学试题
一、单选题（本大题共18小题）
1．要使有意义，则x应满足（ ）
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
2．下列根式中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如果是锐角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
7．六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选）如图，下列条件中，能够判定的为（ ）
A． B．
C． D．
10．在下图的各事件中，是随机事件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若非零实数，（）满足，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
13．如图，一架飞机在点处测得水平地面上一个标志物的俯角为，水平飞行千米后到达点处，又测得标志物的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
14．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，点D在上，点E在上，，，则（ ）
A． B． C． D．
16．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
17．若关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程的两根之积是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，点E在正方形的对角线上，交于点F，的延长线交于点P，交于点G，连接，则下列结论中；①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的结论有（ ）个．
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题（本大题共6小题）
19． （选填“”或“”或“”）．
20．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
21．若关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则k的取值范围是 ．
22．在锐角中，已知满足，则 ．
23．若，那么的值为 ．
24．如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则= ．
三、解答题（本大题共7小题）
25．计算或解方程
(1)；
(2)．
26．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．
27．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为，在B点处测得碑顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）
28．游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局．
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____；
(2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明；
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？
29．根据以下素材，探索完成任务．
背景素材
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个．
素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴．
问题解决
任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率；
任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？
30．如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为F．
(1)求证：△ABF∽△BEC；
(2)若，EF＝4，求AB的长．
31．如图，在直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，、是线段上的两个动点，且，过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，垂足分别为、、设点的坐标为，令，
(1)求证：；
(2)当时，求的值；
(3)在点、运动过程中，点也随之运动，探索：是否为定值？请证明你的结论．
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】ABD
10．【答案】B
11．【答案】B
12．【答案】A
13．【答案】A
14．【答案】A
15．【答案】C
16．【答案】C
17．【答案】C
18．【答案】A
19．【答案】
20．【答案】2
21．【答案】且
22．【答案】/75度
23．【答案】
24．【答案】
25．【答案】(1)
(2)，
26．（1）解：关于x的一元二次方程，
；
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：，
∵，
∴，
解得，
∵此方程恰有一个根小于，
∴，
解得．
27．解：由题意得：，
∵是的外角，
在中，(m)，
．
答：烈士纪念碑的通高约为．
28．（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况，
∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为；
（2）解：列表如下：
小刚二叔 小刚父亲
A
B
C
D
由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种，
∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为；
（3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为，
∵
∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的．
29．解：任务1：设平均增长率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：平均增长率为：；
任务2：设该零件的实际售价应定为元，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
当时，销售数量为，符合题意；
答：该零件的实际售价应定为40元．
30．（1）证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
．
（2）设，
在中，，
，
，
，点为CD的中点，
，
，
，
，
，且，
，
解得，
．
31．（1）证明：∵点坐标为，点坐标为，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵点坐标为，点坐标为，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∵过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴此时点的坐标为，；
（3）解：为定值，理由如下，
如图，过点作于点，过点作于点，
由（1）得，
∴，
∴，
∵点坐标为，点坐标为，
∴，
∴，
∵，过点作于点，过点作于点，
∴，，，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值．
