9.2.2 向量的数乘
［学习目标］ 1.了解向量数乘的概念并理解其几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
一、向量的数乘及其几何意义
问题1 如图，已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样？
知识梳理
1.一般地，实数λ与向量a的积是一个 ，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|= .
(2)若a≠0，则当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反.
实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的 .
特别地，当λ=0时，0a= ；
当a=0时，λ0=0.
2.向量数乘λa的几何意义是：当λ>0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小；当λ<0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小.
例1 如图，已知向量a与b，求作向量3a-b.
跟踪训练1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是( )
A.λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B.λ=0时，λa与a是共线向量
C.|λa|=λ|a|
D.λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
二、向量数乘的运算
问题2 已知a(a≠0)，求作3(2a)和6a，并进行比较.
问题3 如图，已知向量a，b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较.
知识梳理
1.向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)= ；
(2)(λ+μ)a= ；
(3)λ(a+b)= .
特别地，(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.
2.向量的线性运算
向量的 、 和 统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
例2 (1)若a=2b+c，化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b).
(2)若2(c+b-3y)+b=0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y= .
跟踪训练2 (1)计算：(a+b)-3(a-b)-8a.
(2)设向量a=3i+2j，b=2i-j，化简+(2b-a).
三、向量共线定理
问题4 观察a=m-n，b=-2m+2n有何关系.
问题5 若向量a与b为平行向量，能否得出b=λa或a=λb？
知识梳理
一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，有如下的向量共线定理：
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使 ，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么 一个实数λ，使b=λa.
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
例3 设a，b是不共线的两个向量.
(1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，
求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值.
反思感悟 (1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得等)即可.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练3 已知向量e1，e2不共线，如果=e1+2e2，=-5e1+6e2，=7e1-2e2，则A，B，C，D中能共线的三个点是 .
四、向量线性运算的应用
例4 (1)如图，已知O为直线AB外一点，点C在直线AB上，且(λ≠-1).
求证：.
延伸探究 本例中当λ=1时你能得到什么结论？
(2)如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=a，=b，则等于( )
A.a+b B.a+a
C.a+b D.a+b
跟踪训练4 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若=a，=b，则等于( )
A.a-b B.a+b
C.a+b D.a-b
1.知识清单：
(1)向量的数乘及运算律.
(2)向量共线定理.
2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量；注意0a=0，而不是0.
1.(多选)下列运算正确的是( )
A.(-3)·2a=-6a
B.2(a+b)-(2b-a)=3a
C.(a+2b)-(2b+a)=0
D.2(3a-b)=6a-2b
2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若=a，=b，则等于( )
A.(a-b)
B.-(a-b)
C.(a+b)
D.-(a+b)
3.已知a，b是不共线的两个向量，若=a+2b，=2a+3b，=b，则( )
A.O，A，B三点共线 B.O，A，C三点共线
C.O，B，C三点共线 D.A，B，C三点共线
4.如图所示，已知表示)
答案精析
问题1
=a+a+a=3a.
=(-a)+(-a)+(-a)
=-3a.
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍.
知识梳理
1.向量 (1)|λ||a| (2)数乘 0
2.相同 相反
例1 解 作向量=3a，b，则即为所求向量，如图.
跟踪训练1 ABD
问题2
3(2a)=6a.
问题3 如图，作=a，=b，
=a+b，
=2(a+b).
作=2b，=2a，=2(a+b).
则2(a+b)=2a+2b.
知识梳理
1.(1)(λμ)a (2)λa+μa (3)λa+λb
2.加法 减法 数乘
例2 (1)解 原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c.
(2)a-b+c
跟踪训练2 (1)解 (a+b)-3(a-b)-8a=(a-3a)+(b+3b)-8a
=-2a+4b-8a=-10a+4b.
(2)解 原式=a-b-a+b+2b-a
=a+b
=-a+b
=-(3i+2j)+(2i-j)
=-i-5j.
问题4 因为b=-2a，所以a与b平行.
问题5 若a，b都为非零向量可以，若a=0，b≠0，则不存在实数λ，使b=λa，仅能存在λ=0使得a=λb，同理若b=0，a≠0，情况类似.
知识梳理
b=λa 有且只有 b=λa
例3 (1)证明 ∵=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，
而=(a-3b)-(3a+b)
=-(2a+4b)=-2，
∴共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线.
(2)解 ∵8a+kb与ka+2b共线，
∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)，
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0，
∵a与b不共线，∴
解得λ=±2，∴k=2λ=±4.
跟踪训练3 A，B，D
例4 (1)证明 因为，
又，
所以)，
即(1+λ)，
又因为λ≠-1，即1+λ≠0.
所以.
延伸探究 解 当λ=1时，可得，C为线段AB的中点.
(2)D ［由题意可得△DEF∽△BEA，
∴，
∴DF=AB，
∴.
∵=a，
=b，
联立得(a-b)，
(a+b)，
∴(a+b)+(a-b)
=a+b.］
跟踪训练4 D
随堂演练
1.ABD 2.C 3.D
4.-(共86张PPT)
第9章
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9.2.2
向量的数乘
1.了解向量数乘的概念并理解其几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.
3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
学习目标
导 语
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学习的向量的数乘运算.
内容索引
一、向量的数乘及其几何意义
二、向量数乘的运算
随堂演练
三、向量共线定理
四、向量线性运算的应用
课时对点练
向量的数乘及其几何意义
一
如图，已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样？
问题1
提示 =++=a+a+a=3a.
=++=(-a)+(-a)+(-a)=-3a.
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍.
1.一般地，实数λ与向量a的积是一个 ，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|= .
(2)若a≠0，则当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反.
实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的 .
特别地，当λ=0时，0a= ；
当a=0时，λ0=0.
|λ||a|
向量
数乘
0
2.向量数乘λa的几何意义是：当λ>0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小；当λ<0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小.
相同
相反
(1)向量数乘的结果仍是向量.
(2)实数λ与向量不能相加.
注 意 点
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如图，已知向量a与b，求作向量3a-b.
例 1
作向量=3a，=b，则即为所求向量，如图.
反
思
感
悟
λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.
(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是
A.λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B.λ=0时，λa与a是共线向量
C.|λa|=λ|a|
D.λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
跟踪训练 1
√
√
√
对于A，根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；
对于B，当λ=0时，λa=0，0与a是共线向量，故B正确；
对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；
对于C，|λa|=|λ||a|，故C错误.
二
向量数乘的运算
提示
已知a(a≠0)，求作3(2a)和6a，并进行比较.
问题2
3(2a)=6a.
提示 如图，作=a，=b，=a+b，=2(a+b).
如图，已知向量a，b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较.
问题3
作=2b，=2a，=2(a+b).
则2(a+b)=2a+2b.
1.向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)= ；
(2)(λ+μ)a= ；
(3)λ(a+b)= .
特别地，(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
2.向量的线性运算
向量的 、 和 统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
加法
减法
数乘
(1)若a=2b+c，化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b).
例 2
原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c.
(2)若2-(c+b-3y)+b=0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量
y= .
a-b+c
将原等式变形为2y-a-c-b+y+b=0，
即y-a-c+b=0，
则y=a-b+c，
所以y==a-b+c.
反
思
感
悟
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算.
向量线性运算的基本方法
(1)计算：(a+b)-3(a-b)-8a.
跟踪训练 2
(a+b)-3(a-b)-8a=(a-3a)+(b+3b)-8a=-2a+4b-8a=-10a+4b.
(2)设向量a=3i+2j，b=2i-j，化简-+(2b-a).
原式=a-b-a+b+2b-a
=a+b
=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)
=-i-5j.
向量共线定理
三
观察a=m-n，b=-2m+2n有何关系.
问题4
提示 因为b=-2a，所以a与b平行.
若向量a与b为平行向量，能否得出b=λa或a=λb？
问题5
提示 若a，b都为非零向量可以，若a=0，b≠0，则不存在实数λ，使b=λa，仅能存在λ=0使得a=λb，同理若b=0，a≠0，情况类似.
一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，有如下的向量共线定理：
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使 ，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么 一个实数λ，使b=λa.
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
b=λa
有且只有
b=λa
条件a≠0不能去掉.
注 意 点
<<<
已知，设a，b是不共线的两个向量.
(1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，
求证：A，B，C三点共线；
例 3
∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，
而=-=(a-3b)-(3a+b)
=-(2a+4b)=-2，
∴共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线.
(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值.
∵8a+kb与ka+2b共线，
∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)，
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0，
∵a与b不共线，∴
解得λ=±2，∴k=2λ=±4.
反
思
感
悟
(1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得=λ(或=λ等)即可.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
已知向量e1，e2不共线，如果=e1+2e2，=-5e1+6e2，=7e1-2e2，则A，B，C，D中能共线的三个点是 .
跟踪训练 3
A，B，D
∵=e1+2e2，
=+=-5e1+6e2+7e1-2e2
=2(e1+2e2)=2，
∴共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
向量线性运算的应用
四
已知，(1)如图，已知O为直线AB外一点，点C在直线AB上，且=λ(λ≠-1).
求证：=.
例 4
因为=-=-，
又=λ，
所以-=λ(-)，
即(1+λ)=+λ，
又因为λ≠-1，即1+λ≠0.
所以=.
本例中当λ=1时你能得到什么结论？
延伸探究
当λ=1时，可得=，C为线段AB的中点.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=a，=b，则等于
A.a+b B.a+a
C.a+b D.a+b
√
由题意可得△DEF∽△BEA，
∴==，
∴DF=AB，
∴=+=+.
∵=+=a，=-=b，
联立得=(a-b)，=(a+b)，
∴=(a+b)+(a-b)=a+b.
反
思
感
悟
(1)直接法
用已知向量表示其他向量的两种方法
反
思
感
悟
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若=a，=b，则等于
A.a-b B.a+b
C.a+b D.a-b
跟踪训练 4
√
因为E是BC的中点，
所以==-=-b，
所以=+=+=a-b.
1.知识清单：
(1)向量的数乘及运算律.
(2)向量共线定理.
2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量；注意0a=0，而不是0.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.(多选)下列运算正确的是
A.(-3)·2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a
C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b
√
√
√
根据向量数乘运算和加减运算规律知A，B，D正确；
C中，(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.
2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若=a，=b，则等于
A.(a-b) B.-(a-b)
C.(a+b) D.-(a+b)
√
1
2
3
4
因为M是BC的中点，所以=(a+b).
3.已知a，b是不共线的两个向量，若=a+2b，=2a+3b，=b，则
A.O，A，B三点共线 B.O，A，C三点共线
C.O，B，C三点共线 D.A，B，C三点共线
√
1
2
3
4
由=-=2a+3b-(a+2b)=a+b，
=-=b-(a+2b)=-a-b，
故=-，
所以共线，且有公共点A，
所以A，B，C三点共线.
1
2
3
4
4. 如图所示，已知=，则= .(用，表示)
=+=+
=+-)=-+.
-+
课时对点练
六
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D ACD D A B B -3 -2
题号 11 12 13 14 15
答案 C D AB (a+b+c)
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
(2)原式=
=a+b-a-b=0.
(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=
6a+2b.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
由题意可知，存在实数λ使
2ka+b=λ(8a+kb)=8λa+λkb，
即解得
∵2ka+b与8a+kb的方向相反，
∴k=2不符合题意，舍去，∴k=-2.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(1)当a=时，
，
所以)，
即2共线，
又有公共点C，
所以A，B，C三点共线.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(2)a+b为定值1.理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥ ，
不妨设(λ∈R)，
所以)，
即，
又不共线，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
则
所以a+b=1(定值).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.下列说法中正确的是
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a，b共线，则b=λa
C.若|b|=2|a|，则b=±2a
D.若b=±2a，则|b|=2|a|
√
基础巩固
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
对于A，λ=0时不成立；
对于B，当a≠0时，结论才成立；
对于C，|b|=2|a|时，b与a不一定共线；
对于D，利用平面向量共线定理，可知正确.
11
12
13
14
15
16
答案
2.(多选)下列各式计算正确的有
A.(-7)6a=-42a
B.7(a+b)-8b=7a+15b
C.a-2b+a+2b=2a
D.4(2a+b)=8a+4b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
因为7(a+b)-8b=7a+7b-8b=7a-b，故B错误.
11
12
13
14
15
16
答案
3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2 (k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则
A.k=0 B.k=1
C.k=2 D.k=
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∵向量m与向量n共线，
∴设m=λn(λ∈R)，
∴-e1+ke2=λe2-2λe1，
∵e1与e2不共线，
∴
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.如图所示，在 ABCD中，=a，=b，AN=3NC，M为BC的中点，则等于
A.(b-a) B.(b-a)
C.(a-b) D.(a-b)
√
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
=+=-
=-=b-(a+b)
=b-a=(b-a).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5.已知P，A，B，C是平面内四点，且++=，则下列向量一定共线的是
A.与 B.与
C.与 D.与
√
11
12
13
14
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答案
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因为++=，
所以+++=0，
即-2=，
所以共线.
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答案
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10
6.已知a，b是两个不共线的向量，=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
√
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答案
因为=+=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=，
所以共线，
又AB与BD有公共点B，
则A，B，D三点共线.
7.已知=，=λ，则实数λ= .
∵=-，
∴==-)，
即=-3，∴λ=-3.
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-3
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答案
8.已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若=3+x，则x= .
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因为点P在直线AB上，
所以=λ，λ∈R，
-=λ(-)，
即=λ+(1-λ)=3+x，
所以解得x=λ=-2.
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答案
-2
9.计算：
(1)6(3a-2b)+9(-2a+b)；
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原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
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答案
(2)-；
原式=-=a+b-a-b=0.
(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
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原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c
=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)
=6a+2b.
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答案
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10.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka+b与8a+kb的方向相反，求k的值.
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答案
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由题意可知，存在实数λ使
2ka+b=λ(8a+kb)=8λa+λkb，
即解得
∵2ka+b与8a+kb的方向相反，
∴k=2不符合题意，舍去，∴k=-2.
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答案
11.在四边形ABCD中，若=3e，=-5e，且||=||，则四边形ABCD是
A.平行四边形 B.菱形
C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
√
综合运用
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答案
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答案
因为=3e，=-5e，
所以=-，
所以共线，即AB∥CD且长度不相等，
所以四边形ABCD是梯形，
又因为||=||，
所以AD=BC.
所以四边形ABCD是等腰梯形.
12.如图，已知=a，=b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则等于
A.a+b B.2a-3b
C.3a=2b D.2b-2a
√
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答案
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答案
因为点M关于点A的对称点为点S，点S关于点B的对称点为点N，
所以=+=+)，
即+=2=2b，
+=2=2a，
两式相减得-=2b-2a，即=2b-2a.
13.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0
C.当x+y=0时，xa+yb=0
D.已知梯形ABCD，其中=a，=b
√
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答案
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答案
对于A，∵向量a，b是两个非零向量，2a-3b=4e且a+2b=-2e，
∴a=e，b=-e，此时能使a，b共线，故A正确；
对于B，存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0，应有非零向量a，b是共线向量.故B正确；
对于C，xa+yb=0(其中实数x，y满足x+y=0)，若x=y=0，则不能证明a，b共线，故C错误；
对于D，已知梯形ABCD中，=a，=b，如果AB，CD是梯形上、下底则正确，否则错误.
14.如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，
=c，用a，b，c表示向量= .
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答案
(a+b+c)
连接AM并延长交BC于D点(图略).
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM=AD.
∴==+)=+
=+=+
=-)+-)
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答案
=(b-a)+(c-b)=-a+b+c.
∴=+=a+
=(a+b+c).
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答案
15.△ABC所在的平面内有一点P，满足+4+=2，则△PAC与
△PBC的面积之比为 .
拓广探究
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答案
因为+4+=2，
所以+4+=2(-)，
所以3+2+=0，
设=3=2=，
则++=0，
即P为△A'B'C'的重心，
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答案
设S△A'B'P=S，
则S△PAC=S，S△PBC=S，
即△PAC与△PBC的面积之比为=.
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答案
16.设，不共线，且=a+b(a，b∈R).
(1)若a=，b=，求证：A，B，C三点共线；
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答案
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答案
当a=，b=时，=+，
所以-)=-)，
即2=，
所以共线，
又有公共点C，
所以A，B，C三点共线.
(2)若A，B，C三点共线，则a+b是否为定值？并说明理由.
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答案
a+b为定值1.理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥，
不妨设=λ(λ∈R)，
所以-=λ(-)，
即=(1-λ)+λ，
又=a+b不共线，
则所以a+b=1(定值).
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答案9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法运算
［学习目标］ 1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.
一、向量加法的定义及三角形法则
问题1 有一名游客想去C地游玩，但是由于当天没有直达C地的航班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机先从A地飞往B地，再从B地飞往C地(如图).
那么这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？
知识梳理
1.向量加法的定义
求两个向量 的运算叫作向量的加法.
任一向量与其相反向量的和是 .
2.向量求和的三角形法则
向量求和的法则 三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量 叫作a与b的和，记作 ，即a+b== . 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的 法则
例1 如图所示.
(1)a+b= ；
(2)c+d= ；
(3)a+b+d= ；
(4)c+d+e= .
跟踪训练1 化简等于( )
A. B.
C. D.
二、向量加法的运算律及平行四边形法则
问题2 我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
问题3 你能从问题2的结论出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？
知识梳理
1.向量加法的运算律
(加法交换律)a+b=b+a；
(加法结合律)(a+b)+c=a+(b+c).
2.向量加法的平行四边形法则
向量求和的法则 平行四边形法则 对于任意两个不共线的非零向量a，b，分别作=a，=b，以OA，OC为邻边作 OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和.这种求两个向量和的方法叫作向量加法的 法则
例2 (1)如图①所示，求作向量a+b；
(2)如图②所示，求作向量a+b+c.
(3)化简：
①；
②；
③.
跟踪训练2 (1)如图，已知向量a，b，求作向量a+b.
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①；
②.
三、向量加法的实际应用
例3 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度及航向.
反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念解答原问题.
跟踪训练3 如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|=24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|=12 N，则F1和F2的合力为 N.
1.知识清单：
(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
(2)向量加法的运算律.
(3)向量加法的实际应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.
1.(多选)下列等式不正确的是( )
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.=0
C.
D.|a+b|<|a|+|b|
2.如图，在正六边形ABCDEF中，等于( )
A.0 B.
C. D.
3.正方形ABCD的边长为1，则||为( )
A.1 B.
C.3 D.2
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于( )
A. B.
C. D.
答案精析
问题1 这名游客两次位移表示.
知识梳理
1.和 零向量
2. a+b 三角形
例1 (1)c (2)f (3)f (4)g
跟踪训练1 C ［根据平面向量的加法运算，得
.］
问题2 如图1，作=a，=b，以AB，AD为邻边作 ABCD，容易发现=b，=a，故=a+b.又=b+a，所以a+b=b+a.
借助图2，不难证明满足结合律.
图1 图2
问题3 平行四边形法则.
知识梳理
2.平行四边形
例2 解 (1)首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图③所示.
(2)方法一 (三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则得向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求.
方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c，
以OA，OB为邻边作 OADB，
连接OD，
则=a+b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则=a+b+c即为所求.
(3)解 ①=.
②
==0.
③
=
=
==0.
跟踪训练2 (1)解 ①作=a，=b，则=a+b，如图④.
②作=a，=b，则=a+b，如图⑤.
③作=a，=b，则=a+b，如图⑥.
(2)解 ①=.
②=0.
例3 解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O，作=a，=b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，如图，则=a+b，并且即为小船的实际航行速度，
所以|=20(km/h)，
又因为tan∠AOC=，
所以∠AOC=60°，
所以小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行.
跟踪训练3 12
随堂演练
1.BD 2.D 3.B 4.B(共79张PPT)
第9章
<<<
第1课时
向量的加法运算
1.理解并掌握向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.
学习目标
导 语
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？
唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，这样我们就引入了向量的运算.
一、向量加法的定义及三角形法则
二、向量加法的运算律及平行四边形法则
课时对点练
三、向量加法的实际应用
随堂演练
内容索引
向量加法的定义及三角形法则
一
有一名游客想去C地游玩，但是由于当天没有直达C地的航班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机先从A地飞往B地，再从B地飞往C地(如图).
问题1
提示 这名游客两次位移，的结果，与从A地直接到C地的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即这两次的位移之和可以用表示.
那么这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？
1.向量加法的定义
求两个向量 的运算叫作向量的加法.
任一向量与其相反向量的和是 .
和
零向量
向量求和的法则 三角形法则
a+b=+=.
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的 法则
2.向量求和的三角形法则
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量_____叫作a与b的和，记作 ，即
a+b
三角形
运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”.
注 意 点
<<<
如图所示.
(1)a+b= ；
(2)c+d= ；
(3)a+b+d= ；
(4)c+d+e= .
例 1
c
f
f
g
反
思
感
悟
向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即++…+=.
化简++等于
A. B.
C. D.
跟踪训练 1
√
根据平面向量的加法运算，得
++=+=.
二
向量加法的运算律及平行四边形法则
提示 如图1，作=a，=b，以AB，AD为邻边作 ABCD，容易发现=b，=a，故=+=a+b.又=+=b+a，所以a+b=b+a.
借助图2，不难证明满足结合律.
我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
问题2
图1
图2
提示 平行四边形法则.
你能从问题2的结论出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？
问题3
1.向量加法的运算律
(加法交换律)a+b=b+a；
(加法结合律)(a+b)+c=a+(b+c).
向量求和的法则 平行四边形法则
对于任意两个不共线的非零向量a，b，分别作=a，=b，以OA，OC为邻边作 OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和.这种求两个向量和的方法叫作向量加法的 法则
2.向量加法的平行四边形法则
平行四边形
(1)运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同.
(2)从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.
(3)对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a.
注 意 点
<<<
(1)如图①所示，求作向量a+b；
例 2
首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图③所示.
(2)如图②所示，求作向量a+b+c.
方法一 (三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则得向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求.
方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则=+=a+b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则=+=a+b+c即为所求.
(3)化简：
①+；
+=+=.
②++；
++=++
=+=0.
③++++.
++++
=++++
=+++
=++=+=0.
反
思
感
悟
(1)向量加法运算律的意义和应用原则
①意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
②应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
反
思
感
悟
(2)向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形 法则 ①首尾相接 ②适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 ①共起点 ②仅适用于不共线的两个向量求和
(1)如图，已知向量a，b，求作向量a+b.
跟踪训练 2
作=a，=b，则=a+b，如图④.
作=a，=b，则=a+b，如图⑤.
作=a，=b，则=a+b，如图⑥.
++=++=++=+=.
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①++；
+++=+++=++=+=0.
②+++.
向量加法的实际应用
三
已知，河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度及航向.
例 3
设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O，作=a，=b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，如图，则=a+b，并且即为小船的实际航行速度，
所以||=
=20(km/h)，
又因为tan∠AOC==，
所以∠AOC=60°，
所以小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行.
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念解答原问题.
应用向量解决实际问题的基本步骤
反
思
感
悟
如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|=24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|=12 N，则F1和F2的合力为 N.
跟踪训练 3
12
如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F=F1+F2=.
在△OCA中，||=24，
||=12，∠OAC=60°，
∴∠OCA=90°，
∴||=12.
∴F1与F2的合力大小为12 N.
1.知识清单：
(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
(2)向量加法的运算律.
(3)向量加法的实际应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列等式不正确的是
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|<|a|+|b|
√
√
B错误，+=0；
D错误，当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，故选B，D.
2. 如图，在正六边形ABCDEF中，++等于
A.0 B.
C. D.
√
1
2
3
4
++=++
=++=+=.
3.正方形ABCD的边长为1，则|+|为
A.1 B.
C.3 D.2
√
1
2
3
4
在正方形ABCD中，AB=1，
易知AC=，
所以|+|=||=AC=.
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于
A. B.
C. D.
1
2
3
4
√
+++
=+++
=++=+=.
课时对点练
五
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 ABC C B C D ABD
题号 8 11 12 13 14 15
答案 3 ACD B AC 0 20，4
1
2
3
4
5
6
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9.
(1).
(2)
=.
(3)
=.
答案
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10.
设
=1 000，
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10.
所以sin∠BAC=0.6，所以∠BAC=37°，
即两次位移的和的方向为北偏东35°+37°=72°.
所以飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°.
答案
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16.
由题意知，，
.
由题意可知，，
所以
=()
=()
答案
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16.
=()+0
==0.
答案
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1.(多选)下列各式一定成立的是
A.a+b=b+a B.0+a=a
C.+= D.|a+b|=|a|+|b|
√
√
基础巩固
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16
答案
√
A，B，C满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等.
2.++++等于
A. B.
C. D.
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√
++++
=(+)+(+)+
=++=(+)+
=+=.
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答案
3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+) km
√
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答案
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10
如图，易知tan α=，
所以α=30°.
故a+b的方向是北偏东30°.
又|a+b|=2(km)，
则a+b表示向北偏东30°方向航行2 km.
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答案
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4. 如图所示，在 ABCD中，++等于
A. B.
C. D.
√
++=+(+)
=+0=.
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答案
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5.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
√
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答案
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由于||=|a|=1，||=|b|=1，
||=|a+b|=，
即||2=||2+||2，
所以△ABC为等腰直角三角形.
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答案
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6.(多选)在 ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式中成立的是
A.a+b=c B.a+d=b
C.b+d=a D.|a+b|=|c|
√
√
√
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答案
由向量加法的平行四边形法则，知a+b=c成立，故|a+b|=|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a+d=b成立，b+d=a不成立，故A，B，D正确，C错误.
7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则
(1)++= ；
++=(+)+
=+=.
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答案
(2)++= .
++=(+)+
=+=0.
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答案
0
8.已知||=3，||=3，∠AOB=60°，则|+|等于 .
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答案
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10
如图，作AC∥OB，BC∥OA，AC与BC交于点C，由||=||=3，可知四边形OACB为菱形.
连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB=60°，∴||=||=3，
∴在Rt△BDC中，||=.
∴||=|+|=×2=3.
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答案
9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)++；
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++=+=.
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答案
(2)++；
++=(+)+
=+=.
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答案
(3)++.
++=++
=+=.
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10.如图所示，一架飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km到达B地，然后又从B地向南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据：sin 37°=0.6).
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答案
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10
设分别表示飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km，从B地向南偏东55°的方向飞行600 km，
则飞机飞行的路程指的是||+||；
两次位移的和指的是+=.
依题意，有||+||=800+600=1 400，∠ABC=35°+55°=90°.
在Rt△ABC中，||===1 000，
所以sin∠BAC=0.6，所以∠BAC=37°，
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答案
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即两次位移的和的方向为北偏东35°+37°=72°.
所以飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°.
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答案
11.(多选)下列说法错误的有
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方向
相同
B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同
C.若++=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b|
√
√
综合运用
√
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答案
A错，若a+b=0，则a+b的方向是任意的；
B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同；
C错，当A，B，C三点共线时，也满足++=0；
D错，|a+b|≤|a|+|b|.
12.已知△ABC是正三角形，则下列等式中不成立的是
A.|+|=|+|
B.|+|=|+|
C.|+|=|+|
D.|++|=|++|
√
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答案
因为|+|=||，|+|=||=||，
所以|+|=|+|，故A成立；
因为|+|=||，|+|=2||=||(D为A
C中点)，故B不成立；
因为|+|=2||=||(E为BC中点)，
|+|=2||=||(F为AB中点)，
所以|+|=|+|，故C成立；
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答案
因为|++|=2||，|++|=2||=2||，
所以|++|=|++|，故D成立.
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答案
13.(多选)已知平行四边形ABCD，设+++=a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
√
因为在平行四边形ABCD中，+=0，+=0，所以a为零向量，因为零向量和任一向量都平行，零向量和任一向量的和等于这个向量本身，所以A，C正确；
B，D错误.
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答案
√
14.已知点G是△ABC的重心，则++= .
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答案
如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED=GE，则+=
+=0，所以++=0.
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答案
15.设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为 .
拓广探究
当a，b共线同向时，
|a+b|=|a|+|b|=8+12=20；
当a，b共线反向时，|a+b|=||a|-|b||=4；
当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，
即4<|a+b|<20.
所以最大值为20，最小值为4.
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答案
20，4
16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：++=0.
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答案
由题意知，=+，
=+=+.
由题意可知，==，
所以++
=(+)+(+)+(+)
=(+++)+(+)
=(+++)+0
=++=++=0.第2课时 向量的减法运算
［学习目标］ 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的意义.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
一、向量的减法及其几何意义
问题1 如图，向量与向量x的和，你能作出向量x吗？
问题2 在数的运算中，减法与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，那么如何进行向量的减法运算呢？
问题3 若a，b是不共线向量，则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么？
知识梳理
1.向量的减法
定义：若b+x=a，则向量x叫作a与b的差，记为a-b=a+(-b)，因此减去一个向量等于加上这个向量的 向量，求两个向量 的运算，叫作向量的减法.
2.减法的作图方法：在平面内任取一点O，作=a，=b，因为，即b+=a，所以=a-b，如图所示.
3.几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c.
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c.
二、向量的加、减法运算
例2 (1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且的结果为( )
A.0 B.
C. D.
(2)化简：①；
②().
反思感悟 (1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
跟踪训练2 (1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有( )
A.+ B.-
C.- D.-
(2)化简下列各式：
①；
②().
三、向量加、减法的综合应用
例3 (1)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量.
延伸探究 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量.
(2)在四边形ABCD中，|，则四边形ABCD是( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
跟踪训练3 (1)在四边形ABCD中，设=a，=b，=c，则等于( )
A.a-b+c B.b-(a+c)
C.a+b+c D.b-a+c
(2)若菱形ABCD的边长为2，则||的长度为 .
1.知识清单：
(1)向量的减法运算.
(2)向量减法的几何意义.
(3)向量加、减法的综合运用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：忽视向量共起点时才可用向量的减法.
1.在△ABC中，若=a，=b，则等于( )
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
2.化简等于( )
A. B.
C. D.
3.已知在四边形ABCD中，，则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.向量.其中正确的是 .(填序号)
答案精析
问题1 能.由向量加法的三角形法则可知连接BD.
，故x=.
问题2 类似得到，在向量的运算中，向量减法与向量加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”.
问题3 如图所示，设=a，=b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有=a+b，=a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|=||，|a-b|=||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
知识梳理
1.相反 差
例1 解 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b，
则=a+b，再作=c，
则=a+b-c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，
则=a+b-c.
跟踪训练1 解 如图，在平面内任取一点O，
作向量=a，=b，
则向量=a-b，
再作向量=c，
则向量=a-b-c.
例2 (1)A
(2)解 ①
=()
=.
②()
=
==0.
跟踪训练2 (1)AD
(2)解 ①
=
=.
②()
=
=)
=+0=.
例3 (1)解 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以=c，
=b-a，
=b-a+c.
延伸探究 解 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以=c，
=b-a，
故=b-a+c.
(2)B ［∵，
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵||，
∴||，
∴四边形ABCD为矩形.］
跟踪训练3 (1)A (2)2
随堂演练
1.D 2.B 3.A 4.①④(共72张PPT)
第9章
<<<
第2课时
向量的减法运算
1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的意义.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
学习目标
导 语
上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了向量加法的三角形法则和平行四边形法则，这节课我们研究如何进行向量的减法运算.
一、向量的减法及其几何意义
二、向量的加、减法运算
课时对点练
三、向量加、减法的综合应用
随堂演练
内容索引
向量的减法及其几何意义
一
提示 能.由向量加法的三角形法则可知连接BD.
+=，故x=.
如图，向量是向量与向量x的和，你能作出向量x吗？
问题1
提示 类似得到，在向量的运算中，向量减法与向量加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”.
在数的运算中，减法与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，那么如何进行向量的减法运算呢？
问题2
提示 如图所示，设=a，=b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有=a+b，=a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|=||，|a-b|=||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
若a，b是不共线向量，则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么？
问题3
1.向量的减法
定义：若b+x=a，则向量x叫作a与b的差，记为a-b=a+(-b)，因此减去一个向量等于加上这个向量的 向量，求两个向量 的运算，叫作向量的减法.
2. 减法的作图方法：在平面内任取一点O，作=a，=b，因为+=，即b+=a，所以=a-b，如图所示.
相反
差
3.几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
(1)向量减法是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义，
-=，就可以把减法转化为加法，即a-b=a+(-b).
(2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
(3)在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”.
注 意 点
<<<
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c.
例 1
方法一 如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b，
则=a+b，再作=c，
则=a+b-c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c.
反
思
感
悟
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可.
(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为由减向量终点指向被减向量终点的向量.
求作两个向量的差向量的两种思路
如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c.
跟踪训练 1
如图，在平面内任取一点O，
作向量=a，=b，
则向量=a-b，
再作向量=c，
则向量=a-b-c.
二
向量的加、减法运算
(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+--的结果为
A.0 B.
C. D.
例 2
√
因为=，
所以+=0，
所以+--
=(-)+(-)
=+=0.
(2)化简：①+--；
+--
=(-)+(-)
=+=.
②(++)-(--).
(++)-(--)
=+-+
=+++=0.
反
思
感
悟
(1)向量减法运算的常用方法
反
思
感
悟
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有
A.+ B.-
C.- D.-
跟踪训练 2
√
√
(2)化简下列各式：
①-+-；
-+-
=+-
=-=.
②(-)+(-).
(-)+(-)
=+++
=+(++)
=+0=.
向量加、减法的综合应用
三
例 3
(1)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量，，.
因为四边形ACDE是平行四边形，
所以==c，
=-=b-a，
=+=b-a+c.
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量，，.
延伸探究
因为四边形ACDE是平行四边形，
所以==c，
=-=b-a，
故=+=b-a+c.
(2)在四边形ABCD中，=，若|-|=|-|，则四边形ABCD是
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
√
∵=，
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵|-|=|-|，
∴||=||，
∴四边形ABCD为矩形.
反
思
感
悟
(1)解决用给定向量表示要求向量的问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养.
(1)在四边形ABCD中，设=a，=b，=c，则等于
A.a-b+c B.b-(a+c)
C.a+b+c D.b-a+c
跟踪训练 3
√
=++=a-b+c.
(2)若菱形ABCD的边长为2，则|-+|的长度为 .
|-+|=|++|
=||=2.
2
1.知识清单：
(1)向量的减法运算.
(2)向量减法的几何意义.
(3)向量加、减法的综合运用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：忽视向量共起点时才可用向量的减法.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.在△ABC中，若=a，=b，则等于
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
√
=-=a-b.
2.化简-++等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
原式=(+)+(+)=+0
=.
3.已知在四边形ABCD中，-=-，则四边形ABCD一定是
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
√
1
2
3
4
由-=-=，
所以四边形ABCD一定是平行四边形.
1
2
3
4
4.向量可以写成：①+；②-；③-；④-.其中正确的是 .(填序号)
①+=；②-=--=-(+)≠；
③-=；④-=，故①④正确.
①④
课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B D BCD b-a 13
题号 11 12 13 14 15
答案 C B BC 2
对一对
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16
9.
方法一 先作a-b，
再作a-b-c即可.
如图①所示，以A为起点分别作向量=a，=b.则向量=a-b，再以C为起点作向量=c，则向量即为所求作的向量a-b-c.
答案
1
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9.
方法二 先作-b，-c，
再作a+(-b)+(-c)，如图②.
作=-b和=-c；
(2)作=a，则=a-b-c.
答案
1
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10.
由向量的平行四边形法则，得=a+b，=a-b.
当a，b满足|a+b|=|a-b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|=|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时，四边形ABCD为正方形.
答案
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16.
(1)由已知得a+b=，
∵=c，
∴延长AC到点E，使||，如图所示，
则a+b+c=，
且|.
∴|a+b+c|=2.
答案
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16.
(2)作=c，连接CF，如图所示，
则，
∵=a-b，
∴|a-b+c|=||=2.
∴|a-b+c|=2.
答案
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1.如图所示，在 ABCD中，=a，=b，则用a，b表示向量和分别是
A.a+b和a-b B.a+b和b-a
C.a-b和b-a D.b-a和b+a
√
基础巩固
11
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16
答案
由向量的加法、减法，得
=+=a+b，=-=b-a.
2.化简：--等于
A. B.
C. D.
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√
--=++=.
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答案
3.下列各式中，恒成立的是
A.= B.a-a=0
C.-= D.-+=0
√
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答案
选项D中，-+=++=+=0.
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4. 如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则+-等于
A. B.
C. D.
√
+-=-=.
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答案
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5.在边长为1的正△ABC中，|-|的值为
A.1 B.2
C. D.
√
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答案
如图，作菱形ABCD，
则|-|=|-|
=||=2||=2×=.
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6.(多选)下列结果恒为零向量的是
A.+++
B.-+-
C.-+
D.++-
√
√
√
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答案
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10
A项，+++=++=；
B项，-+-=+-=-=0；
C项，-+=+=0；
D项，++-=+=0.
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16
答案
7.如图，在正六边形ABCDEF中，记向量=a，=b，则向量= .(用a，b表示)
由正六边形的性质知，-=，
∴=b-a.
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16
答案
b-a
8.已知=a，=b，||=5，||=12，∠AOB=90°，则|a-b|= .
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由∠AOB=90°，知△AOB为直角三角形，
故|a-b|=||==13.
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答案
13
9.如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c.
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答案
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方法一 先作a-b，再作a-b-c即可.
如图①所示，以A为起点分别作向量=a，=b.则向量=a-b，再以C为起点作向量=c，则向量即为所求作的向量a-b-c.
方法二 先作-b，-c，再作a+(-b)+(-c)，
如图②.
(1)作=-b和=-c；
(2)作=a，则=a-b-c.
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答案
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10.如图所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，求用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
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答案
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10
由向量的平行四边形法则，得=a+b，=-=a-b.
当a，b满足|a+b|=|a-b|时，平行四边形的两条对角
线的长度相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|=|b|时，平行四边形的两条邻边的长
度相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时，四边形ABCD为正方形.
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答案
11.若||=5，||=8，则||的取值范围是
A.[3，8] B.(3，8)
C.[3，13] D.(3，13)
√
综合运用
∵||=|-|且|||-|||≤|-|≤||+||，
∴3≤|-|≤13，∴3≤||≤13.
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答案
12.已知O是平面上一点，=a，=b，=c，=d，且四边形ABCD为平行四边形，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
√
易知-=-=，而在平行四边形ABCD中有=-=-，即b-a=c-d，故a-b+c-d=0.
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答案
13.(多选)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论中正确的为
A.-+=0
B.与的夹角为90°
C.+-=
D.=
√
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答案
√
对于A，因为-+=++=+=，故A错误；
对于B，因为∠AOC=×2=90°，
且=，
所以
的夹角∠AOC=90°，故B正确；
对于C，因为+-=++=+=+-=+=，故C正确；
对于D，因为≠，所以D错误.
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答案
14.已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a-b|，则= .
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答案
如图，设=a，=b，
则=+=a+b，=-=a-b，
∵|a|=|b|=|a-b|，∴BA=OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，设其边长为1，
则|a-b|=||=1，|a+b|=2×=，
∴==.
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答案
15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||=4，|+|=|-|，则||= .
拓广探究
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答案
2
以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向量加、减法的几何意义可知，
=+=-，
∵|+|=|-|，
∴||=||，
又||=4，M是线段BC的中点，
∴||=||=||=2.
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答案
16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，求：
(1)|a+b+c|；
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答案
由已知得a+b=+=，
∵=c，
∴延长AC到点E，使||=||，如图所示，
则a+b+c=，
且||=2.
∴|a+b+c|=2.
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(2)|a-b+c|.
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答案
作==c，连接CF，如图所示，
则+=，
∵=-=-=a-b，
∴|a-b+c|=|+|=||，又||=2.
∴|a-b+c|=2.9.2.3 向量的数量积
第1课时 向量的数量积(一)
［学习目标］ 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积.
一、向量的数量积
问题1 一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？功是力F和位移s的乘积吗？
知识梳理
1.向量数量积
定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量 叫作向量a和b的数量积，记作 ，即a·b= .
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ= 求得.
3.平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a∥b时，a·b=
特别地，a·a=|a|2或|a|=.
(4)|a·b|≤|a||b|.
例1 已知正△ABC的边长为1，求：
(1)；
(2).
反思感悟 定义法求平面向量的数量积
若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.
运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是找夹角时两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
跟踪训练1 (1)若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于( )
A.-3 B.
C. D.2
(2)已知向量|a|=10，|b|=12，且a·b=-60，则向量a与b的夹角为( )
A.60° B.120°
C.135° D.150°
二、投影向量
问题2 若a，b是两个非零向量，=a，=b，如图，过能否用a，b表示呢？
知识梳理
1.定义：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b ，向量称为向量a在向量b上的 .
2.向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos θ).
3.向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.
例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
延伸探究 本例(2)改为求b在a上的投影向量.
跟踪训练2 (1)已知|a|=12，|b|=8，a·b=24，求a在b上的投影向量.
(2)已知|a|=1，|b|=，且a⊥(a+b)，则向量a在b方向上的投影向量为( )
A.-b B.b
C.b D.-b
1.知识清单：
(1)向量的数量积.
(2)投影向量.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：在计算向量夹角大小时两向量要共起点.
1.在等腰Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=的值等于( )
A.-2 B.2
C.-2 D.
2.下列命题中正确的为( )
A.若|a|=|b|，则a=b
B.若a·b=b·c，且b≠0，则a=c
C.若|a|=2，|b|=4，且a与b的夹角为，则a在b方向上的投影向量为b
D.若a∥b，则一定存在实数λ，使得b=λa
3.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是( )
A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0
B.向量a与向量b夹角的范围是［0，π)
C.若a⊥b，则a·b=0
D.|a|=
4.在△ABC中，已知=a，=b，当a·b<0时，△ABC的形状为 .(填“锐角三角形”“直角三角形”“钝角三角形”)
答案精析
问题1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W=|F|·|s|·cos θ.功是一个数量，它由力和位移两个向量所确定，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关，是一种新的运算.
知识梳理
1.|a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ 0
2.
例1 解 (1)∵的夹角为60°，
∴|cos 60°
=1×1×.
(2)∵的夹角为120°，
∴|cos 120°
=1×1×.
(3)∵的夹角为60°，
∴.
跟踪训练1 (1)B (2)B
问题2 能.共线，其方向与模可由a，b的模及夹角确定.
知识梳理
1.投影 投影向量
例2 解 (1)a·b=|a||b|cos θ
=5×4×
=-10.
(2)a在b上的投影向量为
(|a|cos θ)b=-b.
延伸探究 解 ∵|a|=5，
∴a，
∴b在a上的投影向量为
(|b|cos θ)·a=-a.
跟踪训练2 (1)解 ∵cos θ=，
∴a在b上的投影向量为
(|a|cos θ)b=b.
(2)D
随堂演练
1.B 2.C 3.AB 4.钝角三角形(共72张PPT)
第9章
<<<
第1课时
向量的数量积(一)
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积.
学习目标
导 语
我们已学习了向量的线性运算：加法和减法以及数乘，它们运算的结果还是一个向量，今天我们研究向量与向量能否“相乘”呢？
一、向量的数量积
二、投影向量
课时对点练
随堂演练
内容索引
向量的数量积
一
一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？功是力F和位移s的乘积吗？
问题1
提示 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W=|F|·|s|·cos θ.功是一个数量，它由力和位移两个向量所确定，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关，是一种新的运算.
1.向量数量积
定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量__________叫作向量a和b的数量积，记作 ，即a·b= .
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ= 求得.
|a||b|cos θ
a·b
|a||b|cos θ
0
3.平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a∥b时，a·b=
特别地，a·a=|a|2或|a|=.
(4)|a·b|≤|a||b|.
(1)0·a=0.
(2)a·b结果为数量，符号由夹角的余弦值决定.
(3)数量积a·b也称为“内积”或“点积”，中间的点不能省略，也不能写为“×”.
注 意 点
<<<
已知正△ABC的边长为1，求：
(1)·；
例 1
∵的夹角为60°，
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)·；
∵的夹角为120°，
∴·=||||cos 120°
=1×1×=-.
(3)·.
∵的夹角为60°，
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.
运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是找夹角时两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
定义法求平面向量的数量积
反
思
感
悟
(1)若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于
A.-3 B.-6
C.6 D.2
跟踪训练 1
√
a·b=|a||b|cos 135°=3×4×=-6.
(2)已知向量|a|=10，|b|=12，且a·b=-60，则向量a与b的夹角为
A.60° B.120°
C.135° D.150°
√
设a与b的夹角为θ，
则cos θ===-，
又0°≤θ≤180°，
∴θ=120°.
二
投影向量
提示 能.与共线，其方向与模可由a，b的模及夹角确定.
若a，b是两个非零向量，=a，=b，如图，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，记，能否用a，b表示呢？
问题2
1.定义：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b ，向量称为向量a在向量b上的 .
投影
投影向量
2.向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos θ).
3.向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)a与b平行时，a在b上的投影向量是其本身；a⊥b时，a在b上的投影向量为0.
注 意 点
<<<
已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°.
(1)求a·b；
例 2
a·b=|a||b|cos θ=5×4×=-10.
(2)求a在b上的投影向量.
a在b上的投影向量为
(|a|cos θ)=5×cos 120°×b=-b.
本例(2)改为求b在a上的投影向量.
延伸探究
∵|a|=5，
∴=a，
∴b在a上的投影向量为
(|b|cos θ)·=4cos 120°×a=-a.
向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.
投影向量的求法
反
思
感
悟
(1)已知|a|=12，|b|=8，a·b=24，求a在b上的投影向量.
跟踪训练 2
∵cos θ===，
∴a在b上的投影向量为(|a|cos θ)=12××b=b.
(2)已知|a|=1，|b|=，且a⊥(a+b)，则向量a在b方向上的投影向量为
A.-b B.b
C.b D.-b
√
设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由a⊥(a+b)，
则a·(a+b)=a2+a·b=12+1××cos θ=0，
可得cos θ=-，则|a|cos θ=-，
又|b|=，
所以向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos θ)·=-b.
1.知识清单：
(1)向量的数量积.
(2)投影向量.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：在计算向量夹角大小时两向量要共起点.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.在等腰Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=，则·的值等于
A.-2 B.2
C.-2 D.2
√
·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2.
2.下列命题中正确的为
A.若|a|=|b|，则a=b
B.若a·b=b·c，且b≠0，则a=c
C.若|a|=2，|b|=4，且a与b的夹角为，则a在b方向上的投影向量为b
D.若a∥b，则一定存在实数λ，使得b=λa
√
1
2
3
4
1
2
3
4
对于A，向量的模相等不能推出向量相等，故A错误；
对于B，当|a|=2，|c|=2，〈a，b〉=，
〈c，b〉=时，a·b=2|b|cos =|b|=c·b
=2|b|cos =|b|，
此时a与c不相等，故B错误；
对于C，a在b方向上的投影向量为|a|cos ·=b，故C正确；
对于D，当a=0，b为非零向量时，a∥b，但不存在实数λ，使得b=λa，故D错误.
3.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是
A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0
B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C.若a⊥b，则a·b=0
D.|a|=
√
1
2
3
4
√
a·b=0，则a⊥b或a=0或b=0，
所以A错误；
向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；
由数量积的性质知，C正确；
因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2，
所以|a|=，所以D正确.
1
2
3
4
1
2
3
4
4.在△ABC中，已知=a，=b，当a·b<0时，△ABC的形状为______
________.(填“锐角三角形”“直角三角形”“钝角三角形”)
钝角
三角形
因为a·b<0，所以a·b=||||cos A<0.
所以cos A<0，
即∠A为钝角，
故△ABC为钝角三角形.
课时对点练
四
答案
对一对
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16
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D C ABC B ACD -1
题号 8 11 12 13 14 15
答案 等边三角形 AD D A
9.
当θ=60°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)·b；
当θ=135°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)
答案
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16
b，如图，表示a，表示b，过点A作
即为a在b上的投影向量.
10.
∵AC2+BC2=AB2.
∴△ABC为直角三角形，且C=90°.
∴cos A=.
(1)=-5×4×=-16.
(2)方向上的投影向量为
|.
答案
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10.
(3)方向上的投影向量为
|.
答案
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16
16.
(1)由已知可得，
连接BM，AM(图略)，易知四边形OAMB是菱形，则，
所以.
答案
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16.
(2)易知△MBD≌△MOC，故∠MCO与∠MDO互补，
所以∠DOC与∠DMC互补，故∠DMC=60°，
且||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=，
则.
答案
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16.
当MC与MO或MA重合时，MC最大，
此时MC=1，
则.
所以.
答案
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1.若|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为120°，则a·b等于
A.6 B.6
C.-6 D.-6
√
基础巩固
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16
答案
a·b=|a||b|cos 120°=3×4×=-6.
2.在△ABC中，AB=5，BC=2，∠B=60°，则·的值为
A.5 B.5
C.-5 D.-5
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√
∵AB=5，BC=2，∠B=60°，
∴·=5×2×cos(180°-60°)=10×=-5.
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16
答案
3.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
√
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答案
由=，得四边形ABCD为平行四边形，由·=0，得AB⊥BC，
所以四边形ABCD是矩形.
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10
4.(多选)若|a|=1，|b|=2，则|a·b|的值可能是
A.0 B.
C.2 D.3
√
由向量的数量积性质|a·b|≤|a|·|b|=2，可知ABC正确.
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16
答案
√
√
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5.已知|b|=3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为
A.3 B.
C.2 D.
√
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答案
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10
设a与b的夹角为θ，
∵(|a|cos θ)=b，
∴(|a|cos θ)=，
∴|a|cos θ=，
∴a·b=|a||b|cos θ=3×=.
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答案
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10
6.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是
A.若a与b是两个单位向量，则a2=b2
B.|a·b|=|a||b|
C.λ(a+b)=λa+λb
D.|a·b|≤|a||b|
√
√
√
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16
答案
选项B中，|a·b|=||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误.
7.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，则·的值是 .
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-1
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答案
方法一 ·
=||||cos(180°-∠B)=-||||cos B
=-||||=-||2=-1.
方法二 ||=1，即·=-·=-||||cos B，而||·cos B=||，所以·=-||2=-1.
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答案
8.已知在△ABC中，AB=AC=4，·=8，则△ABC的形状是 .
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·=||||cos∠BAC，
即8=4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC=.
因为0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC=60°.
又AB=AC，故△ABC是等边三角形.
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答案
等边三角形
9.已知|a|=3，|b|=5，设a，b的夹角为θ，当θ分别等于60°，135°时，求a在b上的投影向量，并图示其意义.
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答案
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当θ=60°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)·=3cos 60°·=b；
当θ=135°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)=3cos 135°·=-b，如图，表示a，表示b，过点A作所在直线的垂线，垂足为A1，则即为a在b上的投影向量.
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答案
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10.在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求：
(1)·；
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答案
∵AC2+BC2=AB2.
∴△ABC为直角三角形，且C=90°.
∴cos A==，cos B==.
·=-·=-5×4×=-16.
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(2)在方向上的投影向量；
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答案
方向上的投影向量为||cos〈〉·=3××=
.
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(3)在方向上的投影向量.
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答案
方向上的投影向量为||cos〈〉·=5××
=-.
11.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是
A.cos θ>0 e1·e2>0
B.若e1∥e2，则e1·e2=1
C.若e1∥e2，则e1·e2=-1
D.|e1·e2|≤1
√
综合运用
√
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答案
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答案
∵e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ，
∴若cos θ>0，则e1·e2>0；
若e1·e2>0，则必有cos θ>0，故A正确；
e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2=1；当e1，e2反向时，e1·e2=-1，故B，C错误；
|e1·e2|≤|e1||e2|=1，故D正确.
12.已知平面上三点A，B，C满足||=3，||=4，||=5，则·+
·+·的值等于
A.-7 B.7
C.25 D.-25
√
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答案
由题意知∠ABC=90°，
∴原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)
=-20cos C-15cos A
=-20×-15×=-16-9=-25.
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答案
13.定义：|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-6，则|a×b|等于
A.8 B.-8
C.8或-8 D.6
√
cos θ===-，
∵θ∈[0，π]，∴sin θ=.∴|a×b|=2×5×=8.
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答案
14.如图，AB是圆C的弦，设=a，=b，则向量在向量上的投影
向量为 .(用a或b表示)
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答案
如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接CB，则向量.
因为CA=CB，所以D是AB的中点，
所以==.
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答案
15.已知△ABC的面积S满足≤S≤3，·=6，与的夹角为θ，
则θ的取值范围为 .
拓广探究
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答案
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答案
因为·=||||cos θ=6>0，
所以cos θ>0，所以θ为锐角.
如图，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D，
则||=||sin θ.
由题意知，
·=||||cos θ=6， ①
S=||||=||||sin θ. ②
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答案
由②÷①得=tan θ，即3tan θ=S.
因为≤S≤3，所以≤3tan θ≤3，
即≤tan θ≤1.
又因为θ∈，
所以θ的取值范围为.
16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
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答案
由已知可得=，
连接BM，AM(图略)，易知四边形OAMB是菱形，
则=+，
所以=-=-(+)
=--.
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答案
(2)求·的取值范围.
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答案
易知△MBD≌△MOC，故∠MCO与∠MDO互补，
所以∠DOC与∠DMC互补，故∠DMC=60°，
且||=||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=，
则·=××cos 60°=.
当MC与MO或MA重合时，MC最大，
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答案
此时MC=1，
则·=1×1×cos 60°=.
所以·.
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答案第2课时 向量的数量积(二)
［学习目标］ 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
一、向量数量积的运算律及性质
问题1 若实数a，b，c，ab=bc(b≠0)，则a=c，对于两个向量a，b，若a·b=b·c是否也可以得出结论a=c？
问题2 结合向量数量积的定义，你能举出几个数量积满足的运算律和运算性质吗？
知识梳理
1.平面向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b= (交换律).
(2)(λa)·b= = =λa·b(数乘结合律).
(3)(a+b)·c= (分配律).
2.平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 向量数量积
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=____________
(a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)= ____________
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a
例1 (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是( )
A. a·c-b·c=(a-b)·c
B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直
C.|a|-|b|<|a-b|
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
跟踪训练1 给出下列结论：
①若a·b=a·c，则b=c；
②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2；
③(a+b)2=|a|2+2|a||b|+|b|2.
其中正确的是 .(填序号)
二、求向量的模和向量的夹角
例2 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|= .
(2)已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=.
①求|b|；
②当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角θ的值.
反思感悟 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方.
(2)求向量夹角的基本步骤及注意事项
①步骤：
②注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值.
跟踪训练2 已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|3a-2b|=，求a，b的夹角.
三、与垂直有关的问题
例3 已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm+n)，则实数t的值为( )
A.4 B.-4
C. D.
跟踪训练3 已知向量a，b，且|a|=1，|b|=2，(a+2b)⊥(3a-b)，求向量a与b夹角的大小.
1.知识清单：
(1)向量数量积的运算律.
(2)利用数量积求模和夹角.
(3)与垂直有关的问题.
2.方法归纳：类比法.
3.常见误区：忽略向量数量积不满足结合律.
1.已知非零向量a，b满足(a+b)⊥(a-b)，则( )
A.a=b B.|a|=|b|
C.a⊥b D.a∥b
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a-4b的模为( )
A.2 B.2
C.6 D.12
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为 .
答案精析
问题1 不可以.理由如下：
如图，a·b
=|a||b|cos β
=|b|||，
b·c=|b||c|cos α=|b|||.
所以a·b=b·c，但是a≠c.
问题2 如a·b=b·a，λa·b=λ(a·b)，
(a+b)2=a2+2a·b+b2，
(a+b)·(a-b)=a2-b2等.
知识梳理
1.(1)b·a (2)a·(λb) λ(a·b) (3)a·c+b·c
2.a2+2a·b+b2 a2-b2
例1 ACD
跟踪训练1 ②
例2 (1)2
解析 方法一 |a+2b|
=
=
=
=2.
方法二 (数形结合法)
由|a|=|2b|=2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，
则|a+2b|=||.
又∠AOB=60°，所以|a+2b|=2.
(2)解 ①因为(a-b)·(a+b)=，
即a2-b2=，即|a|2-|b|2=，
所以|b|2=|a|2-，
故|b|=.
②因为|a+2b|2
=|a|2+4a·b+|2b|2
=1-1+1=1，故|a+2b|=1.
又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-，
所以cos θ=，
又θ∈［0，π］，故θ=.
跟踪训练2 解 设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a-2b)2=7，
∴9|a|2+4|b|2-12a·b=7，
又|a|=|b|=1，∴a·b=，
∴cos θ=，
又θ∈［0，π］，∴θ=，
即a，b的夹角为.
例3 B ［由题意知，
，
所以m·n=|n|2=n2，
因为n·(tm+n)=0，
所以tm·n+n2=0，
即tn2+n2=0，
所以t=-4.］
跟踪训练3 解 设a与b的夹角为θ，
由已知得(a+2b)·(3a-b)=3a2+5a·b-2b2
=3+10cos θ-8=0，
所以cos θ=，
又0°≤θ≤180°，
所以θ=60°，
即a与b的夹角为60°.
随堂演练
1.B 2.B 3.B 4.(共67张PPT)
第9章
<<<
第2课时
向量的数量积(二)
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
学习目标
导 语
在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
一、向量数量积的运算律及性质
二、求向量的模和向量的夹角
课时对点练
三、与垂直有关的问题
随堂演练
内容索引
向量数量积的运算律及性质
一
若实数a，b，c，ab=bc(b≠0)，则a=c，对于两个向量a，b，若a·b=b·c是否也可以得出结论a=c？
问题1
提示 不可以.理由如下：
如图，a·b=|a||b|cos β=|b|||，
b·c=|b||c|cos α=|b|||.
所以a·b=b·c，但是a≠c.
提示 如a·b=b·a，λa·b=λ(a·b)，
(a+b)2=a2+2a·b+b2，
(a+b)·(a-b)=a2-b2等.
结合向量数量积的定义，你能举出几个数量积满足的运算律和运算性质吗？
问题2
1.平面向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b= (交换律).
(2)(λa)·b= = =λa·b(数乘结合律).
(3)(a+b)·c= (分配律).
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c+b·c
2.平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 向量数量积
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=___________
(a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=_______
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a
a2+2a·b+b2
a2-b2
(1)(a·b)c≠a(b·c).
(2)a·c=b·c a=b.
(3)实数中有些公式可“移植”到向量数量积，有些不可以，如(a·b)2不能写为a2·b2.
注 意 点
<<<
(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是
A. a·c-b·c=(a-b)·c
B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直
C.|a|-|b|<|a-b|
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
例 1
√
√
√
根据数量积的分配运算A，D正确；
∵[(b·c)·a-(c·a)·b]·c
=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0，
∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误；
∵a，b不共线，
∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形，
∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确.
反
思
感
悟
向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律.
给出下列结论：
①若a·b=a·c，则b=c；
②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2；
③(a+b)2=|a|2+2|a||b|+|b|2.
其中正确的是 .(填序号)
跟踪训练 1
由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确.
②
二
求向量的模和向量的夹角
(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|= .
例 2
2
方法一 |a+2b|=
=
==2.
方法二 (数形结合法)由|a|=|2b|=2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，
则|a+2b|=||.
又∠AOB=60°，
所以|a+2b|=2.
(2)已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=.
①求|b|；
因为(a-b)·(a+b)=，
即a2-b2=，即|a|2-|b|2=，
所以|b|2=|a|2-=1-=，
故|b|=.
②当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角θ的值.
因为|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2
=1-1+1=1，故|a+2b|=1.
又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=，
所以cos θ==，
又θ∈[0，π]，故θ=.
反
思
感
悟
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方.
(2)求向量夹角的基本步骤及注意事项
①步骤：
②注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值.
已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|3a-2b|=，求a，b的夹角.
跟踪训练 2
设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a-2b)2=7，
∴9|a|2+4|b|2-12a·b=7，
又|a|=|b|=1，∴a·b=，
∴cos θ==，
又θ∈[0，π]，∴θ=，
即a，b的夹角为.
与垂直有关的问题
三
已知，已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm+n)，则实数t的值为
A.4 B.-4
C. D.-
例 3
√
由题意知，==，
所以m·n=|n|2=n2，
因为n·(tm+n)=0，
所以tm·n+n2=0，
即tn2+n2=0，
所以t=-4.
反
思
感
悟
解决有关垂直问题时，利用a⊥b a·b=0(a，b为非零向量).
已知向量a，b，且|a|=1，|b|=2，(a+2b)⊥(3a-b)，求向量a与b夹角的大小.
跟踪训练 3
设a与b的夹角为θ，
由已知得(a+2b)·(3a-b)=3a2+5a·b-2b2
=3+10cos θ-8=0，
所以cos θ=，
又0°≤θ≤180°，所以θ=60°，
即a与b的夹角为60°.
1.知识清单：
(1)向量数量积的运算律.
(2)利用数量积求模和夹角.
(3)与垂直有关的问题.
2.方法归纳：类比法.
3.常见误区：忽略向量数量积不满足结合律.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知非零向量a，b满足(a+b)⊥(a-b)，则
A.a=b B.|a|=|b|
C.a⊥b D.a∥b
√
∵(a+b)⊥(a-b)，∴(a+b)·(a-b)=0，
∴|a|2-|b|2=0，∴|a|=|b|.
1
2
3
4
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a-4b的模为
A.2 B.2
C.6 D.12
√
∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2
=22-8×2×1×cos 60°+16×12=12，
∴|a-4b|==2.
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于
A.-2 B.-1
C.1 D.2
√
1
2
3
4
因为|e1|=|e2|=1，e1·e2=0，
所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0
=-1.
1
2
3
4
4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为 .
|a-b|====，
设向量a与a-b的夹角为θ，则
cos θ===，
又θ∈[0，π]，所以θ=，
所以a与a-b的夹角为.
课时对点练
五
答案
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 ABC B C A B C
题号 11 12 13 14 15
答案 A CD A [0，1]
9.
(1)c·d=(2a-b)·(a+2b)
=2a2-2b2+3a·b
=2×4-2×1+3×2×1×=9.
(2)∵|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b
=16×4+9×1+24×2×1×=97，
∴|c+2d|=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
因为a2=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4
=9-12×+4=9，所以|a|=3，
因为b2=(3e1-e2)2
=9-6e1·e2+
=9-6×+1=8，所以|b|=2，
又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
=9-9e1·e2+2+2=8，
所以cos β=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(1)因为|a|=|b|=|c|=1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0，
所以(a-b)⊥c.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(2)因为|ka+b+c|>1，
所以(ka+b+c)2>1，
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1，因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-，
所以k2-2k>0，解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(-∞，0)∪(2，+∞).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.(多选)下面给出的关系式正确的是
A.m(a+b)=ma+mb B.a·b=b·a
C.a2=|a|2 D.|a·b|≤a·b
√
√
基础巩固
11
12
13
14
15
16
答案
√
|a·b|=|a||b||cos θ|≥a·b(θ为a与b的夹角)，故D错，其余选项均正确.
2.已知|b|=1，|c|=2，b与c的夹角为60°，则a(b·c)的化简结果是
A.0 B.a
C.b D.c
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
∵b·c=|b||c|cos 60°=1×2×=1，
∴a(b·c)=a.
11
12
13
14
15
16
答案
3.已知平面向量a，b满足a·(a+b)=3且|a|=2，|b|=1，则向量a与b的夹角为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
设向量a与b的夹角为θ.
因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos θ=3，
所以cos θ=-，又因为θ∈[0，π]，
所以θ=，即a与b的夹角为.
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.若|a|=1，|b|=2，c=a+b且c⊥a，则向量a与b的夹角为
A.120° B.60°
C.30° D.150°
√
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
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9
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15
16
答案
由c⊥a得，a·c=0，
所以a·c=a·(a+b)=0，
即a2+a·b=0，a·b=-a2.
设向量a与b的夹角为θ，
则cos θ===-，
又0°≤θ≤180°，
所以向量a与b的夹角为120°.
1
2
3
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5
6
7
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9
10
5.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于
A. B.
C. D.1
√
11
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15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为(b-2a)⊥b，
所以(b-2a)·b=0，
即b2=2a·b，
又因为|a|=1，|a+2b|=2，
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，
从而|b|=.
11
12
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14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则|a|等于
A.2 B.4
C.6 D.12
√
11
12
13
14
15
16
答案
因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2
=|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2
=|a|2-2|a|-96=-72.
所以|a|2-2|a|-24=0.
解得|a|=6或|a|=-4(舍去).
7.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与λa-b垂直，则λ= .
∵(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0，∴λ=.
1
2
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6
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16
答案
8.△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若=，=，
则·= .
1
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4
5
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答案
1
2
3
4
5
6
7
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15
16
答案
由题知AC2+BC2=AB2，
所以△ABC为直角三角形，AC⊥CB，
·=(+)·=·
=·
=·
=+·=×42+0=.
9.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，若c=2a-b，d=a+2b，求：
(1)c·d；
1
2
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10
c·d=(2a-b)·(a+2b)
=2a2-2b2+3a·b
=2×4-2×1+3×2×1×=9.
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16
答案
(2)|c+2d|.
1
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10
∵|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b
=16×4+9×1+24×2×1×=97，
∴|c+2d|=.
11
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16
答案
1
2
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10
10.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α=，向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β，求β的余弦值.
11
12
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15
16
答案
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
因为a2=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4
=9-12×+4=9，所以|a|=3，
因为b2=(3e1-e2)2=9-6e1·e2+
=9-6×+1=8，所以|b|=2，
又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)
=9-9e1·e2+2=9-9×+2=8，
所以cos β===.
11
12
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14
15
16
答案
11.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·=12，则b在a上的投影向量为
A.a B.2b
C.a D.2b
√
综合运用
1
2
3
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5
6
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8
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16
答案
1
2
3
4
5
6
7
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14
15
16
答案
·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12，
解得|b|=或|b|=-(舍去).
故b在a上的投影向量为|b|cos 45°=××=a.
12.(多选)已知正△ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是
A.|a+b|=1 B.a⊥b
C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1
√
1
2
3
4
5
6
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答案
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1
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3
4
5
6
7
8
9
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11
12
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15
16
答案
由题意，得|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B错误；
∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2
=1+2×1×2×+4=3，
∴|a+b|=，故A错误；
∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×+4=0，
∴(4a+b)⊥b，故C正确；
∵a·b=1×2×=-1，故D正确.
13.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
√
因为(-)·(+-2)=0，
即·(+)=0，又因为=-，
所以(-)·(+)=0，
即||=||，所以△ABC是等腰三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
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12
13
14
15
16
答案
14.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a-b)=0，则|b|的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
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12
13
14
15
16
答案
[0，1]
∵b·(a-b)=a·b-|b|2
=|a||b|cos θ-|b|2=0，
∴|b|=|a|cos θ=cos θ (θ为a与b的夹角)或|b|=0，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1.
15.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角，
则λ的取值范围为 .
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
答案
c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角，等价于c·d>0，且c与d不能共线且同向.
由c·d>0，得(λa+b)·(a+2b)>0，
即λa2+(2λ+1)a·b+2b2>0，
所以λ+(2λ+1)×1×2×+2×22>0，
解得λ>-3；
若c与d共线且同向时，设c=td，
则λa+b=t(a+2b)=ta+2tb，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
因为a与b不共线，所以解得λ=t=，
综上，λ的取值范围为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
16.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a-b)⊥c；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
因为|a|=|b|=|c|=1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0，
所以(a-b)⊥c.
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
因为|ka+b+c|>1，所以(ka+b+c)2>1，
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1，
因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-，
所以k2-2k>0，解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(-∞，0)∪(2，+∞).作业2 向量的加法运算
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分
1.(多选)下列各式一定成立的是( )
A.a+b=b+a B.0+a=a
C.+= D.|a+b|=|a|+|b|
2.++++等于( )
A. B.
C. D.
3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示( )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+) km
4. 如图所示，在 ABCD中，++等于( )
A. B.
C. D.
5.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
6.(多选)在 ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式中成立的是( )
A.a+b=c B.a+d=b
C.b+d=a D.|a+b|=|c|
7.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则
(1)++= ；
(2)++= .
8.(5分)已知||=3，||=3，∠AOB=60°，则|+|等于 .
9.(10分)如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)++；(3分)
(2)++；(3分)
(3)++.(4分)
10.(10分)如图所示，一架飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km到达B地，然后又从B地向南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据：sin 37°=0.6).
11.(多选)下列说法错误的有( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方向相同
B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同
C.若++=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b|
12.已知△ABC是正三角形，则下列等式中不成立的是( )
A.|+|=|+|
B.|+|=|+|
C.|+|=|+|
D.|++|=|++|
13.(多选)已知平行四边形ABCD，设+++=a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
14.(5分)已知点G是△ABC的重心，则++= .
15.(5分)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为 .
16.(11分)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：++=0.
答案精析
1.ABC 2.C 3.B 4.C 5.D
6.ABD 7.(1) (2)0 8.3
9.解 (1).
(2)
=.
(3)
=.
10.解 设=1 000，
所以sin∠BAC=0.6，所以∠BAC=37°，
即两次位移的和的方向为北偏东35°+37°=72°.
所以飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°.
11.ACD 12.B 13.AC 14.0
15.20，4
解析 当a，b共线同向时，
|a+b|=|a|+|b|=8+12=20；
当a，b共线反向时，
|a+b|=||a|-|b||=4；
当a，b不共线时，
||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，
即4<|a+b|<20.
所以最大值为20，最小值为4.
16.证明 由题意知，，
.
由题意可知，，
所以
=()
=()
=()+0
==0.作业3 向量的减法运算
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1. 如图所示，在 ABCD中，=a，=b，则用a，b表示向量和分别是( )
A.a+b和a-b B.a+b和b-a
C.a-b和b-a D.b-a和b+a
2.化简：--等于( )
A. B.
C. D.
3.下列各式中，恒成立的是( )
A.= B.a-a=0
C.-= D.-+=0
4. 如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则+-等于( )
A. B.
C. D.
5.在边长为1的正△ABC中，|-|的值为( )
A.1 B.2
C. D.
6.(多选)下列结果恒为零向量的是( )
A.+++
B.-+-
C.-+
D.++-
答案 BCD
7.(5分)如图，在正六边形ABCDEF中，记向量=a，=b，则向量= .(用a，b表示)
8.(5分)已知=a，=b，||=5，||=12，∠AOB=90°，则|a-b|= .
9.(10分)如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c.
10.(11分)如图所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，求用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
11.若||=5，||=8，则||的取值范围是( )
A.[3，8] B.(3，8)
C.[3，13] D.(3，13)
12.已知O是平面上一点，=a，=b，=c，=d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
13.(多选)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论中正确的为( )
A.-+=0
B.与的夹角为90°
C.+-=
D.=
14.(5分)已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a-b|，则= .
15.(5分)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||=4，|+|=|-|，则||= .
16.(12分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，求：
(1)|a+b+c|；(6分)
(2)|a-b+c|.(6分)
答案精析
1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.BCD
7.b-a 8.13
9.解 方法一 先作a-b，
再作a-b-c即可.
如图①所示，以A为起点分别作向量=a，=b.则向量=a-b，再以C为起点作向量=c，则向量即为所求作的向量a-b-c.
方法二 先作-b，-c，
再作a+(-b)+(-c)，如图②.
(1)作=-b和=-c；
(2)作=a，则=a-b-c.
10.解 由向量的平行四边形法则，得=a+b，=a-b.
当a，b满足|a+b|=|a-b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|=|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时，四边形ABCD为正方形.
11.C 12.B 13.BC 14.
15.2
解析 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向量加、减法的几何意义可知，
，
∵||，
∴||，
又||=4，M是线段BC的中点，
∴||=2.
16.解 (1)由已知得a+b=，
∵=c，
∴延长AC到点E，使||，如图所示，
则a+b+c=，
且|.
∴|a+b+c|
=2.
(2)作=c，连接CF，如图所示，
则，
∵=a-b，
∴|a-b+c|=||=2.
∴|a-b+c|=2.作业4 向量的数乘
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.下列说法中正确的是( )
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a，b共线，则b=λa
C.若|b|=2|a|，则b=±2a
D.若b=±2a，则|b|=2|a|
2.(多选)下列各式计算正确的有( )
A.(-7)6a=-42a
B.7(a+b)-8b=7a+15b
C.a-2b+a+2b=2a
D.4(2a+b)=8a+4b
3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2 (k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则( )
A.k=0 B.k=1
C.k=2 D.k=
4.如图所示，在 ABCD中，=a，=b，AN=3NC，M为BC的中点，则等于( )
A.(b-a) B.(b-a)
C.(a-b) D.(a-b)
5.已知P，A，B，C是平面内四点，且++=，则下列向量一定共线的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6.已知a，b是两个不共线的向量，=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则( )
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
7.(5分)已知=，=λ，则实数λ= .
8.(5分)已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若=3+x，则x= .
9.(10分)计算：
(1)6(3a-2b)+9(-2a+b)；(3分)
(2)-；(3分)
(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).(4分)
10.(11分)设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka+b与8a+kb的方向相反，求k的值.
11.在四边形ABCD中，若=3e，=-5e，且||=||，则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
12. 如图，已知=a，=b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则等于( )
A.a+b B.2a-3b
C.3a=2b D.2b-2a
13.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0
C.当x+y=0时，xa+yb=0
D.已知梯形ABCD，其中=a，=b
14.(5分)如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，=c，用a，b，c表示向量= .
15.(5分)△ABC所在的平面内有一点P，满足+4+=2，则△PAC与△PBC的面积之比为 .
16.(12分)设，不共线，且=a+b(a，b∈R).
(1)若a=，b=，求证：A，B，C三点共线；(6分)
(2)若A，B，C三点共线，则a+b是否为定值？并说明理由.(6分)
答案精析
1.D 2.ACD 3.D 4.A 5.B 6.B 7.-3 8.-2
9.解 (1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
(2)原式=
=a+b-a-b=0.
(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b.
10.解 由题意可知，存在实数λ使
2ka+b=λ(8a+kb)=8λa+λkb，
即
解得
∵2ka+b与8a+kb的方向相反，
∴k=2不符合题意，舍去，∴k=-2.
11.C 12.D 13.AB
14.(a+b+c)
解析 连接AM并延长交BC于D点(图略).
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM=AD.
∴)
=
=
=)
=(b-a)+(c-b)
=-a+b+c.
∴
=a+
=(a+b+c).
15.
解析 因为，
所以)，
所以3=0，
设，
，
则=0，
即P为△A'B'C'的重心，
设S△A'B'P=S，
则S△PAC=S，
即△PAC与△PBC的面积之比为.
16.(1)证明 当a=时，
，
所以)，
即2共线，
又有公共点C，
所以A，B，C三点共线.
(2)解 a+b为定值1.理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以，
不妨设(λ∈R)，
所以)，
即，
又不共线，
则
所以a+b=1(定值).作业5 向量的数量积(一)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.若|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为120°，则a·b等于( )
A.6 B.6
C.-6 D.-6
2.在△ABC中，AB=5，BC=2，∠B=60°，则·的值为( )
A.5 B.5
C.-5 D.-5
3.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是( )
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.(多选)若|a|=1，|b|=2，则|a·b|的值可能是( )
A.0 B.
C.2 D.3
5.已知|b|=3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为( )
A.3 B.
C.2 D.
6.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是( )
A.若a与b是两个单位向量，则a2=b2
B.|a·b|=|a||b|
C.λ(a+b)=λa+λb
D.|a·b|≤|a||b|
7.(5分)如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，则·的值是 .
8.(5分)已知在△ABC中，AB=AC=4，·=8，则△ABC的形状是 .
9.(10分)已知|a|=3，|b|=5，设a，b的夹角为θ，当θ分别等于60°，135°时，求a在b上的投影向量，并图示其意义.
10.(10分)在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求：
(1)·；(3分)
(2)在方向上的投影向量；(3分)
(3)在方向上的投影向量.(4分)
11.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是( )
A.cos θ>0 e1·e2>0
B.若e1∥e2，则e1·e2=1
C.若e1∥e2，则e1·e2=-1
D.|e1·e2|≤1
12.已知平面上三点A，B，C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于( )
A.-7 B.7
C.25 D.-25
13.定义：|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-6，则|a×b|等于( )
A.8 B.-8
C.8或-8 D.6
14.(5分)如图，AB是圆C的弦，设=a，=b，则向量在向量上的投影向量为 .(用a或b表示)
15.(5分)已知△ABC的面积S满足≤S≤3，·=6，与的夹角为θ，则θ的取值范围为 .
16.(12分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；(5分)
(2)求·的取值范围.(7分)
答案精析
1.C 2.D 3.C 4.ABC 5.B 6.ACD 7.-1 8.等边三角形
9.解 当θ=60°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)·b；
当θ=135°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)b，如图，表示a，表示b，过点A作即为a在b上的投影向量.
10.解 ∵AC2+BC2=AB2.
∴△ABC为直角三角形，且C=90°.
∴cos A=.
(1)
=-5×4×=-16.
(2)方向上的投影向量为
|.
(3)方向上的投影向量为
|.
11.AD 12.D 13.A 14.
15.
解析 因为
=||cos θ=6>0，
所以cos θ>0，所以θ为锐角.
如图，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D，
则||
=||sin θ.
由题意知，
|cos θ=6， ①
S=|sin θ. ②
由②÷①得tan θ，即3tan θ=S.
因为≤3tan θ≤3，
即≤tan θ≤1.
又因为θ∈，
所以θ的取值范围为.
16.解 (1)由已知可得，
连接BM，AM(图略)，易知四边形OAMB是菱形，则，
所以.
(2)易知△MBD≌△MOC，故∠MCO与∠MDO互补，
所以∠DOC与∠DMC互补，故∠DMC=60°，
且||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=，
则.
当MC与MO或MA重合时，MC最大，
此时MC=1，
则.
所以.作业6 向量的数量积(二)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.(多选)下面给出的关系式正确的是( )
A.m(a+b)=ma+mb B.a·b=b·a
C.a2=|a|2 D.|a·b|≤a·b
2.已知|b|=1，|c|=2，b与c的夹角为60°，则a(b·c)的化简结果是( )
A.0 B.a
C.b D.c
3.已知平面向量a，b满足a·(a+b)=3且|a|=2，|b|=1，则向量a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
4.若|a|=1，|b|=2，c=a+b且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A.120° B.60°
C.30° D.150°
5.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于( )
A. B.
C. D.1
6.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则|a|等于( )
A.2 B.4
C.6 D.12
7.(5分)已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与λa-b垂直，则λ= .
8.(5分)△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若=，=，则·= .
9.(10分)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，若c=2a-b，d=a+2b，求：
(1)c·d；(5分)
(2)|c+2d|.(5分)
10.(11分)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α=，向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β，求β的余弦值.
11.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·=12，则b在a上的投影向量为( )
A.a B.2b
C.a D.2b
12.(多选)已知正△ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是( )
A.|a+b|=1 B.a⊥b
C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1
13.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
14.(5分)已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a-b)=0，则|b|的取值范围是 .
15.(5分)已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角，则λ的取值范围为 .
16.(12分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a-b)⊥c；(6分)
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.(6分)
答案精析
1.ABC 2.B 3.C 4.A 5.B 6.C 7.
9.解 (1)c·d=(2a-b)·(a+2b)
=2a2-2b2+3a·b
=2×4-2×1+3×2×1×=9.
(2)∵|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b
=16×4+9×1+24×2×1×=97，
∴|c+2d|=.
10.解 因为a2=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4
=9-12×+4=9，所以|a|=3，
因为b2=(3e1-e2)2
=9-6e1·e2+
=9-6×+1=8，所以|b|=2，
又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)
=9-9e1·e2+2+2=8，
所以cos β=.
11.A 12.CD 13.A 14.［0，1］
15.
解析 c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角，等价于c·d>0，且c与d不能共线且同向.
由c·d>0，得(λa+b)·(a+2b)>0，
即λa2+(2λ+1)a·b+2b2>0，
所以λ+(2λ+1)×1×2×+2×22>0，解得λ>-3；
若c与d共线且同向时，设c=td，
则λa+b=t(a+2b)=ta+2tb，
因为a与b不共线，所以.
16.(1)证明 因为|a|=|b|=|c|=1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0，
所以(a-b)⊥c.
(2)解 因为|ka+b+c|>1，
所以(ka+b+c)2>1，
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1，因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-，
所以k2-2k>0，解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(-∞，0)∪(2，+∞).
