岳阳县一中 2022 级高三年级第二学期入学考试
数 学
考试时量:120 分钟
命题人:
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2. （教材习题）下列双曲线，焦点在 轴上且渐近线方程为 的是
A. B. C. D.
3.（教材习题）在以下 4 幅散点图中，对于图中的 y 和 x 之间的关系判断不正确的是
A.图（2）（3）（4）中的 y 和 x 之间存在相关关系
B.图（2）（4）中的 y 和 x 之间呈现正相关关系
C.图（2）（3）中的 y 和 x 之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强
D.图（4）中的 y 和 x 之间呈现非线性相关关系
4.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W
）可表示为 ，其中 为起始光功率（单位：W）， 为衰减系数， 为接收信
号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器 处的光功率衰减为起始光功率
的一半.若当距离由 km 变到 km 时，光功率由 变到 ，则
A. B. C. D.
5.(作业改编)已知实数 ，函数 的图象经过点 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
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6. 的展开式中所有二次项(即含 x ， xy， y 的项)的系数和为
A. - 40 B. - 20 C. 0 D. 40
7.(作业改编)已知 ，则 的关系为
A． B． C． D．
8.在直四棱柱 中，底面 为菱形且 ， ，
， ．平面 过点 、 且与 平行，点 在平面 上且满足
，则点 的轨迹为
A．圆 B．椭圆 C．双曲线一部分 D．抛物线一部分
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知圆台的上，下底面半径分别为 1，3，母线长为 4，则下列正确的有
A. 圆台的侧面积为 B. 圆台的体积为
C. 母线与底面所成角为 D. 存在相互垂直的母线
10.已知某人掷骰子 5 次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：2，1，a，b，c，若 a
，b，c 成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数 6 的是
A.该组数据的中位数为 4，众数是 4 B.该组数据的平均数为 3，80%分位数是 5
C.该组数据的平均数为 3，方差小于 3 D.该组数据的极差为 5，方差大于 3
11.已知 ，函数 ，则下列说法正确的是
A. 若 为奇数，则 是 的极小值点
B. 若 为奇数，则 是 的极大值点
C. 若 为偶数，则 是 的极小值点
D. 若 为偶数，则 是 的极大值点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.(教材习题改编)已知函数 在 上单调递增，则实数 的取
值范围是_______.
13.在 中， 为 上一点， ，则
的面积为_________________.
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14.已知函数 ，若 恒成立，则 最
大值为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
如图，在三棱柱 中， 平面 ， 、 分别为 、 的
中点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小.
16.（本小题满分 15 分）
已知函数 ，从条件①、条件②、条件③中选择两
个作为一组已知条件，使得函数 存在且唯一，并完成下列两问.
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的最大值.
条件①： ；
条件②：函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为 ；
条件③：函数 的一个零点为 .
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题满分 15 分）
某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：
指标大于或等于 76 为合格品，小于 76 为次品，现抽取这种元件 100 件进行检测，检测结
果统计如下表：
测试指标 [20,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100]
元件数 (件) 2 18 36 40 4
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(1)现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不
合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 X 具有数学
期望 E(X)=μ, 方差 则对任意正数ε，均有 成
立.
(i)若 证明：
(ii)由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率
是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为 95%，那么根据所给样本数据，请结
合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信 (注：当随机事件 A
发生的概率小于 0.05 时，可称事件 A 为小概率事件)
18. （本小题满分 17 分）(一轮复习教程)
已知抛物线 的焦点 在直线 上， 是 上的三个点.
（1）求 的方程；
（2）已知 ，且直线 经过点 ， ，求直线 的方程；
（3）已知 在 轴的两侧，过点 分别作抛物线 的切线 ，且 与 交于点 ，
直线 与 和 分别交于点 ，求 面积的最小值.
19.（本小题满分 17 分）
记数列 的前 项的最小值为 ，称数列 为 的“ 数列”.
（1）若 ，求由数列 的“ 数列” 的所有项组成的集合；
（2）若数列 都只有 4 项， 是 的“ 数列”，满足
，且存在 ，使得 ，求符合条件的数列 的
个数；
（3）若 的“ 数列”为 ，记 ，从
， 中任取 3 个，记其中能被 2 整除且不能被 4 整除的个数为 ，求
.
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5 （北京）股份有限公司高三年级第二学期入学考试数学参考答案
一、选择题：1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 9.AC 10.AC 11.BC
三、填空题：12. 13. 14.
15.(1)如图，取 的中点 ，连接 、 ，因为 、 分别为
、 的中点，则 且 ，因为 且
， 为 的中点，则 且 ，所以，
且 ，则四边形 为平行四边形，所以， ，因为
平面 ， 平面 ，所以， 平面 .
(2)因为 平面 ， 平面 ，则 ，因为 ，
， 、 平面 ，所以， 平面 ，因为 平
面 ，所以， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、
、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、
，则 ， ， ， ，设平
面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得
，设平面 的法向量为 ，则 ，取
，可得 ，所以， ，由图可知，二面角
的平面角为锐角，故大小为 .
16.(1)若选择条件①③,由 ,得 ，即 ， ，则
，又函数 的一个零点为 ，则 ，
则 不能确定，所以函数 不唯一，所以不能选择条件①③.选择条件①②,由 ,
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得 ，即 ， ，则 ，因为函数 图象的两条
相邻对称轴间的距离为 ，所以函数的最小正周期 ，因为 ，则
，所以 .选择条件②③,因为函数 图象的两条相邻对称轴间
的距离为 ，所以函数的最小正周期 ，因为 ，则 ，因为函数
的一个零点为 ，即 ，所以 ，则
，又 ，则 ，所以 .
(2)因为函数 的单调递减区间为 ，所以
，则 ，所以
是 的一个单调递减区间，若函数 在区间 上单调递减，
则 所以实数 的最大值为 .
18. (1)由题可知 ，所以 ，解得 ，所以 的方程为 ；
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(2)设 ，由题可知 ，依题意知直线 的斜率必存
在 ， 设 直 线 的 方 程 为 .由 整 理 得 ， 则
， ， ， ，因
为 ， 所 以 ， 所 以 ，
，解得 ，所以直线 的方程为 ；
(3)设 ，因为 在 轴的两侧，所以直线 的斜率一定存在，不
妨设 ，直线 的方程为 ，
由 整理得 ，则 ，
，由 得 .设切线 的斜率分别为 ，又
，所以 ，则 ， ，所以 的方程为
，即 ，同理可得 的方程为 .
由 解得 即 .令 ，可得 ，
，
.点 到直线 的距离为
，故 的面积为 ，
（当 时，等号成立）令 ，记 ，则
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，令 ，则 ，所以 在 上单调递增；令
，则 ，在 上单调递减，所以 ，故
面积的最小值为 .
19(1)因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，所以
，
所以 ，当 时， ，所以数列 的“ 数列”
所有项组成的集合为 ；
(2)①若 ，则 有 1 个，②若 且 ，则 有 种可
能， 有 3 个，③若 且 ，则 两者相同有 种，两者
不同，则 共有 种，所以共有 种可能， 有 6 个.④若 均不为 1
，则 三者全相同，共有 种， 三者有 2 个相同，因为顺序确
定，共有 种， 三者全不相同，因为顺序确定，有 种，共有
种可能， 有 10 个综上符合条件的 共有 ，综上得符合条件的有
20 个；
(3)由题意得 ，所以 ，
所以， ，所以
，能被 4 整除， ，为奇数，不能被 2
整除， ，能被 2 整除，
不能被 4 整除， ，不能被 2 整除，
所以 中能被 2 整除，但不能被 4 整除的有 个，
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，
.
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