北京市房山区2024-2025学年高三（上）期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数z满足i z＝2+i，则z的共轭复数是
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i
3．已知，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在的展开式中，的系数为（ ）
A．15 B．-15 C．5 D．-5
5．下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥合的体积等于（ ）
A． B． C．2 D．1
9．已知实数，满足，，给出下列三个结论：
①；②；③.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①③ D．②③
10．已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题 5小题，每小题5分，共25分．
11．函数的定义域为 .
12．在中，，，，则 ；若为边上一点，且，则 .
13．已知双曲线（）的渐近线方程为，则，的一组值依次为 .
14．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 .
15．已知函数，，给出下列四个结论：
①当时，方程有且只有一个实数根；
②当时，对任意，或；
③当时，对任意，；
④存在，对任意，.
其中正确结论的序号是 .
解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．已知函数，且=0， 且的最小值为
（1）求的值；
（2）设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值.
17．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下：
1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店
新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11
燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26
(1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；
(2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望；
(3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明）
18．已知三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形，.，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
19．已知椭圆（）过点，离心率为，一条直线与椭圆父于，两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围；
(3)求证：存在实数，使方程有正实根.
21．已知和都是无穷数列.若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系.
(1)分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系，直接写出结论；
①，，；
②，，.
(2)设，，，试判断数列与是否具有关系.如果是，求出的最小值，如果不是，说明理由；
(3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与具有关系，且，，…，中至少有100个正数，求的取值范围.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A C B C D A B D B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11） （12）
（13）（答案不唯一，只需满足）
（14） （15）① ② ③
三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，且的最小值为，
所以，所以.
因为，所以.
（Ⅱ）
因为，所以.
所以当，即时，取得最大值.
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，8个门店中12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的
共有2个，所以从该市众多门店中随机抽取个，该门店月份新能源汽车销售量
超过燃油汽车销售量的概率可以估计为.
（Ⅱ）的所有可能取值为：，则
所以的分布列为
0 1 2 3
所以 .
（Ⅲ）.
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）连接，设，连接.
因为侧面为菱形，所以为的中点.
因为为的中点，所以为的中位线.
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ） 选择条件①：.
（i）因为侧面为菱形，所以.
又， 所以.
又因为正方形，所以.
所以，即.
又因为，且平面，
所以平面.
（ii）取中点，连接，因为，所以为等边三角形.
所以. 所以.
又因为平面，所以，.
如图建立空间直角坐标系，
则，，，.
因此，，.
设平面的法向量为，
则 即
令，则， ，因此.
设直线与平面所成角为，则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅱ）选择条件②: .
（i）因为菱形，所以.
又 ，，且平面，
所以平面.
又平面，所以.
又因为正方形，所以.
又因为，且平面，
所以平面.
（ii）下同选择条件①
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意可得，，
所以 .
所以.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）直线过定点.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为（显然） ，
由得 ．
则，即．
设，，
则，．
由，得，．
所以 ．
设直线的方程为 ．
带入整理得，
所以直线过定点．
当直线的斜率不存在时，显然直线过点.
综上 直线过定点.
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当时，，则.
，所以.
所以曲线在点处的切线方程为即.
（Ⅱ）由得,
当时，所以，所以，
所以在上单调递增，
所以所以符合题意；
当时，令，得,
因为，所以所以，所以，
的变化情况如下表：
极小值
所以，与恒成立矛盾，所以不符合题意；
综上所述，实数的取值范围是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，
当时，存在极小值，
记，
则，
所以在上单调递增，,
取，此时 ，，
所以存在，使，即方程有正实根.
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ） ① 否； ② 是.
（Ⅱ）由题意知 ，
所以．
所以数列与具有关系．
设的最小值为，则．
因为，所以．
若，则当时，．
则，这与“对任意的，均有”矛盾．
所以，即的最小值为1．
（Ⅲ）因为是公差为的等差数列，所以.
若存在数列满足：与具有关系，
则对于，都有．
所以．
即．
则．
即.
当时，，都有，
与，，…， 中至少有100个正数矛盾.
当时，可取．
则，且，，…， 均为正数,符合题意.
当时，可取．
则，且，，…， 均为正数,符合题意.
当时，可取．
则，．
即，，…， 中恰有100个正数.
综上所述，的取值范围是.
