2023－2024学年陕西师大附中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则点，之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
3.如果把中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的9倍 D.不变
4.在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
5.用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A.3 B.－3 C.5 D.－2
8.在菱形中，为对角线的交点，，，则菱形的面积为（ ）
A.120 B.45 C.60 D.30
9.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.且
10.已知：E、F、G、H分别为四边形四边中点，顺次连接EF、FG、GH、HE得到四边形，我们把这种四边形叫做中点四边形，有下列说法：①四边形是平行四边形；②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形；③当四边形为矩形时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形；⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形.其中正确的是（ ）
A.②④⑤ B.①④⑤ C.①③④ D.①③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正________边形.
12.已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是________.
13.已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是________.
14.如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为________.
15.某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是________.
16.如图，在正方形中，对角线、相交于点.在线段上任取一点（端点除外），连接.将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，若，则________.
三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题6分）因式分解：
（1）；
（2）.
18.（本小题9分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）.
19.（本小题4分）化简代数式：，再从－2，－1，0，1中取一个合适的数值代入，求出代数式的值.
20.（本小题4分）如图，已知，请你用尺规在边上求作一点，使得.（保留作图痕迹，不写作法）
21.（本小题4分）如图所示，在平行四边形中，，，垂足分别为，.求证：.
22.（本小题4分）如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，.将平移后得到对应的，若的坐标为（－4，5），请写出和的坐标，并画出平移后对应的.
23.（本小题5分）如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接AE、AF、BF.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，连接，求的长.
24.（本小题6分）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求.商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元.
（1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？
25.（本小题10分）（1）【探究发现】如图1，是等边内一点，，，.求的度数.
图1 图2 图3
解：将绕点逆时针旋转到的位置，连接
则是三角形.
又，
为直角三角形
的度数为.
（2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点，连接PA、PB、PC，若，，，求的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点，若，，，请直接写出的度数及正六边形的边长.
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.D
5.D
6.B
7.A
8.A
9.A
10.C
11.八
12.－4
13.2cm或8cm
14.
15.
16.
17.解：（1）
；
（2）
.
18.解：（1），
，
，
或，
，；
（2），
，，，
，
，
，；
（3），
，
，
，
，
经检验是分式方程的解.
19.解：
，
，，
，0；
当时，
原式.
20.解：如图所示：点即为所求.
21.证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
.
22.解：如图，，即为所求.，.
23.（1）证明：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，
由（1）得：四边形是菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
是的中点，，
.
24.解：（1）设该商场购进第一批恤衫每件的进价是元，则购进第二批恤衫每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
.
答：该商场购进第一批恤衫每件的进价是40元，第二批恤衫每件的进价是44元；
（2）该商场购进第一批恤衫的数量是（件）；
该商场购进第二批恤衫的数量是（件）.
设每件恤衫的标价是元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为72.
答：每件恤衫的标价至少是72元.
25.解：（1）将绕点逆时针旋转到的位置，连接，则是等边三角形，
，，
又，，
，
是直角三角形，
即，
，
故答案为：等边，；
（2）如图，把绕点顺时针旋转得到，
，，
旋转角是，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，
由勾股定理得，，
的长为6；
（3）六边形是正六边形，
，，
如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，
；
如图所示，过点作于，
则，
，
又，，
，
是直角三角形，
即，
；
如图所示，过点作交延长线与，
则，
，
，
，，
，
正六边形的边长为.
