10.3 实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1．学校八年级师生共468人准备乘车到兰山教育实践基地参加研学活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车辆，37座客车辆，根据题意可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
2．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．某加工厂有工人50名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设应安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则所列方程组为( )
A． B． C． D．
6．某班分组活动，若每组人，则余下人:若每组人，则少人．设总人数为，组数为，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
7．1号仓库和2号仓库共存粮400吨，现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果1号仓库和2号仓库所余粮食之比是2：1，则1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？设1号仓库和2号仓库原来各存粮x吨、y吨，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在学校组织的图书跳蚤市场上，小明先以5元1本的价格买了x本书，后来同学们进行促销活动，小明又以1元2本的价格买了y本书，最后小明发现自己买了15本书，共花去43元，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．有黑、白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，如果每只砝码质量为5克，那么一只黑球和一只白球的质量和是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
10．A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛____________斛米．
12．现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？若设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，列方程组为__________
13．一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组______．
14．一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是___岁．
15．某公司向银行申请了甲 、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为_____________.
16．小亮的储蓄罐里有面值5角和1元的两种硬币，共20枚 ，合计15元，面值5角的有______枚，1元的有______枚．
17．美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅．设展出的国画作品x幅，油画作品y幅，根据题意，可列方程组为____．
18．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放___________只．
19．塑料凳子轻便实用，人们生活中随处可见．如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为，5支塑料凳子叠放在一起的高度为，当有8支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是______．
20．一个两位数的十位数字与个位数字的和是，把这个两位数加上后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，设这两个数的十位数的十位数字为，个位数字为，根据题意列得方程组_______．
三、解答题
21．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？（请列二元一次方程组解答此题）
22．甲、乙两仓库共存粮95吨，现从甲仓库运出存粮的，从乙仓库运出存粮的，这时甲仓库剩下的粮和乙仓库剩下的粮同样多，甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？
23．足球比赛的记分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在某次比赛中共踢了15场球，其中负3场，共得30分，求这个队共胜了多少场？
24．某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少名学生？
25．一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．
26．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
27．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：
A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨）
第一次 12 8 360
第二次 18 12 ▄
第三次 5 4 160
(1)表格中被污渍盖住的数是______．
(2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据题意，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意可得
故选B．
2．B
【分析】设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，分别表示出十年前和十年后他们的年龄，根据题意列方程组即可．
【详解】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．
由题意得， ，
故选：B．
3．A
【分析】根据十位上的数字比个位上的数字大2，列方程，交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18，列方程，即可解答．
【详解】解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y，
∵十位上的数字比个位上的数字大2，
∴；
∵交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．
∴；
故可列方程组：，
故选：A
4．C
【分析】根据题意可直接列出方程组．
【详解】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴．
∴可列方程组为．
故选：C．
5．B
【分析】本题的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数＝50；生产的螺栓的数量×2＝生产的螺母的数量．由此可列出方程组
【详解】设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人．
由题意，得，
故选B．
6．D
【分析】关系式为：6×组数=总人数-5；7×组数=总人数+4，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：每组6人得到的关系式为6y=x-5；每组7人得到的关系式为7y=x+4．
可列方程组为：
；
故选：D．
7．B
【分析】设1号仓库和2号仓库原来各存粮吨、吨，根据1号仓库和2号仓库共存粮400吨，从1号仓库运出存粮的，从2号仓库运出存粮的，1号仓库和2号仓库所余粮食之比是，列方程组即可．
【详解】解：设1号仓库和2号仓库原来各存粮吨、吨，
由题意得，．
故选：B．
8.A
【分析】根据“第一次购买数量+第二次购买数量=15本、第一次购买花销+第二次购买花销=43元”列出方程组即可．
【详解】解：根据题意，得．
故选：A．
9.D
【分析】设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，根据图中信息和已知条件可以列出方程组 ，解方程组即可求出每只黑球和白球的质量．
【详解】设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，
依题意得，
解得 ，
3+1=4．
故选D
10.B
【分析】首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果．
【详解】解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，
由题意可得方程组：，
将代入②中得，消去x得：
即：
∵为正整数
∴的值分别为1，3，5，15，
∴y的值只能为4，5，6，11，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得：n的值分别为8，3，2，1；
即n的可能值有4个．
故答案选：B．
二、填空题
11.
【分析】设一个大桶盛米斛，一个小桶盛米斛，根据个大桶加上个小桶可以盛米斛，个大桶加上个小桶可以盛米斛即可得出关于、的二元一次方程组，进而即可得出结论．
【详解】设一个大桶盛米斛，一个小桶盛米斛，
根据题意得： ，
得： .
.
故答案为：．
12.
【分析】若设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，根据共用190张铁皮做盒可得x+y=190，根据一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子可得，由此得到方程组．
【详解】解：设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，由题意得，
故答案为：．
13.
【分析】设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．再得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：
故答案为：．
14.70
【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可．
【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁，
根据题意：，
解得：，
故答案为：70．
15.42万元、26万元
【详解】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元、y万元，
由题意得，
，
解得：
，
所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元、26万元．
故答案为42万、26万．
16. 10 10
【分析】设0.5元硬币有x枚，1元硬币有y枚，根据共20枚以及合计15元列方程组求解.
【详解】解：设0.5元硬币有x枚，1元硬币有y枚，
解得
答：0.5元硬币有10枚，1元硬币有10枚.
17.
【分析】设展出的油画作品的数量是幅，展出的国画作品是幅，则根据“展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅”列出方程组即可．
【详解】解：设展出的油画作品的数量是幅，展出的国画作品是幅，依题意得
，
故答案是：．
18.14
【分析】一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， ，即可求出答案．
【详解】解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm，
则；
解得：，
∴(30-6)，，
∴李老师一摞碗最多只能放13+1=14（只），
故答案为：14．
19.80
【分析】根据题意可设塑料凳子厚度为x(cm)，凳子腿高为y(cm)，可列出关于x，y方程组，求出x，y，然后可计算出8张塑料凳子叠在一起的高度．
【详解】解：设塑料凳子厚度为x(cm)，凳子腿高为y(cm)，
由题意可得，
解得：，
则8支塑料凳子整齐叠放在一起的高度为cm．
故答案为：80．
20.
【分析】根据关键语句“十位数字与个位数字的和是7”可得方程，十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数是，对调后组成的两位数是，根据关键语句“这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”可得方程，联立两个方程即可得到答案．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得：
，
故答案为：．
三、解答题
21.解：设笼中各有x只鸡，y只兔，根据题意得：
，
解得，
∴笼中有23只鸡，12只兔
答：笼中有23只鸡，12只兔．
22.解：设甲、乙两仓库原来各存粮吨，由题意可得：
，解得
答：甲、乙两仓库原来各存粮吨，吨．
23.解：设该队胜了x场，平了y场，
依题意得：，
解得：，
答：这个队共胜了9场．
24.解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，
依题意，得：，
解得：．
答：该校现有30间学生宿舍，有160名学生．
25.解：设这个两位数为a，三位数为b，由题意得，
，
解得：，
答：这个三位数为101，两位数为75．
26．（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
27．
（1）
设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得，
解得，
（吨）；
故答案为：540；
（2）
由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（3）
设A、B两种货车各需要m辆、n辆，
则20m+15n=190,
∴，
①当m=2时，n=10；
②当m=5时，n=6；
③当m=8时，n=2．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．
