南昌市雷式学校2024-2025学年下学期3月份大练习
初二数学试卷
一、单选题
1．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的
面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
6．如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
8．已知，则代数式的值是 ．
9．如图，等边的边长为4，是边上的中线，点是边上的中点．如果点是上的动点，那么的最小值为 ．
10．如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．
11．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ．
12．如图，在中，，点是的中点，，点是射线上的一个动点，则当为直角三角形时，的长为 ．
三、解答题
13．计算：
(1)
(2)
14．先化简，再求值：，其中．
15．在中，相交于点，分别过点作于点，于点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
16．根据要求作图．
（1）如图1，平行四边形ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF．请你只用无刻度直尺画出线段EF的中点O．（2）如图2，平行四边形ABCD，点E在边AB上，请你只用无刻度直尺在边CD上找一点F，使得四边形AECF为平行四边形。（保留画图痕迹，不必说明理由）．
17．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)请求出喷泉B到小路的最短距离．
18．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
19．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为．
(1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由；
(2)当时，求四边形的面积．
20．【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，， ∴，
∴．
∴时，的最小值为8．
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
21．【提出问题】
如图1，在中，于点E，于点F．求证：；
【问题探究】
如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：；
【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为______．
22．已知和都是等腰直角三角形，．
【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______．
【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________．
23．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数．
如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长
如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积．
(4)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C C A D B
7．且
8．
9．
10．
11．
12．或或
13．(1)
(2)
14．，
15．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，由勾股定理得，，
．
16．
【详解】解：（1）如图点O即为所求，
（2）如图点F即为所求，
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意可得，，
在中，，
∴，
，
在，，
∴，
，
即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为；
（2）解：在中，，
，
∴是直角三角形，，
，
∴喷泉B到小路的最短距离为．
18．(1)米
(2)米
【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
19．
【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形，
理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，，
，
．
，
．
，
，即时，
四边形是平行四边形，
解得：；
（2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
，，，
在中，由勾股定理，得，
由三角形的面积公式，得，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
．
20．(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
(2)四边形面积的最小值为．
【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
（2）解：设的面积为a，
∵，
∴，
∴．
∴四边形的面积：，
∵，
∴当，即时，四边形的面积的最小值为：．
21．
【详解】解：提出问题：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则，
∵G是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．
【详解】【初步探索】解：如下图所示，延长交于点，
和都是等腰直角三角形，，
，，，
在和中，
，
，，
在中，
，
，
，
，
故答案为：，；
【拓展延伸】解：中的结论仍然成立，
理由如下：
如下图所示，延长交于点，交于点 ，
由【初步探索】可知，
，，
在中，
，
，
，
；
【知识应用】解:如下图所示，连接，
由【拓展延伸】可知，
是等腰直角三角形，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
；
如下图所示，当点在内，点在外时，连接，
由【拓展延伸】可知，
是等腰直角三角形，，
，
又，
，
，
又，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
23．(1)
(2)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形
(3)
(4)
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）四边形是平行四边形，
，
．
要使四边形是平行四边形，则，
设运动时间为秒，根据题意可知：，，
①当时，，
，
解得，不合题意；
②当时，，
，
解得，；
③当时，，
，
解得，；
④当时，，
，
解得，；
综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形；
故答案为：秒或秒或秒；
（3）如图3，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
的长为；
（4）如图2，作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
