2025年九年级中考数学二轮复习专题二次函数中菱形存在性问题训练
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，一次函数yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
3．综合与探究
如图，抛物线yx2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．
4．如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．
①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
5．如图，已知直线yx+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1），是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线yx2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
11．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，直线y＝kx+b经过点B、C．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移2个单位得到新抛物线y′，y′与原抛物线相交于点M，点Q是新抛物线y′对称轴上的一个动点，点N为平面内一点，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是以MQ为边的菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
（3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，二次函数的图象过A，B两点．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点且以BC为一边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；
（2）当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线yx2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）求的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是AC+BC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC．
∴△PBC周长的最小值是：3．
抛物线对称轴为直线x1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
设P（1，t），Q（m，n）
∵A（3，0），C（0，3），
则AC2＝32+32＝18，
AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，
PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P1（1，3），P2（1，3），
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P1（1，3）时，
∴，，
解得：m＝4，n，
∴Q1（4，），
当P2（1，3）时，
∴，，
解得：m＝4，n，
∴Q2（4，），
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与PQ中点重合，
∴，，
解得：m＝2，n＝2，
∴Q3（2，2），
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（1，），P5（1，），
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴，，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴Q4（﹣2，3），Q5（﹣2，3），
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3），Q5（﹣2，3）．
2．【解答】解：（1）在yx中，令x＝0得y，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，），
∵二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为yx2x；
（2）存在，理由如下：
由二次函数yx2x可得其对称轴为直线x1，
设P（1，m），Q（n，n2n），而B（0，），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，），
①当BC、PQ为对角线时，如图：
此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，），Q（1，）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，），B（0，），C（2，）可得PB2PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，）；
②BP、CQ为对角线时，如图：
同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，），C（2，）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，），C（2，）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，）或（﹣1，0）或（3，0）．
3．【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝2，
∴A（﹣6，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；
（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，
∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），
∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；
如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴点D的坐标为（﹣2，26），
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（2﹣2，2）；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+b，
∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），
∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），
∴点M的坐标为（﹣2，8），
∴DM3，
答：DM的长为3．
4．【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），得：
，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3．
（2）①∵点P（m，n）在抛物线上y＝x2﹣2x﹣3，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），
∴PQ＝m﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+3＝﹣（m）2，
∵过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q，
∴Q（m，m），
设点P到直线y＝x的距离为h，
∵直线y＝x是一三象限的角平分线，
∴PQh，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，PQ取得最大值，
∴当m时，PQ有最大值，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，m的值为．
②∵抛物线与y轴交于点C，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵OC∥PQ，且以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴PQ＝OC，
又∵OC＝3，PQ＝|﹣m2+3m+3|，
∴3＝|﹣m2+3m+3|，
解得：m1＝0，m2＝3，m3，m4，
当m1＝0时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去；
当m2＝3时，P（3，0），Q（3，3），
此时，四边形OCPQ是平行四边形，OQ，
∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
当m3时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，OQ，
∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
当m4时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，OQ，
∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
综上所述：不存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
5．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1） （x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a，
∴抛物线的表达式为：y（x﹣1） （x+3）x2x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，m+4），E（m，m+4），
∴DEm+4﹣（m+4）m2﹣4m，
∴S△ADCOA （m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m）2，
∴当m时，S最大，
当m时，y5，
∴D（，5）；
（3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下：
设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4，
∴Q（﹣2，）．
6．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，如图：
设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON
3（﹣m2﹣2m+3）1×33（﹣m）
m2m+6
（m）2，
∵0，
∴当m时，S四边形ABCN取最大值，
此时P（，0）；
∴四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（，0）；
（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），
∵MN∥CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，
∴，
解得（此时M，N与C重合，舍去）或；
∴Q（0，﹣1）；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；
综上所述，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．
7．【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：yx2x+2；
（2）令yx2x+2＝0，
解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），
∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，
则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED，cos∠PED，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+2，
则PEx2x+2x﹣2（x﹣2）2+2≤2，
即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），
则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1）PE，
即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，
则平移后抛物线的对称轴为x，
设点M（，m），点N（s，t），
由点A、P的坐标得，AP2＝18，
当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：
，解得：，
即点N的坐标为：（，）；
当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：
或，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点N的坐标为：（，）；
综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）．
8．【解答】解：（1）∵对称轴是直线x＝2，
∴2，
解得b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
将点A代入y＝x2﹣4x+c，可得c＝2，
∴函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，
当x＝2时，y＝﹣2，
∴顶点M（2，﹣2）；
（2）设直线BC所在的直线为y＝m，
当x2﹣4x+2＝m时，xB+xC＝4，xB xC＝2﹣m，
∴|xB﹣xC|＝2，
∵M（2，﹣2），
∴M点到直线BC的距离为m+2，
∵△BCM是等边三角形，
∴|xB﹣xC|（m+2），即（m+2），
解得m＝1或m＝﹣2（舍），
∴三角形的边长为2；
（3）存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设E（2，t），F（x，y），
①当AD为菱形对角线时，AE＝DE，
，
解得，
∴F（﹣1，0）；
②当AE为菱形对角线时，AD＝DE，
∴，
解得或（舍），
∴F（1，5）；
③当AF为菱形对角线时，AE＝AD，
∴，
解得或，
∴F（3，﹣1）或（3，﹣1）；
综上所述：F点坐标为（﹣1，0）或（1，5）或（3，﹣1）或（3，﹣1）．
9．【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（1，0）两点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
等腰△ACD，如图甲，
当以点D为顶点时，DA＝DC，点D与原点O重合，
∴D（0，0）；
当以点A为顶点时，AC＝AD，AO是等腰△ACD中线，
∴OC＝OD，
∴D（0，﹣3）；
当以点C为顶点时，AC＝CD3，
∴点D的纵坐标为3﹣3或33，
∴D（0，3﹣3）或（0，33）；
综上所述，点D的坐标为（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，33）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为：x＝﹣1，
设P（﹣1，t），Q（m，n），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
则AC2＝（﹣3）2+32＝18，
AP2＝（﹣1+3）2+t2＝t2+4，
PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图1，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P1（﹣1，3），P2（﹣1，3），
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P1（﹣1，3）时，
∴，，
解得：m＝﹣4，n，
∴Q1（﹣4，），
当P2（﹣1，3）时，
∴，，
解得：m＝﹣4，n，
∴Q2（﹣4，）；
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图2，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P3（﹣1，1），
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与PQ中点重合，
∴，，
解得：m＝﹣2，n＝2，
∴Q3（﹣2，2）；
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图3，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（﹣1，），P5（﹣1，），
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴，，
解得：m＝2，n＝3±，
∴Q4（2，3），Q5（2，3）；
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：P（﹣1，3），Q（﹣4，）或P（﹣1，3），Q（﹣4，）或P（﹣1，1），Q（﹣2，2）或P（﹣1，），Q（2，3）或P（﹣1，），Q（2，3）．
10．【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的表达式yx2+2x+3．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，如图．
设E（x，x2+2x+3），
∴BN＝3﹣x，MN＝x﹣1，
∴S四边形ODEB＝S△ODM+S梯形DMNE+S△ENB1×4（4x2+2x+3）（x﹣1）（x2+2x+3）（3﹣x）x2+4x+3，
∵四边形ODEB的面积为7，
∴x2+4x+37，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴x1＝x2＝2，
∴E（2，3）．
（3）存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，满足条件G的坐标为（，）或（，）．理由如下：
如图，连接CG，DG，
∵四边形EFGH是菱形，且∠EFG＝60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴△DCE是等边三角形，
∴△CEG≌△DEF，
∴∠ECG＝∠EDF＝30°，
∴直线CG的表达式为yx+3，
∴，
∴G（，）；
如图，连接CG、DG、CF，
∵四边形EFGH是菱形，且∠EFG＝60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴△DCE是等边三角形，
∴△DGE≌△CFE，
∴DG＝CF，
∴CF＝FE，GE＝FE，
∴DG＝GE，
∴△CDG≌△CEG，
∴∠DCG＝∠ECG＝30°，
∴直线CG的表达式为yx+3，
∴，
∴G（，），
综上，G（，）或（，）．
11．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3，解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∵直线y＝kx+b经过点B、C，
∴，解得，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3；
（2）过点P作PF∥y轴交BC于点F，过点E作EH⊥PF于点H，
设P（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵PF∥y轴，
∴∠EFP＝∠OCB＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∵EH⊥PF，
∴EH＝PH＝FHPF）m2m，
∴E（m2m，m2m+3），
∴S△BOE3×（m2m+3）（m）2，
∴△BOE面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC，
∴将抛物线沿着射线CA方向平移2个单位得到新抛物线y′，即将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴新抛物线y′＝﹣（x﹣1+）2+4﹣6＝﹣（x+1）2﹣2，
解方程组得，
∴M（，），新抛物线y′的对称轴为直线x＝﹣1，
设Q（﹣1，n），
∴MQ2＝（1）2+（n）2＝n2n，
PQ2＝（1）2+（n）2＝n2n，
PM2＝（）2+（）2＝40，
①当MQ＝PQ时，n2nn2n，
∴n，
∴Q（﹣1，），
∵点P的坐标为（，），
∴点N的坐标为（0，）；
②当MQ＝PM时，n2n40，
∴n，
∴Q（﹣1，）或（﹣1，），
∵点P的坐标为（，），
∴点N的坐标为（1，）或（1，）；
综上，点N的坐标为（0，）或（1，）或（1，）．
12．【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则Q（x，﹣x+3），
∴，
当x时，△CPB的面积最大，
此时，点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为．
（3）存在．
如图，设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E，
若四边形POP′C是菱形，则OP＝PC，
连接PP′，则PE⊥OC，OE＝CE，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴P（）．
13．【解答】解：（1）在 中，
令x＝0得 ，
令 y＝0 得 x＝3，
∴A（3，0），；
（2）∵二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为yx2x；
（3）存在，理由如下：
由二次函数yx2x可得其对称轴为直线x1，
设P（1，m），Q（n，n2n），而B（0，），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，），
①BP、CQ为对角线时，如图：
同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，），C（2，）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
②以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，），C（2，）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（﹣1，0）或（3，0）．
14．【解答】解：（1）当y＝0时，0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
设直线AC的解析式为y＝kx+6，
∴﹣2k+6＝0，
解得k＝3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+6，
设直线BC的解析式为y＝k'x+6，
∴8k'+6＝0，
解得k'，
∴直线BC的解析式为yx+6；
（2）∵（x﹣3）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，），
平移后的直线解析式为yx+6﹣n，
∴D（3，n），
∴CD2＝9+（n）2，BD2＝25+（n）2，BC2＝100，
∵△CDB是以BC为斜边的直角三角形，
∴100＝9+（n）2+25+（n）2，
解得n或n（舍）；
（3）存在点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵直线BC的解析式为yx+6，
∴直线BC平移后的函数解析式为yx+6﹣n，
当3x+6x+6﹣n时，解得xn，
∴F（n，n+6），
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴D（3，n），
当EF、FD为邻边时，ED与FP为菱形的对角线，
∴ED⊥FP，
∴FP∥x轴，
∴P（6n，n+6），
∵ED的中点的纵坐标与FP中点的纵坐标相同，
∴nn+6，
解得n，
∴P（8，0）；
当EF为菱形的对角线时，FP∥ED，
∴P（n，n+6），
∵PE＝ED＝n，
∴E点向左平移n个单位，向上平移n个单位得到P点，
∴P（3n，n），
∵P点在直线BC上，
∴n＝3n，
解得n，
∴P（，）；
综上所述：P点坐标为（8，0）或（，）．
15．【解答】解：（1）设B（xB，yB），
将A（﹣1，0），C（0，2）代入yx2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：yx2x+2，
∵点B在x轴上，
∴yB＝0，
将yB＝0代入yx2x+2中，得：xB2xB+2＝0，
解得：xB1＝4，xB2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴B（4，0）；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴，
∵直线y＝kx+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD＝2﹣1＝1，
∴EG，
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（4，0），C（0，2）代入，得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为yx+2，
设点E（t，t2t+2），则G（t，t+2），且0＜t＜4，
∴EG＝（t2t+2）﹣（t+2）t2+2t（t﹣2）2+2，
∴（t﹣2）2+2，
∵0，
∴当t＝2时，的值最大，最大值为2，此时点E的坐标为（2，3）；
（3）存在点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形．
设直线DE的解析式为y＝kx+b，将D（0，1），E（2，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+1，
设M（n，n+1），
∵B（4，0），D（0，1），
∴BM2＝（4﹣n）2+（0﹣n﹣1）2＝2n2﹣6n+17，
DM2＝（0﹣n）2+（1﹣n﹣1）2＝2n2，
BD2＝42+12＝17，
∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形，
∴分两种情况：BD为边时或BD为对角线，
①当BD为边时，MN＝DM＝BD（如图2）或MN＝BM＝BD（如图3），
∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，
解得：n＝±或n＝0（舍去）或n＝3，
∴M（，）或M（，）或M（3，4），
②如图4，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，），
∵四边形BMDN是菱形，
∴MN⊥BD，QB＝QDBD，
∴QD2+QM2＝DM2，
∴（2﹣0）2+（1）2+（n﹣2）2+（n+1）2＝2n2，
解得：n，
∴M（，），
综上所述，点M的坐标为（，）或（，）或（3，4）或（，）．
16．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣30，
∴当m时，MN有最大值．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MCm，
∴﹣m2﹣3mm，
解得m＝﹣3或0（舍弃）
∴MN＝32，
∴CQ＝MN＝32，
∴OQ＝31，
∴Q（0，﹣31）．
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，m2+3mm，
解得m＝﹣3或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝32，
∴OQ＝CQ﹣OC＝31，
∴Q（0，31）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣31）或（0，﹣1）或（0，31）．
()
