陕西省西安市长安区 2025 年高考数学一模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知 = 1 ，则复数 的实部与虚部之和为( )
1
3 1 3 1
A. 1 B. C. 2 D. +
2 2 2 2
2.已知 为数列{ }的前 项和，命题 ：{ }是等比数列；命题 ： ， 2 ， 3 成等比数列，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量 ， 满足 = (1,1)， = (0, 1)，则( 2 )在 上的投影向量为( )
A. 3 B. (0, 3) C. 3 D. (0,3)
4.某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间
[50,100]内，按分数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直
方图，根据图中数据，下列结论正确的是( )
A. 1000名学生成绩的平均数是77
B. 成绩不低于80分的学生所占比例为40%
C. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在[70,80)内抽取30人
D. 这1000名学生成绩的第50百分位数是80
4
5.双曲线的左顶点为 ，点 ， 是双曲线上关于 轴对称的两点.若直线 与 的斜率之积为 ，则双曲
5
线的离心率为( )
3√ 5 9
A. √ 5 B. C. D. 3
5 5
10 , < 0
6.已知函数 ( ) = { ， ( ) = ( ) + 2 ，若 ( )有一个零点，则 的取值范围是( )
, > 0
A. ( ∞, 1] B. ( ∞, 1) C. [1, +∞) D. (1, +∞)
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7.正三棱锥 侧棱长为1， ， 分别是 ， 上的动点，当△ 周长的最小值为√ 2时，三棱锥的
侧面积为( )
3 5
A. B. 1 C. D. 2
4 4
8.设函数 ( ) = 2 ( + ) ( + 2) ，其中 > 0，若 ( )有两个零点且 + 取最小整数 时，
1
+ 的最小值为( )
3+2√ 3 4+2√ 3 5+√ 3 6+2√ 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )的图象如图所示，则 ( )的解析式可能是( )
A. ( ) = 2 (2 )
6
B. ( ) = 2 (2 + )
6
2
C. ( ) = 2 (2 + )
3
D. ( ) = 2 (2 + )
3
10.已知 是抛物线 ： 2 = 4 的焦点， 是 的准线，点 是 上一点且位于第一象限，直线 与圆 ： 2 +
2 6 + 7 = 0相切于点 ，点 在线段 上，过点 作 的垂线，垂足为 ，则以下结论正确的是( )
A. | | = 2√ 2 B. 直线 的方程为 1 = 0
C. | | = 4 + 2√ 2 D. △ 的面积为8 + 6√ 2
11.数列{ }满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列，若{ }的前
项和为 ，下列关于斐波那契数列说法正确的是( )
A. 2022 + 1 = 2024
B. 若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{ }，则{ }的前2024项之和为2697
C. 前2024项中奇数共有1350个
D. ( 2 21 3 2) + ( 2 4 3) + ( 3 5
2
4) + + (
2
2022 2024 2023) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数列{ }的通项公式 = 2 + 1，则 1 + 3 + 5 + + 2 +1 = ______．
1
13.已知 ， 满足 = 5，sin( ) = ，则sin( + ) = ______．
tan 5
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14.近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯
庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的
方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有
______种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递______种不同
的信息．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = ， 为 上一动点．
3
(1)若 平分∠ ，求证： = ；
(2)若 为 上靠近 的三等分点，当 = 2， = 1时，求 的长．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = ( 1)2 4 + 1．
1 2 3
(1)记 ( )的导数为 ′( )，求 ′( ) + ′( ) + ′( ) + + ′( )的值，其中 ∈ ；
2 3 4 +1 +
(2)若 1， 2 ∈ (0, +∞)恒有 ( 1) ≥ ( 2)，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图三棱锥 中，四个面均为直角三角形，其中∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90°，且 = =
= 1.取 中点为 ，过 作 ⊥ 于点 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值．
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18.(本小题12分)
某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球1个，白球2个，黑球3个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸
到红球记1分，摸到白球记0分，摸到黑球记 1分.抽奖人摸3个球为一次抽奖，总分记为 ，若 ≥ 0，则获
奖．
方案一：从中一次摸1个球，记录分数后不放回．
方案二：从中一次摸1个球，记录分数后放回．
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
(3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求 的分布列和数学期望．
19.(本小题12分)
已知圆锥曲线 ： 2 + 2 + 2 + 2 + = 0，称点 ( 0, 0)和直线 ： 0 + 0 + ( + 0) +
+
( + 0) + = 0是圆锥曲线 的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以 0 替换
2，以 0 替换 (
2
2 2
另一变量 也是如此).特别地，对于椭圆 2 + 2 = 1，点 (
0 0
0
, 0)对应的极线方程为 2 + 2 = 1.已知椭圆 ：
2 2
+
2 2
= 1( > > 0)，椭圆 的左、右焦点分别为 1、 2．
8√ 3
(1)若极点 2(2√ 3, 0)对应的极线 为 = ，求椭圆 的方程； 3
(2)当极点 在曲线外时，过点 向椭圆 引两条切线，切点分别为 ， ，证明：直线 为极点 的极线；
1
(3)已知 是直线 = + 4上的一个动点，过点 向(1)中椭圆 引两条切线，切点分别为 ， ，是否存
2
在定点 恒在直线 上，若存在，当 = 时，求直线 的方程；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2 2 + 5 + 3
3
13.【答案】
10
14.【答案】512 130
15.【答案】(1)证明：在△ 中，由正弦定理得 = … ①，
sin∠ sin∠
在△ 中，由正弦定理得 = … ②．
sin∠ sin∠
∠ ∠
①、②两式相除，得 = … ③，
∠ ∠
由 平分∠ ，可得sin∠ = sin∠ ，
结合sin∠ = sin( ∠ ) = sin∠ ，化简③式，可得 = ；
1 1
(2)因为 为 上靠近 的三等分点，所以 = = ( )，
3 3
1 2 1
可得 = + = + ( ) = + ．
3 3 3
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由 = 2， = 1，∠ = ，可得 = = 1．
3 3
2 2 2
所以
2
= (
1 4 4 1 4 4 1 7
+ )2 = + + = × 4 + × 1 + × 1 = ，可得 2
3 3 9 9 9 9 9 9 3 | | =
√ =
√ 21
．
3
16.【答案】解：(1)由题意， ( )的定义域为(0, +∞)， ′( ) = 1 + ，
1 2 3 1 2 3
所以 ′( ) + ′( ) + ′( ) + + ′( ) = + ln + ln + ln + + ln
2 3 4 +1 2 3 4 +1
1 2 3 1
= + ln( ) = + ln = ln( + 1)．
2 3 4 +1 +1
(2)由(1)知， ′( ) = 1 + ，
1
当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
1
当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
1 1
所以 ( ) = ( ) = ，
3
由 < 4 < ，得 4 < 0，函数 ( ) = ( 1)2 4 + 1的图象是开口向下的抛物线，
2
当 = 1时， ( ) = 1，由 1， 2 ∈ (0, +∞)恒有 ( 1) ≥ ( 2)，得 ( ) ≥ ( ) ，
1 1
因此 1 ≤ ，解得 ≤ 1 ，
1
所以 的取值范围是( ∞, 1 ].
17.【答案】解：(1)证明：三棱锥 中，由 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
得 ⊥平面 ，而 平面 ，
则 ⊥ ，又 ⊥ ，
∩ = ， ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，而 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)过点 作 // ，由(1)知 ⊥平面 ，又∠ = 90°，则直线 ， ， 两两垂直，
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以点 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (1,0,1)， (0,0,0)， (0,1,0)， (0,0,1)， = (1,0,0), = (0,1, 1), = (1,0,1), = (0,1,0)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
则{ ⊥
，则{
= = 0 ，
⊥ = = 0
取 = 1，得 = (0,1,1)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
则{ ⊥
= + = 0，则{ ，
⊥ = = 0
取 = 1，得 = (1,0, 1)，
| | 1 1
设平面 与平面 的夹角为 ，则 = |cos , | = = = ，
| || | √ 2 √ 2 2
√ 3
所以平面 与平面 夹角的正弦值 = √ 1 cos2 = ．
2
18.【答案】解：(1)若 ≥ 0，则甲顾客摸到1个红球2个白球、或者是1个红球1个白球1个黑球，
2 1+ 1 12 1 1 2
1
3 7故 ( ≥ 0) = 3 = ； 6 20
(2)记事件 ：乙顾客第二次摸到红球，记事件 ：乙顾客按照方案一摸球获奖，
2 20 1 2+ 1 1 2 7
则 ( ) = 53 = = ， ( ) =
2 2 3 2 = ，
120 6 3 606 6
( ) 7 7
所以 ( | ) = = 6 = ；
( ) 60 10
(3) 的可能取值有 3、 2、 1、0、1、2、3，
1 1 1 1 1
( = 3) = ( )3 = ， ( = 2) = 13 ( )
2 = ，
2 8 3 2 4
1 1 1 1 7
( = 1) = 13 ( )
2 + 13 ( )
2 = ，
6 2 2 3 24
1 1 1 1 11
( = 0) = ( )3 + 33 = ， 3 6 3 2 54
1 1 1 1 7
( = 1) = 1 2 13 ( ) + ( )
2 = ，
6 3 3 2 6 72
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1 1 1
( = 2) = 23 ( )
2 = ，
6 3 36
1 3 1 ( = 3) = ( ) = ，
6 216
所以随机变量 的分布列如下表所示：
3 2 1 0 1 2 3
1 1 7 11 7 1 1
8 4 24 54 72 36 216
1 1 7 11 7 1 1
故 ( ) = 3 × 2 × 1 × + 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = 1．
8 4 24 54 72 36 216
8√ 3
19.【答案】解：(1)根据题目定义：极点 2(2√ 3, 0)对应的极线 为 = ， 3
2√ 3 0× 8√ 3
极点 2(2√ 3, 0)对应的极线 为 2 + 2 = 1，即 = ，所以
2 = 16，
3
因为右焦点是 2(2√ 3, 0)，所以 = 2√ 3，所以
2 = 2 2 = 4，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1；
16 4
2 2
(2)证明：当斜率存在时，设切线方程为 = + ，联立椭圆方程 2 + 2 = 1，设切点 ( 1, 1)，
可得 2 2 + 2( + )2 = 2 2，化简可得：
( 2 + 2 2) 2 + 2 2 + 2( 2 2) = 0，
由题可得： = 4 4 2 2 4 2( 2 + 2 2)( 2 2) = 0
化简可得： 2 = 2 2 + 2，该方程只有一个根，记作 1，
2 2
1 = 2 2 = ， 1为切点的横坐标，
+ 2
2
切点的纵坐标 1 = 1 + = ，
2
1
2
由于 = ，则 = 12 2 ， 1 1
2
则切线方程为： 11 = ( 1) = 2 ( 1)， 1
1 1 化简得： 2 + 2 = 1．
当切线斜率不存在时，切线为 = ± ，也符合方程 12 +
1
2
= 1，
2 2 3 3 综上 2 + 2 = 1( > > 0)上一点 ( 1, 1)的切线方程为 2 + 2 = 1；
2 2
同理 2 + 2 = 1( > > 0)上一点 (
2 2
2
, 2)的切线方程为 + 2 = 1；
2
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2 3 2 + 3 = 1
2 2
设 ( 3, 3)，点 在两个切线上，所以{
， 1 3 + 1 3
2 2
= 1
所以 的直线方程为 3
3
2 + 2 = 1，根据极线定义直线 为极点 的极线；
1
(3)由题 是直线 = + 4上的一个动点，设点 的坐标为(
2 0
, 0)，
1 1
因为点 在直线 = + 4上运动，所以 = + 4，
2 0 2 0
2 2
+ = 1
联立{16 4 ，得 2 8 + 24 = 0，
1
= + 4
2
= 64 4 × 24 = 32 < 0，该方程无实数根，
1
所以直线 = + 4与椭圆 相离，即点 在椭圆 外，又 ， 都与椭圆 相切，
2
所以点 和直线 是椭圆 的一对极点和极线．
2 2
对于椭圆 + = 1，与点 ( 0, 0)对应的极线方程为
0 + 0 = 1，
16 4 16 4
1
将 0 = 0 + 4代入
0 + 0 = 1，整理得 ( 2 ) + 16 16 = 0，
2 16 4 0
又因为定点 的坐标与 0的取值无关，
2 = 0 = 2
所以{ ，解得{ ，所以存在定点 (2,1)恒在直线 上．
16 16 = 0 = 1
当 = 时， 是线段 的中点，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的斜率为 ，
21
2
+ 1 = 1
则{16 42 2 ，两式相减， 2 + 2 = 1
16 4
2 1 4 1+ 2 4 2×2 1 1整理得 = = = ，即 = ，
2 1 16 1+ 2 16 2×1 2 2
所以当 =
1
时，直线 的方程为 1 = ( 2)，即 + 2 4 = 0．
2
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