2025年中考第一次模拟考试数学试卷
常州卷
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：120分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的倒数为（ ）
A．-2025 B．2025 C． D．
2．二次根式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是由4个小正方体组成的几何体，从正面看的平面图是（ ）
A．B．C．D．
5．有理数、、在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，建筑工人砌墙时，经常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这样做依据的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离
8．如图1，汽车行驶时，发动机的温度会升得很高，利用防冻冷却液在散热器管道内循环流动，将发动机多余热量带走，能使发动机以正常工作温度运转．防冻冷却液主要由水和不易汽化、密度比水小的某种防冻剂（简称原液）混合而成，防冻冷却液的凝固点和沸点与原液含量的关系图象如图2和图3所示（选用时，防冻冷却液的凝固点应低于环境最低温度10及以下，而沸点一般要高于发动机最高工作温度5及以上）．阅读以上信息，则下列说法中正确的是（ ）
A．当原液含量逐渐增大时，防冻冷却液的凝固点逐渐降低，沸点逐渐升高
B．当防冻冷却液凝固点为时，原液含量约为
C．若某品牌汽车的发动机工作温度为，所在地区最低温度为，则选用原液含量为的防冻冷却液较合适
D．原液含量低于时，其凝固点一直随原液含量的增大而升高
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
9．实数的算术平方根是______________．
10．因式分解：___________．
11．计算：___________．
12．某弹簧的自然长度为13厘米，在弹性限度内，所挂物体质量每增加1千克的重物时弹簧长度增加0.5厘米，那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的关系式为___________．
13．如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为（0,2），点的坐标为（1,0）．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________．
14．甲、乙两地1月份连续五天的日平均气温如下表（单位：℃）．
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
甲地气温 12 11 12 10 12
乙地气温 0 4 0
则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：___________．（用“>”“<”或“=”填空）
15．如图，在中半径互相垂直，点在劣弧上．若，则为___________°．
16．如图，在中，，若，则的值为___________．
17．如图，点在等边的内部，且，，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的值为___________．
18．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．
（1）连接，的长为___________；
（2）a的取值范围是___________．
三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）化简：；（2）解分式方程：．
20．（6分）解不等式组：．
21．（8分）清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：
a．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品；
b．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表．
词语 频数人数 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风
李白 72 24 28 6 26 8
杜甫 19 4 6 10 30 14
注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．
根据所给信息，回答下列问题：
（1）补全条形图；
（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______；
（3）下列推断合理的是______．
①相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见；
②李白更常用“风”表达喜悦，而杜甫更常用“风”表达悲伤．
22．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）．
23．（8分）如图，平分，垂足分别为点．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长度．
24．（8分）如图，点反比例函数的图象经过，两点，连接，，过点B作轴，交于点，若为的中点，且点坐标为．
（1）求的值；
（2）连接并延长，交轴于点，求点的坐标；
（3）连接，求的面积．
25．（8分）有一块长，宽的矩形铁皮．
（1）如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．
（2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________cm．
26．（10分）【材料阅读】
材料一：在平面直角坐标系中，对两点和，定义两点间距离：．
材料二：数学课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，，，求的最小值．经过思考后，小明提出了自己的想法：延长到点D，使得，则，连接…．
【概念理解】
（1）①已知点，则______．
②函数的图象如图2所示，点B在图象上，，点B的坐标是_______．
（2）材料二中，的最小值为______．
【新知应用】结合材料一和材料二，完成下列问题：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知菱形，若点M在菱形边上，且．请利用无刻度直尺和圆规在图中作出满足条件的点M．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图4，已知点，点，直线经过点M，原点关于直线的对称点为，直接写出取值范围．
27．（10分）综合与探究
如图，在平行四边形中，分别是边，上的点，与交于点．
（1）【特例感知】
如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是________；
（2）【深入探究】
如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？
请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
思路一 思路二
如图，在边上取一点使，…… 如图，在的延长线上取一点使，，……
（3）【类比迁移】
如图（c），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值；
（4）【联系拓广】
如图（d），在平行四边形中，，，，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长．
28．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点，点为轴右侧抛物线上不与点重合的一动点，作轴于点，交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，当点在上方，时，求点的坐标．
（3）令．
①求关于的函数解析式；
②当时，请直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．选：D．
2．选：B．
3．选：D．
4．选：D．
5．选：D．
6．选：A．
7．选：B．
8．选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题
9．答案为：
10．答案为：．
11．答案为：．
12．答案为：
13．答案为：．
14．答案为：＜．
15．答案为29．
16．答案为：．
17．答案为：．
18．（1）答案为：；
（2）答案为：．
三、解答题
19．解：（1）原式
．
（2）方程两边乘以得：．
移项得：．
解得：．
检验：当时，．
所以原分式方程的解为．
20．解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将不等式①和②的解集分别表示在数轴上：
由数轴可知，不等式组的解集为，
∴不等式组的解集为：．
21．（1）解：补全条形图如图．
（2）解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；
（首）；
杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风；
故答案为：春风；12；秋风；
（3）解：①与“风”有关的词语在李白的诗歌中占，
②而在杜甫的诗歌中占．
由于，所以相比较杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见，故①推断合理；
李白常用的“风”是“春风”，表达喜悦，而杜甫常用的“风”是“秋风”，表达悲伤，故②推断合理．
22．（1）解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色” 可得结果变绿色是不可能事件；
故答案为：不可能．
（2）解：列表如下；
由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有，共2种结果，所以两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
第2瓶第1瓶 A B C D
A
B
C
D
23．（1）证明：平分，，，
，；
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，
平分，，
，，
∵，
，，
，
，
∵在中，，
，
．
24．（1）解：∵点为，是的中点，
∴点为，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵轴，点为，
∴把代入得：，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴；
（3）解：
．
25．（1）解：设正方形的边长为，
根据题意可得：，
整理得：，
分解因式得：，
解得：，（舍去），
答：裁去的正方形的边长为；
（2）解：设左侧阴影正方形的边长为，
根据题意可得：，
整理得：，
分解因式得：，
解得：，（舍去），
盒子的底面宽为，长为，
右侧阴影长方形的长为，
裁剪下来的边角料面积为，
故答案为：．
26．解：（1）①由题意得，
故答案为：3；
②由题意可设，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
经检验，均是方程的解，
∴或，
故答案为：或；
（2）当时，最小，如图：
∵，
∴，
∴在中，，
故答案为：；
（3）如图，点M即为所求：
过点B作轴，垂足为点，在点右侧轴上截取，连接并延长与菱形边的交点即为点，
∵，
∴，
过点作轴于点，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，
而
∴；
（4）由对称得：，
即为中点，
∴，
取的中点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴点轨迹为以为直径的圆，圆心记作，
∵，
则，
在轴上取点，使得，过点作轴于点，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴
∴当与相切于左侧时，最大，即最大，即最大，如图：
过作轴于，如图：
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴在等腰中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当点与点重合时，最小，过点作交延长线于点，如图：
∵，，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴此时，
∴，则，
所以．
27．解：（1）[特例感知]
∵四边形是正方形，
∴，
当时，即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）[深入探究]
思路一：∵四边形是菱形，
∴，，
当时，，
∵是三角形的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，在边上取一点使，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
思路二：由思路一可得，
在的延长线上取一点使，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）[例比迁移]
如图所示，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
（4）[联系拓广]
第一种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接，过点作延长线于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
过点作于点，，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
第二种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接交与点，
由第一种情况可得，，，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．
28．（1）解：把代入抛物线解析式得∶．
再把代入抛物线解析式得，，解得：．
所以抛物线的解析式为．
（2）解：∵，，
∴轴，，，．
∵轴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，即：．
∵，，
∴，．
∴．解得：，（不合题意，舍去）．
∴．
（3）解：①由，两点坐标，运用待定系数法可求得：直线的解析式为
如图，当点在直线上方时，．
∴，．
∴．
如图，当点在直线下方时，．
，．
所以．
综上可知，．
②∵，
∴，
∵，
∴，
由，两点坐标，运用待定系数法可求得：直线的解析式为
如图，当点在直线上方时，．
∴，
∴，解得，
∵；
如图3：当时，有最大值，当时，有最小值3，
∴；
如图，当点在直线下方时，．
∴，
∴，解得，
∵；
如图3：当时，有最小值，即；
综上，当时，的取值范围或．
