河北省金科大联考2025届高三3月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则复数的模为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.小张从超市买了袋食盐，每袋食盐的标准重量是克，为了了解这些食盐的重量的情况，称出各袋的重量分别为克，克，克，克，则这袋食盐重量的方差为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，其中，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，，，都有，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：与直线相切，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知存在实数，，使得函数在区间上的值域与函数在区间上的值域相同，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值是的是( )
A. B.
C. D.
10.下列选项中，正确的是( )
A. 甲、乙两名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知，甲加工的合格品率为，乙加工的合格品率为加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占，，从所有零件中任取一个零件，则这个零件是合格品的概率为
B. 已知事件，满足，，，则
C. 若事件满足，且，则与相互独立
D. 若随机变量，且，，则的最小值为
11.已知抛物线的准线方程为，点为抛物线上位于第一象限的点，为坐标原点，过抛物线的焦点作直线的平行线与抛物线交于，两点点位于第一象限，直线和分别与抛物线的准线相交于，两点，则( )
A.
B. 若抛物线的准线与轴相交于点，则是线段的中点
C.
D. 若直线与抛物线交于另一点，则直线轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：和圆：相切，则 ___．
13.若函数有且仅有两个零点，则正数的取值范围为 ．
14.如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面，，是的中点，是的中点，平面把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，其中，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角所对的边分别为，且．
若，求的值；
若，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，，是的中点．
证明：平面；
若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的新春京剧演唱会汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧墙头马上据统计，有的票友计划只观看新春京剧演唱会，余下的票友既观看新春京剧演唱会，也观看墙头马上每位票友只观看新春京剧演唱会，则会员卡积分；若既观看新春京剧演唱会，也观看墙头马上，则会员卡积分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为．
观看结束后，从票友中随机抽取人，记人会员卡的合计得分为，求的分布列和数学期望；
观看结束后，从票友中随机抽取个人为正整数，记这个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前项和．
18.本小题分
已知点，，直线和的斜率的乘积为，点的轨迹为．
求轨迹的方程；
过点的直线与轨迹相交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值；
在的条件下，证明：直线与的交点在定直线上．
19.本小题分
已知函数．
若恒成立，求实数的取值范围；
若是函数的两个零点，证明：；
当且时，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或或或
13.
14.
15.由正弦定理及，有，
又由余弦定理，有，
代入，有，整理为，
因式分解为，可得或，
可得的值为或；
由正弦定理及，有，
又由，有，
又由，有，
即，
代入，有，
有．
16.如图，连接，与相交于点，
因四边形为矩形，对角线，相交于点，则，
又因是的中点，则，
因，，则，
因，平面，平面，所以平面；
因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，
则以所在的直线分别为轴，轴，过点，在平面内作的垂线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系．
由，，，可得，可得点的坐标为，
各点坐标如下：，，，，，
设平面的法向量为，由，，
有，取，，，
可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，由，，
有，取，，，
可得平面的一个法向量为，
又由，，，有，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17.由题可得的值可得为，，，，
则，，，．
则分布列如下：
则；
由题可得合计积分是分时，有人只看新春京剧演唱会，一人既观看新春京剧演唱会，也观看墙头马上，
可得，，，
则．
则
，
两式相减可得：．
则．
18.设点的坐标为，
由直线和的斜率的乘积为，有，
可得又由，可得轨迹的方程为；
由知，直线的斜率不为，故设直线的方程为，
点，的坐标分别为，
联立方程，消去后整理为，
有，，
又由
，故；
由直线和的斜率的乘积为，可得直线的斜率为，
可得直线的方程为，
又由，有，可得直线的方程为，
将直线和的方程联立消去，有，
解得，可得点的坐标为，
所以直线与的交点在定直线上．
19.由恒成立，有恒成立，
令，有，解不等式可得，
可得函数的增区间为，减区间为，
可得的最大值为，
若函数恒成立，可得实数的取值范围为；
不妨设，设，
由，有，，两式相除，有，
代入，有，有，可得，
可得，
要证，只需证，只需证，
令，有，
可得函数单调递增，有，故有；
由，取，有当且仅当时取等号，
取其中，有，有，
又由，有，有，
有，有，有，
可得，有，
有，有，
当且时，可得．
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