2024-2025学年陕西省西安交大附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）近期，各学校的春季运动会如火如荼地举行着，许多球类项目引人注目，下列各球类的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列代数式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+m＞b+m B．ac＜bc C．﹣2a＞﹣2b D．
4．（3分）如图，将△AOC绕点O顺时针方向旋转36°至△BOD，已知∠AOD＝126°，则∠BOC的度数为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．63°
5．（3分）下列是因式分解的是（ ）
A．4a2+4a﹣1＝（2a﹣1）2
B．a2﹣4b2＝（a﹣4b）（a+4b）
C．（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣9b2
D．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
6．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝3，BC＝5，那么△ABD与△CBD的面积之比是（ ）
A．3：2 B．3：5 C．5：3 D．不能确定
7．（3分）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A（3，﹣4）的对应点A′的坐标为A′（﹣2，1），那么点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣6，﹣3） B．（﹣6，7） C．（﹣3，﹣6） D．（4，﹣7）
8．（3分）已知一次函数y1＝kx+2（k≠0）和y2＝﹣2x+a（a为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式（k+2）x＞a﹣2的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＞3 C．x＜1 D．x＜3
9．（3分）若关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣9＜a＜﹣8 B．﹣9≤a≤﹣8 C．﹣9≤a＜﹣8 D．﹣9＜a≤﹣8
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M是AB边的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，DE与CM相交于点F，且∠DME＝90°．下列6个结论：（1）图中共有2对全等三角形；（2）△DEM是等腰三角形；（3）∠CDM＝∠CFE；（4）；（5）AD2+BE2＝2DM2；（6）四边形CDME的面积随点D的运动而变化．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）若点M（m+3，m﹣2）在第四象限，则m的取值范围是 ．
14．（3分）\如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为 cm2．
15．（3分）如图，已知△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以点C为圆心，大于CM长为半径画弧，交AB于E、F两点，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，作射线CD，交AB于M．若，则CD＝ ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为CD中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE周长最小时，BP的长为 ．
三、解答题（共8小题，共72分，解答题应写出
17．（8分）把下列各式因式分解：
（1）（a2+4）2﹣16a2．
（2）．
18．（6分）先化简，再求值：，其中m＝﹣1．
19．（7分）解不等式组：，并求出所有整数解的和．
20．（9分）某中学举行知识竞赛，一共25道题，满分100分，答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该同学一共答对了几道题？
（2）若规定参赛者每道题必须作答且总得分不低于92分才可被评为“知识小达人”，则该参赛者至少需答对几道题才能被评为“知识小达人”？
21．（10分）如图，在边长为1个单位长度的网格中，△ABC各顶点都在格点上，已知点A的坐标为（﹣4，6）．按要求完成下列各题：
（1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1的坐标；
（2）若△ABC与△A2B2C2关于某点成中心对称，且点A的对应点A2的坐标为（4，﹣6），请直接写出对称中心的坐标，并画出△A2B2C2；
（3）△A2B2C2能否由△A1B1C1经旋转得到？若可以，请直接指出旋转中心及旋转角的度数；若不能，请说明理由．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥BC，FN⊥AB，垂足分别为M，N．
（1）求∠EFD的度数；
（2）求证：FE＝FD．
23．（10分）分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题：
（1）如果，求x的取值范围；
（2）如果，求x的取值范围．
24．（12分）综合与实践：
（1）如图1，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，连接AD，则AD与BC的数量关系是 ；
（2）如图2，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边的中点，如果在平面内有一点P，且点P到点D的距离为1，则线段AP长度的取值范围是 ；
（3）如图3是某公园“牡丹风景区”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，．为提升游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路AP，BP，PQ，要求∠DQC＝90°．若小路铺设费用为70元/m，求该风景区铺设赏花小路的最少费用（小路宽度不计，取1.7）．
2024-2025学年陕西省西安交大附中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C D B B A D B
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
2．【解答】解：A、是多项式，故本选项不符合题意；
B、是分式，故本选项符合题意；
C、是单项式，故本选项不符合题意；
D、是多项式，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．【解答】解：A、∵a＜b，∴a+m＜b+m，故此选项不合题意；
B、∵a＜b，∴当c＞0时，ac＜bc，故此选项不合题意；
C、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故此选项符合题意；
D、∵a＜b，∴当c＜0时，，故此选项不合题意；
故选：C．
4．【解答】解：∵将△AOC绕点O顺时针方向旋转36°至△BOD，
∴∠AOB＝∠COD＝36°，
∵∠AOD＝126°，
∴∠BOC＝∠AOD﹣∠COD﹣∠AOB＝54°，
故选：C．
5．【解答】解：A、4a2+4a﹣1≠（2a﹣1）2，故该选项不正确，不符合题意；
B、a2﹣4b2＝（a﹣2b）（a+2b），故该选项不正确，不符合题意；
C、（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣9b2，没有化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，是因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6．【解答】解：过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E，DF⊥BC于点F，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
∴．
故选：B．
7．【解答】解：∵线段AB平移后，点A（3，﹣4）的对应点A′的坐标为A′（﹣2，1），
∴将线段AB向左平移5个单位，向上平移5个单位得到线段A′B′，
∴点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标为（﹣1﹣5，2+5），即（﹣6，7）．
故选：B．
8．【解答】解：两条直线的交点坐标为（1，3），且当x＞1时，直线y1＝kx+2（k≠0）在直线y2＝﹣2x+a的上方，
故关于x的不等式（k+2）x＞a﹣2的解集为x＞1．
故选：A．
9．【解答】解：关于x的不等式组有解，
解得：2＜x≤﹣2﹣a，
∵关于x的不等式组恰有4个整数解，
∴6≤﹣2﹣a＜7，
解得﹣9＜a≤﹣8，
故选：D．
10．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
又∵M是AB的中点，
∴∠ACM＝∠MCB＝45°，，CM⊥AM，
∴∠A＝∠B＝∠MCE＝∠ACM＝45°，∠AMC＝∠BMC＝90°，
在△ACM和△BCM中，，
∴△ACM≌△BCM（SAS）；
∵∠DME＝90°，
∴∠AMD＝∠CME，∠DMC＝∠EMB，
在△ADM与△CEM中，，
∴△ADM≌△CEM（ASA），
同理：△CDM≌△BEM（ASA），（1）不正确；
∵△ADM≌△CEM，
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形，（2）正确；
∵∠DME＝90°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴∠MDE＝∠MED＝45°，，
∵∠CDM＝∠CDF+∠MDE＝∠CDF+45°，∠CFE＝∠DCF+∠CDF＝45°+∠CDF，
∴∠CDM＝∠CFE，（3）正确；
∵△ADM≌△CEM，△CDM≌△BEM，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴，（4）正确；
∵∠ACB＝90°，
∴CE2+CD2＝DE2，
∴AD2+BE2＝2DM2，（5）正确；
∵△ADM≌△CEM，
∴四边形CDME的面积＝△ACM的面积＝的面积，
即四边形CDME的面积不发生改变，（6）不正确；
正确的结论有4个，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题．
故答案为：真．
12．【解答】解：∵2x﹣3≠0，
∴x≠．
故答案为：x≠．
13．【解答】解：∵点M（m+3，m﹣2）在第四象限，
∴，
解不等式①得：m＞﹣3，
解不等式②得：m＜2，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜m＜2，
故答案为：﹣3＜m＜2．
14．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形且边长为8cm，
∴AD＝CD＝8cm，S正方形ABCD＝82＝64cm2，设A'B与AD交于点E，CD与B'C'交于点F，
由平移的性质得：四边形B'FDE为矩形，AE＝2cm，CF＝4cm，
∴DE＝AD﹣AE＝6cm，DF＝CD﹣CF＝4cm，
∴S矩形B'FDE＝DE DF＝24cm2，
∴S阴影＝S正方体ABCD﹣S矩形B'FDE＝40cm2．
故答案为：40．
15．【解答】解：由基本作图知CM⊥AB，
∵AC＝BC＝5，AB＝6，
∴，
在Rt△CBM中，，
在Rt△BDM中，，
∴CD＝CM+DM＝4+2＝6，
故答案为：6．
16．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝8，点E为CD中点，
∴AE为定长，
∵PQ＝2，
∴四边形APQE周长最小只要AP+EQ最小即可；
取AB中点F连接EF，在EF上取EE′＝PQ＝2，连接E′P，
则四边形BCEF是矩形，四边形EE′PQ为平行四边形，BF＝AB＝2，
∴E′P＝EQ，
∴AP+EQ＝AP+E′P，
∴AP+EQ最小，只要AP+E′P最小即可；
作点A关于BC的对称点A′，连接E′A′交BC于点P′，
则PA′＝PA，A′B＝AB＝4
∴AP+E′P＝PA′+PE′≥E′A′
即AP+E′P最小时，点P位于P′处，
∴BP′的长即为所求．
由作图可知，E′F＝EF﹣EE′＝8﹣2＝6，A′F＝A′B+BF＝4+2＝6，
∴△A′E′F是等腰直角三角形，
∴∠FA′E′＝45°，
∵∠A′BP′＝90°，
∴∠BP′A′＝45°，
∴BP′＝BA′＝4，
故答案为：4．
三、解答题（共8小题，共72分，解答题应写出
17．【解答】解：（1）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2；
（2）
＝
＝．
18．【解答】解：
＝
＝
＝，
当m＝﹣1时，原式＝．
19．【解答】解：由3x＜﹣8﹣x得：x＜﹣2，
由得：x≥﹣5，
则不等式组的解集为﹣5≤x＜﹣2，
不等式组的整数解的和是﹣5﹣4﹣3＝﹣12．
20．【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣2﹣x）道题，
依题意得：4x﹣（25﹣2﹣x）＝82，
解得：x＝21，
答：该参赛同学一共答对了21道题；
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“知识小达人”，则答错了（25﹣y）道题，
依题意得：4y﹣（25﹣y）≥92，
解得：y≥23.4．
∵y为正整数，
∴y最小取24．
答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“知识小达人”．
21．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，
点A1，B1，C1的坐标分别为（1，7），（2，3），（5，3）；
（2）∵点A（﹣4，6）的对应点A2的坐标为（4，﹣6），
∴对称中心为，即（0，0），
△A2B2C2如图所示；
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，连接对应点的连线交点，则其旋转中心P的坐标如图，旋转中心的坐标为，旋转角为180°．
22．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴，，
∴∠AFC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACE＝180°﹣15°﹣45°＝120°，
∠EFD＝∠AFC＝120°，
∴∠EFD的度数为120°；
（2）证明：如图，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝NF，∠DMF＝∠ENF＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴，
∴∠CDA＝75°，
∵∠EFA＝60°，∠BAD＝15°，
∴∠MDF＝75°＝∠NEF，
在△ENF和△DMF中，
，
∴△ENF≌△DMF（AAS），
∴EF＝DF．
23．【解答】解：（1）∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴时，x+1＞0，
解得：x＞﹣1；
（2）由得：或，
解第一个不等式组得：，
解第二个不等式组得：该不等式组无解集，
∴当时，．
24．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，
∴，
故答案为：；
（2）连接AD，如图：
∵D为BC中点，
∴，
∴在Rt△ABD中，，
∵DP＝1，
∴AD﹣DP≤AP≤AD+DP，
即，
故答案为：；
（3）将△ABP顺时针旋转60°得到△AEF，如图3，
则∠FAP＝∠EAB＝60°，AF＝AP，AE＝AB，BP＝EF，
∴△AFP、△AEB都是等边三角形，
∴AP＝FP，
∴AP+BP+PQ＝FP+EF+PQ≥EQ．
∵∠DQC＝90°，
∴点Q在以CD为直径的圆上，则，
取CD中点O，连接OE，OQ，交AB于H，则H为AB中点，
∴，
∵，
∴四边形ADOH为矩形，
∴HO＝AD＝600m，
∴OE＝EH+HO＝900m，
∴，
∴该风景区铺设赏花小路的最少费用为：（元）．
