2024-2025学年江苏省常州市联盟学校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，点在线段上，且，是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在处点在水平地面下方进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点，相距米，，其中到的距离比到的距离远米在地测得最高点的仰角为与水平地面的交点，在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8.记的内角，，所对的边分别为，，，若，则边上的中线长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与垂直
D.
10.已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是( )
A. B. ， C. ， D. ，
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是的一个最小正周期 B. 是偶函数
C. 在上单调递减 D. 是图象的一条对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数为纯虚数，则实数的值为______．
13.如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为测量文峰塔的高度，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部和文峰塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则文峰塔的高度为______．
14.已知中，内角，，的对边分别为，，，为的外心，，，且有若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的范围；
为的共轭复数，且若是关于的方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
16.本小题分
如图，在中，，，．
求的长；
设为边上一点，且，求的面积．
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角、的终边与单位圆分别交、两点，点是单位圆与轴正半轴的交点．
当，时，求的值；
若为劣弧上的动点，当点的横坐标为时，求最小值．
18.本小题分
如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点．
求证：；
设，，，，求的值；
如果是边长为的等边三角形，求的取值范围．
19.本小题分
在锐角中，角、、的对边分别为、、，满足．
求角的大小；
若，求面积的取值范围；
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点若的面积为，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.解：证明：，，
是的中点，，
．
，，，，
，，
，
，
，，三点共线，
，．
，，，，
由知，，即，
，
，
，
是边长为的等边三角形，
，
令，，即，
当且仅当时，等号成立，，
，
，，
．
的取值范围是．
19.解：因为，
所以，
即，
即，
所以，
因为，
所以．
因为是锐角三角形，又，所以，
又，则，
则，
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
的面积为，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以．
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