第23章图形的相似 单元提升卷
一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列四组线段中，成比例的是( )
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝3，b＝6，c＝9，d＝18
C．a＝1，b＝3，c＝2，d＝8 D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6
2．已知a∶b＝4∶5，则下列式子正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(第3题) (第4题) (第5题)
4．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，若E是边AB的中点，∠AEO＝40°，则∠ABD的度数为( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
5．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、CD上的点，∠BEF＝90°，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是( )
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①④
6．如图，小明在A时测得某树的影长为3 m，B时测得该树的影长为2 m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )
A．± m B. m C．6 m D. m
7．如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠A＋∠F的度数为( )
A．45° B．50° C．60° D．75°
(第7题) (第8题)
8．如图，A，B都是双曲线y＝上的点，连结AB并延长交x轴于点C，已知AB＝2BC，△AOC的面积为12，则k的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B的坐标是，则经过第2 025次变换后点B的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
10．如图，在正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连结EF，DE，DF，M是EF的中点，连结MC.设EF与BD和DC分别相交于点G，N，有下列结论：①△FGD∽△BGE；②若BF＝4，则CE＝2 ；③∠CME＝∠CDE；④DG2＝GN·GE，其中正确的是( )
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
11．在比例尺为1∶1 000 000的地图上，测得A、B两城市的距离是3.5 cm，则A、B两城市的实际距离是________km.
12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6，12，15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为________．
13．如图，在测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，那么小玻璃管口径DE是________cm.
(第13题) (第15题) (第16题)
14．在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN.若点A(－1，3)的对应点为M(2，5)，则点B(－3，－1)的对应点N的坐标是________．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)．已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，则点B′的坐标是____________．
16．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，CD＝5，＝，点M，N分别在边AB，BC上，AN⊥DM，则AD的值为________．
三、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－3，5)．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)作出以点A为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到的△A2B2C2(在位似中心同侧)，并直接写出点C2的坐标．
18．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线．求证：AD2＝AC·DC.
19．(10分)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6.
(1)请用尺规作图的方法在AB上找一点D，使得△ACD∽△ABC(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求AD的长．
20．(13分)汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位时(如图①)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．图②是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5 m，车宽AF＝1.8 m，车头FACD可近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，求汽车盲区EB的长度．
21．(13分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm.动点N从点C出发，以1 cm/s的速度沿CB向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连结MN，设移动时间为t s.
(1)当△BMN的面积为cm2时，求t的值；
(2)若以B，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
22．(14分)(1)【问题呈现】如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连结BD，CE.求证：BD＝CE.
(2)【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连结BD，CE，则＝________．
(3)【拓展提升】如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝.连结BD，CE.
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G.若＝，AB＝6，求BF的长．
答案
一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.A 8.D 9.A 10.B
二、11.35 12.11 13.8 14.(0，1) 15.(3，2)或(－3，－2)
16．5
三、17.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．点C2的坐标为(1，－3)．
18．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴BD＝AD，∠C＝∠BDC，∴BC＝BD＝AD.
∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB.
∴＝，∴＝，∴AD2＝AC·DC.
19．解：(1)如图所示，点D即为所求．
(2)∵△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得AD＝.
20．解：如图，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M，则PN＝1.5 m.
∵3DF＝2AF，AF＝1.8 m，∴DF＝1.2 m.
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，∴PM⊥AF.
易知DF＝MN＝1.2 m.
∵PN＝1.5 m，∴PM＝PN－MN＝1.5－1.2＝0.3(m)．
∵AF∥EB，∴△PAF∽△PBE，
∴＝，∴＝，∴EB＝9 m.
21．解：(1)如图，过点M作MD⊥BC于点D.
根据题意得BM＝2t cm，NC＝t cm.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm，
根据勾股定理，得BC＝＝＝6(cm)．
∴BN＝(6－t)cm.
∵∠C＝90°，MD⊥BC，∴∠MDB＝∠ACB＝90°.
∵∠MBD＝∠ABC，∴△BMD∽△BAC，
∴＝，即＝，解得MD＝t cm.
∵S△BMN＝BN·MD，∴×t＝，
解得t1＝t2＝3，
∴当△BMN的面积为 cm2时，t的值为3.
(2)分两种情况讨论：
①当MN⊥BC时，△MBN∽△ABC，
此时＝，即＝，解得t＝；
②当MN⊥AB时，△NBM ∽△ABC，
此时＝，即＝，解得t＝.
综上所述，t的值为或.
22．(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE.
(2)
(3)解：①∵＝＝，∴＝，设AB＝3a，则BC＝4a，易知AC＝5a.
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝ ＝，
∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝.
②由①得△CAE∽△BAD，＝，
∴∠ACE＝∠ABD，AC＝10.又∵∠AGC＝∠BGF，
∴△BGF∽△CGA，∴＝＝，
∴BF＝.
8
