浙江省杭州市2025年八年级下册期末考试模拟训练卷02
满分120分 时间120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图是七巧板中的若干块板拼成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
4．若用反证法证明命题“若a＝0或b＝0，则ab＝0”时，应假设（ ）
A．ab≠0 B．a≠0 C．b≠0 D．a≠b
5．在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝80°，则∠D的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
6．甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是1.72m，身高的方差分别是0.12，0.10，0.15，则身高比较整齐的篮球队是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的一支曲线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．若方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N（点N在点M下方），使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
10．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在CD上且CE＝1，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连结BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在二次根式中，字母x的取值范围是 ．
12．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则另一组数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数是 ．
13．观察下列各式：
，，…
请运用以上的方法化简 ．
14．《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 尺．
15．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 ．
16．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）2；
（2）（）2+2（）（2）．
18．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣12＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（x﹣5）
19．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形．
要求：
（1）在图1中作以AB为一边的平行四边形ABCD，在图2中作以AB为一边的菱形ABEF，在图3中作以AB为一边的矩形ABMN；
（2）图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上．
20．（8分）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃．加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃．玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
（1）求玻璃加热速度（单位：℃/min）；
（2）求能够对玻璃进行加工的时长．
21．（8分）保护水资源从我做起．学校开展“节水护水”知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析，并将成绩（满分：100分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．请根据图中相关信息回答下列问题：
（1）抽样统计的学生竞赛成绩的中位数是 ；众数是 ．
（2）补全不完整的条形统计图．
（3）根据竞赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮复赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是多少？
22．（10分）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
23．（10分）如图，反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A（1，m）和点B（﹣2，﹣2），以AB为边作正方形ABCD（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数y2的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数y1的图象上（点M与点A不重合），当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
24．（12分）如图，在 ABCD中，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，当点F恰好落在边AD上时，求证：四边形ABEF是菱形．
（2）如图2，当点F恰好落在ED上，且时，求的值．
（3）如图3，当∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝4时，连结BD，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为2分、3分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当AF⊥BC时，求BE的长．
②当EF∥BD时，求BE的长．
③当点F恰好落在BD上时，求BE的长．
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浙江省杭州市2025年八年级下册期末考试模拟训练卷02
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图是七巧板中的若干块板拼成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
【分析】根据多边形的内角和公式，求出正八边形的内角和即可．
【解答】解：∵正八边形的内角和为：
（8﹣2）×180°
＝6×180°
＝1080°，
∴正八边形的窗户它的内角和为1080°，
故选：A．
4．若用反证法证明命题“若a＝0或b＝0，则ab＝0”时，应假设（ ）
A．ab≠0 B．a≠0 C．b≠0 D．a≠b
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解答】解：“若a＝0或b＝0，则ab＝0”，第一步应假设：ab≠0．
故选：A．
5．在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝80°，则∠D的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【分析】根据多边形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵∠A与∠C互补，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠B＝80°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣180°﹣80°＝100°．
故选：C．
6．甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是1.72m，身高的方差分别是0.12，0.10，0.15，则身高比较整齐的篮球队是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．据此解答即可．
【解答】解：根据方差的意义可知：
∵，，，
∴，
则身高比较整齐的篮球队是乙，
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的一支曲线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】先根据函数的解析式判断出函数图象在一、三象限，再根据k＝xy＝6解答即可．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝6＞0，
∴函数图象在一、三象限，
∴①、②不符合题意；
③过点（1，2），④过点（2，3），
∵1×2＝3≠6，2×3＝6，
∴③不符合题意；④符合题意．
故选：D．
8．若方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，然后解此方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，
解得c＝4．
故选：C．
9．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N（点N在点M下方），使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
【分析】结合题中所给方案，分情况，依照平行四边形的判定与性质即可得证．
【解答】解：甲方案：如图所示：
在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△BFO和△DEO中，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE＝OF，
∵BN＝DM，
∴ON＝OM，
在四边形EMFN中，由对角线相互平分可知，四边形EMFN为平行四边形；
乙方案：如图所示：
在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△BFO和△DEO中，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE＝OF，
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠EMO＝∠FNO＝90°，则FN∥EM，
在△EMO和△FNO中，
∴△EMO≌△FNO（AAS），
∴ME＝NF，
在四边形EMFN中，由一组对边平行且相等可知，四边形EMFN为平行四边形；
丙方案：如图所示：
在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△BFO和△DEO中，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE＝OF，
∵EM平分∠DEF；FN平分∠BFE；
∴∠FNO＝∠EMO，
在△EMO和△FNO中，
∴△EMO≌△FNO（ASA），
∴MO＝NO，
在四边形EMFN中，由对角线相互平分可知，四边形EMFN为平行四边形；
综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
故选：A．
10．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在CD上且CE＝1，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连结BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，过点P作 PG⊥BC 与G，可证△PGF≌△BCE（ASA），得到PF＝BE，过点E作EM⊥BE，并使EM＝PF，连接PM、BM，则∠BEM＝90°，EM＝BE，可得四边形PFEM是平行四边形，得到PM＝EF，即得BP+EF＝BP+PM≥BM，可知当点B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长，利用勾股定理求出EM、BE，进而可得BM，即可求解．
【解答】解：如图，过点P作PG⊥BC与G，则∠PGB＝∠PGF＝90°，PG＝AB，
∴∠GPF+∠PFG＝90°，
∵PF⊥BE，
∴∠BOF＝90°，
∴∠OBF+∠BFO＝90°，
∴∠GPF＝∠OBF，即∠GPF＝∠CBE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠C＝90°，
∴PG＝BC，∠PGF＝∠C＝90°，
∴△PGF≌△BCE（ASA），
∴PF＝BE，
过点E作EM⊥BE，并使EM＝PF，连接 PM、BM，则∠BEM＝90°，EM＝BE，
∵PF⊥BE，EM⊥BE，
∴PF∥ME，
∵EM＝PF，
∴四边形PFEM是平行四边形，
∴PM＝EF，
∴BP+EF＝BP+PM≥BM，
∴当点B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长，
∵CE＝1，BC＝3，
∴，
∴，
∴BP+EF的最小值为，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在二次根式中，字母x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2
故答案为：x≥2．
12．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则另一组数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数是 20 ．
【分析】根据x1，x2，x3，x4的平均数为5得到4个数据的关系，把这组数据做相同的变化，数据的倍数，后面的加数影响平均数．
【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数为5，
∴数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数为：55＝5×5﹣5＝20，
故答案为：20．
13．观察下列各式：
，，…
请运用以上的方法化简 ．
【分析】将7+2写成（2+5）+2，进而得到（）2+2（）2，即（）2，由算术平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：
．
故答案为：．
14．《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 6 尺．
【分析】设BC＝x尺，则AC＝（x+4）尺，AB＝（x+4﹣2）尺，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程并解答即可．
【解答】解：设BC＝x尺（x＞0），则AC＝（x+4）尺，AB＝（x+4﹣2）尺，则：
x2+（x+4﹣2）2＝（x+4）2．
解得x＝6．
答：门宽BC为6尺．
故答案为：6．
15．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 4.8 ．
【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴AB×PEPF×AD＝12，
∴5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
16．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出，即BC EO＝AB CO，求得ab的值即可．
【解答】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y（x＜0）的图象上，
∴k＝ab，
∵△BCE的面积是2，
∴BC×OE＝2，即BC×OE＝4，
∵AB∥OE，
∴，即BC EO＝AB CO，
∴4＝b×（﹣a），即ab＝﹣4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）2；
（2）（）2+2（）（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后把2化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝43
；
（2）原式＝2﹣21+4（5﹣4）
＝2﹣21+41
＝2+2．
18．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣12＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（x﹣5）
【分析】（1）十字相乘法将左边因式分解，得到两个一元一次方程，进一步求解可得；
（2）移项后提取公因式x﹣5，得到两个一元一次方程，进一步求解可得．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x＝2或x＝﹣6；
（2）∵3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（3x﹣17）＝0，
则x﹣5＝0或3x﹣17＝0，
解得：x＝5或x．
19．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形．
要求：
（1）在图1中作以AB为一边的平行四边形ABCD，在图2中作以AB为一边的菱形ABEF，在图3中作以AB为一边的矩形ABMN；
（2）图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上．
【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定以及题目要求作出图形即可．
【解答】解：图形如图所示：
20．（8分）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃．加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃．玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
（1）求玻璃加热速度（单位：℃/min）；
（2）求能够对玻璃进行加工的时长．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）依据题意可得，（4，600）在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为y，代入点（4，600）得到y与x的函数关系式是y；设玻璃温度上升时的函数表达式为y＝k1x，求得y与x的函数关系式是y＝150x，于是得到结论．
【解答】解：（1）由题意，∵600÷4＝150，
∴玻璃加热速度为150（℃/min）．
（2）由题可得，（4，600）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y，
代入点（4，600），
∴k＝2400．
∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是y．
∴设玻璃温度上升时的函数表达式为y＝k1x，
又（4，600）在正比例函数图象上，
∴600＝4k1．
∴k1＝150．
∴y＝150x．
∴将y＝480代入y＝150x，得x＝3.2，
∴将y＝480代入y，得x＝5，
∴5﹣3.2＝1.8（min）．
∴能够对玻璃进行加工时长为1.8min．
21．（8分）保护水资源从我做起．学校开展“节水护水”知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析，并将成绩（满分：100分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．请根据图中相关信息回答下列问题：
（1）抽样统计的学生竞赛成绩的中位数是 96 ；众数是 98 ．
（2）补全不完整的条形统计图．
（3）根据竞赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮复赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是多少？
【分析】（1）由92分人数及其所占的百分比可得被调查的总人数，依据中位数和众数的定义求解即可；
（2）用总人数乘以94分所占的百分比即可求出94分人数，补全不完整的条形统计图；
（3）总人数乘以样本中98分及以上人数所占比例即可．
【解答】解：（1）该校抽取的学生一共有6÷10%＝60（人），
在这次抽取的学生中，成绩的中位数是96（分）；
98出现的次数最多，
∴众数是98，
故答案为：96，98；
（2）其中得94分的学生有60×20%＝12（人）；
补全不完整的条形统计图：
（3）．
所以估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是810人．
22．（10分）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【分析】（1）由题意可得出答案；
（2）设有x人报名参赛，列出方程，解方程可得出答案；
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得出，解方程可得出答案．
【解答】解：（1）由题意，得5个人需比赛的局数为；
（2）小哲说的有道理，
理由如下：设有x人报名参赛，
由题意得，
整理得 x2﹣x﹣140＝0，解得，不为整数．
∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得，
，
整理得 x2﹣3x+2n﹣138＝0，
解得．
当n＝4 时，x＝13，符合题意，
∴共有13名参赛者报名本次比赛．
23．（10分）如图，反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A（1，m）和点B（﹣2，﹣2），以AB为边作正方形ABCD（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数y2的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数y1的图象上（点M与点A不重合），当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明△BGA≌△CHB（AAS），即可求解；
（3）当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上，进而求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k1＝﹣2×（﹣2）＝1×m，
解得：m＝4，
将点A（1，4）、B的坐标代入函数表达式得：
，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝2x+2；
（2）过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，交故点C和x轴的平行线于点H，
∵∠GBA+∠CBH＝90°，∠CBH+∠HBC＝90°，
∴∠GAB＝∠HBC，
∵∠BGA＝∠CHB＝90°，AB＝CB，
∴△BGA≌△CHB（AAS），
则CH＝GB＝4﹣（﹣2）＝6，BH＝GA＝1﹣（﹣2）＝3，
则点C（4，﹣5）；
（3）当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣3x+7，
由（1）知，反比例函数表达式为：y，
联立上述两个函数表达式得：﹣3x+7，
解得：x＝1（舍去）或，
即点M（，3），
由点C、M的坐标得，CM，
则重叠正方形的边长为CM．
24．（12分）如图，在 ABCD中，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，当点F恰好落在边AD上时，求证：四边形ABEF是菱形．
（2）如图2，当点F恰好落在ED上，且时，求的值．
（3）如图3，当∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝4时，连结BD，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为2分、3分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当AF⊥BC时，求BE的长．
②当EF∥BD时，求BE的长．
③当点F恰好落在BD上时，求BE的长．
【分析】（1）由折叠的性质可得AB＝AF，BE＝EF，∠BAE＝∠FAE，由平行线的性质和角平分线的定义可证BA＝BE，可得结论；
（2）由“AAS”可证ADF≌△DEC，可得EC＝DF，即可求解；
（3）①由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由折叠的性质可得AB＝AF＝2，∠B＝∠F＝45°，即可求解；
②通过证明四边形BEGD为平行四边形，可得BE＝DG，由勾股定理可求EG的长，由平行线的性质和折叠的性质可证GE＝AG＝2，即可求解；
③由面积公式可求AO的长，PF的长，由勾股定理可求BE的长．
【解答】（1）证明：∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F，
∴AB＝AF，BE＝EF，∠BAE＝∠FAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∴AB＝AF＝BE＝EF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C＝180°，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CED，
∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFE，BE＝EF，
∴AB＝AF＝CD，
∵∠AFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴EC＝DF，
∴，
∵m，
∴；
（3）①如图，连接EF，设AF与BC交点N，
∵∠ABC＝45°，AB＝2，AF⊥BC，
∴AN＝BN＝2，
∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F，
∴AB＝AF＝2，∠B＝∠F＝45°，
∴NF＝22，
∵AF⊥BC，∠F＝45°，
∴EN＝NF＝22，
∴BE＝4﹣2；
②解：延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作DK⊥BC于点K，如图，
∵BE∥AD，EF∥BD，
∴四边形BEGD为平行四边形，
∴BE＝DG，BD＝GE，
∴设BE＝DG＝x，
∵DK⊥BC，GH⊥BC，AD∥BC，
∴四边形DKHG为矩形，
∴HK＝DG＝x，GH＝DK．
∴由①知：DK＝GH＝2，CK＝2，
∴EC＝4﹣x，
∴EH＝EC+CK+KH＝4﹣x+2+x＝6，
在Rt△EHG 中，GE2BD，
由轴对称的性质得：∠AEB＝∠AEG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AEG＝∠DAE，
∴GE＝AG＝2，
∴BE＝DG＝AG﹣AD＝24；
③设AE与BD交于点O，过点B作BM⊥直线AD于M，过点A作AN⊥BC于N，过点F作FP⊥AD于P，交BC于Q，
∵AD∥BC，
∴∠MBN＝∠M＝90°＝∠ANB＝∠APQ，
∴四边形ANBM是矩形，四边形APQN是矩形，
∴AM＝BM＝2，AN＝BM＝2＝PQ，
∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F，
∴AE⊥BF，AO＝OF，BO＝OF，BE＝EF，
∵S△ABDAD BMBD AO，
∴4×2＝2AO，
∴AO，
∴BO，
∴BF，
∴DF，
∵S△ABDAD BMBF AOAD PF，
∴84PF，
∴PF，
∴FQ，
∴BQ，
∵EF2＝EQ2+FQ2，
∴BE2＝（BE）2，
∴BE．
