第13章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列各组长度的线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. 3,4,5 B. ,,1 C. ,, D. 13,5,12
2．[［2025长春朝阳区期中］]如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为6，10，则正方形的边长是（ ）
（第2题）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 34
3．如图，网格中每个小正方形的边长为1，则是（ ）
（第3题）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
4．若实数，满足，且，恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ）
A. 5 B. C. 5或 D. 以上都不对
5．[［2025长春汽开区月考］]我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.如图，若，，则的值为（ ）
（第5题）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
6．[［2025吉林丰满区月考］]如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A. B. C. D.
7．如图，在长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（ ）
（第7题）
A. 2 B. C. D. 1
8．如图，在中， ，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
（第8题）
A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6
二、填空题（每题3分，共18分）
9．用反证法证明“若一个三角形没有两个相等的角，则此三角形不是等腰三角形”的第一步是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
10．若直角三角形较短的直角边为3，斜边比较短的直角边多2，则这个三角形的周长为.
11．如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，一只蚂蚁从点爬行到点，设爬行的最短路线长为，则的值是_ _ .
（第11题）
12．如图，在数轴上，点，表示的数分别为0，2，于点，且，连结，在上截取，以为圆心，的长为半径作弧，交线段于点，则点表示的实数是_ _ _ _ _ _ .
（第12题）
13．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，，现需修建一条路从学校到公路，则学校到公路的最短距离为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第13题）
14．如图，是等边三角形内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离_ _ _ _ ，_ _ .
（第14题）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）在中， ，，且，求边的长.
16．（6分）如图，是的中线，，，，求的长.
17．（6分）如图，某船从港口出发沿南偏东 方向航行到达岛，然后沿某方向航行到达岛，最后沿某方向航行回到港口，试说明该船从到是沿哪个方向航行的.
18．（7分）如图所示，在中，，，，点为边上一点，连结，作点关于直线的对称点，使点恰好落在的延长线上.
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 求的面积.
19．[［2025长春汽开区期末］]（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法.
（1） 在图①中找一格点，连结，使线段；
（2） 在图②中画出等腰三角形，点、在格点上，使为顶角且；
（3） 在图③中画出等腰三角形，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是_ _ _ _ _ _ .
20．（7分）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角，当小猫从木板底部爬到顶端时，木板底端向墙外滑动了，木板顶端向下滑动了，求的高度和这块木板的长度.
21．（8分）如图，一条绳子下端系着一艘小船，为垂直于水面的河岸，小明在河岸上拽着绳端向后退，绳端从点平移到点，同时小船从平移到，延长交于点，绳长始终保持不变.
（1） _ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）；
（2） 若米，米，米，求小明向后移动的距离.
22．[［2025长春南关区］]（9分）如图，在中， ，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为秒.
（1） 的长度为；
（2） 当时，求的长；
（3） 若点在的平分线上，求的值.
23．（10分）如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，.
（1）
① 当，，三点在同一直线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长.
（2） 若摆动臂顺时针旋转 ，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图②，此时 ，，求的长.
4（2景控的效监测距离为，最大旋转角度为 .村落、河流如图①所示，河流南岸长.监控布设线距离河流南岸，上任意两个监控之间的距离相等.
【项目方案】
（1） 方案1：如图①所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器的监测范围.以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？
（2） 方案2：如图②所示，为监控器的监测范围，为监控器的监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？
（3） 【项目总结】我认为方案_ _ _ _ 是最优化方案.
第13章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列各组长度的线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. 3,4,5 B. ,,1 C. ,, D. 13,5,12
【答案】C
2．[［2025长春朝阳区期中］]如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为6，10，则正方形的边长是（ ）
（第2题）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 34
【答案】C
3．如图，网格中每个小正方形的边长为1，则是（ ）
（第3题）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
【答案】B
4．若实数，满足，且，恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ）
A. 5 B. C. 5或 D. 以上都不对
【答案】C
5．[［2025长春汽开区月考］]我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.如图，若，，则的值为（ ）
（第5题）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【答案】B
6．[［2025吉林丰满区月考］]如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7．如图，在长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（ ）
（第7题）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】C
8．如图，在中， ，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
（第8题）
A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6
【答案】B
二、填空题（每题3分，共18分）
9．用反证法证明“若一个三角形没有两个相等的角，则此三角形不是等腰三角形”的第一步是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】假设“没有两个相等的角的三角形是等腰三角形”
10．若直角三角形较短的直角边为3，斜边比较短的直角边多2，则这个三角形的周长为.
【答案】12
11．如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，一只蚂蚁从点爬行到点，设爬行的最短路线长为，则的值是_ _ .
（第11题）
【答案】100
12．如图，在数轴上，点，表示的数分别为0，2，于点，且，连结，在上截取，以为圆心，的长为半径作弧，交线段于点，则点表示的实数是_ _ _ _ _ _ .
（第12题）
【答案】
13．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，，现需修建一条路从学校到公路，则学校到公路的最短距离为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】
14．如图，是等边三角形内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离_ _ _ _ ，_ _ .
（第14题）
【答案】6； 150
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）在中， ，，且，求边的长.
解：设，则.
，，解得，.在中， ，.
16．（6分）如图，是的中线，，，，求的长.
解：是的中线，.又,,
,为直角三角形，且，.
17．（6分）如图，某船从港口出发沿南偏东 方向航行到达岛，然后沿某方向航行到达岛，最后沿某方向航行回到港口，试说明该船从到是沿哪个方向航行的.
解：由题意得，，
，
，
.如图，由题易知 ， ， 该船从到是沿南偏西 方向航行的.
18．（7分）如图所示，在中，，，，点为边上一点，连结，作点关于直线的对称点，使点恰好落在的延长线上.
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 求的面积.
【答案】
（1） 解：为直角三角形.理由如下：，，，
，，，
是直角三角形.
（2） 由轴对称的性质易得，，，设，则，由（1）可得 ， ，，即，解得，即，
.
19．[［2025长春汽开区期末］]（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法.
（1） 在图①中找一格点，连结，使线段；
（2） 在图②中画出等腰三角形，点、在格点上，使为顶角且；
（3） 在图③中画出等腰三角形，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
（1） 解：如图①所示，点即为所求.（答案不唯一）
（2） 如图②所示，即为所求.（答案不唯一）
（3） ；如图③所示，
【解析】
（3） 即为所求
20．（7分）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角，当小猫从木板底部爬到顶端时，木板底端向墙外滑动了，木板顶端向下滑动了，求的高度和这块木板的长度.
解：根据题意，得，，.设.
在和中，
易知 ，，.
，，即，解得.
的高度为，这块木板的长度为.
21．（8分）如图，一条绳子下端系着一艘小船，为垂直于水面的河岸，小明在河岸上拽着绳端向后退，绳端从点平移到点，同时小船从平移到，延长交于点，绳长始终保持不变.
（1） _ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）；
（2） 若米，米，米，求小明向后移动的距离.
【答案】（1）
（2） 解：在中，由勾股定理得
（米）.
米，米.
在中，由勾股定理得（米），
由（1）知，
米，即小明向后移动了米.
22．[［2025长春南关区］]（9分）如图，在中， ，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为秒.
（1） 的长度为；
（2） 当时，求的长；
（3） 若点在的平分线上，求的值.
【答案】（1） 12
（2） 解：如图①所示，当时，由题意得.在中，.
（3） 当点在的平分线上时，过点作于，
如图②所示，则 .
平分，
，
.
又，，，
.
由题意得，
.
在中，，
即，
解得， 点在的平分线上时，.
23．（10分）如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，.
（1）
① 当，，三点在同一直线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长.
（2） 若摆动臂顺时针旋转 ，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图②，此时 ，，求的长.
【答案】① 或5
② 当为直角时，，
；
当为直角时，，.
综上，的长为或.
（2） 解：连结，由题意得 ，， ，.
又 ， ，
.
，
，即.
又，，
，
.
24．（12分）【项目背景】监控器的有效监测距离为，最大旋转角度为 .村落、河流如图①所示，河流南岸长.监控布设线距离河流南岸，上任意两个监控之间的距离相等.
【项目方案】
（1） 方案1：如图①所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器的监测范围.以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？
（2） 方案2：如图②所示，为监控器的监测范围，为监控器的监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？
（3） 【项目总结】我认为方案_ _ _ _ 是最优化方案.
【答案】（1） 解：在中， 河流的长度是，而， 至少要布设13个监控.
（2） 过作于点，则.在中，，设，则，在中，，在中，，，解得，则，符合题意，，
至少需要布设8个监控器.
（3） 2
第
