2024-2025 学年广东省汕头某校高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 0}，集合 = {0,1,2,3}，集合 = { | 1 < < 1}，则( ∩ ) ∪ =( )
A. ( 1,1] B. ( 1,1] ∪ {2} C. ( 1,2] D. {0}
2 3 4 .已知角 的终边上有一点 ( 5 , 5 )，则 cos( 2 + ) =( )
A. 45 B.
4
5 C.
3 D. 35 5
3.已知各项均为正数的等比数列{ }的前 项和为 ， 2 4 = 9，9 4 = 10 2，则 2 + 4的值为( )
A. 30 B. 10 C. 9 D. 6
4.已知函数 ( )是定义域为 的偶函数，在区间(0, + ∞)上单调递增，且对任意 1， 2，均有 ( 1 2) =
( 1) ( 2)成立，则下列函数中符合条件的是( )
A. = ln| | B. = 3 C. = 2| | D. = | |
1(当取到白球时)
5.从装有 3 个白球和 7 个红球的口袋中任取 1 个球，用 表示是否取到白球，即 = ，则
0(当取到红球时)
的方差 ( ) =( )
A. 21 B. 7 C. 1 3100 50 10 D. 10
2 2
6.已知 1 , 0 ， , 0 :
2 分别是双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点，若过 1的直线与圆
1 2 + 22 =
2相切，与 在第一象限交于点 ，且 2 ⊥ 轴，则 的离心率为( )
A. 2 5 B. 3 C. 52 D. 5
7.若二项式(2 + )10按(2 + )10 = 0 + 21(1 ) + 2(1 ) + + 10(1 )10的方式展开，则展开式中
8的值为( )
A. 90 B. 180 C. 360 D. 405
8 +1.物理学家本 福特提出的定律：在 进制的大量随机数据中，以 开头的数出现的概率为 ( ) = log .
log 81
应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若80 = 10 ( ) =
4
1+log 5 ( ∈
)，则
2
的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.甲箱中有 3 个红球和 2 个白球，乙箱中有 2 个红球和 2 个白球(两箱中的球除颜色外，没有其他区别).先
从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 1和 2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机
取出两球，用事件 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则( )
A. ( 3 11 9 21) = 5 B. ( ) = 50 C. ( | 1) = 50 D. ( 2| ) = 11
10 .已知函数， = sin + > 0, > 0, < 2 的部分图象如图所示，则( )
A. 2 = 3
B.将 = 的图象向右平移3个单位，得到 = sin 的图象
C. 1, 2 ∈ ，都有 1 2 < 4
D. = 2 , 0 ∈ 1, 3若方程 在 2 上有两个不相等的实数根，则实数 2
11.如图，八面体 的每一个面都是边长为 4 的正三角形，且顶点 ， ， ， 在同一个平面内.若点 在四
边形 内(包含边界)运动， 为 的中点，则( )
A. 当 为 的中点时，异面直线 与 所成角为3
B.当 / /平面 时，点 的轨迹长度为 2 2
C.当 ⊥ 时，点 到 的距离可能为 3
D. 10 存在一个体积为 3 的圆柱体可整体放入 内
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.二项式( + 2 )6 的展开式中的常数项为 ．
13.甲、乙、丙、丁四名专家分别前往 ， ， 三所中学开展科学知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，
每个专家只能去一所学校，且甲必须安排到 中学，则不同的安排方式有 种. (填数字)
14.已知点 为直线 3 = 0 上的动点，过 作圆 : 2 + 2 = 3 的两条切线，切点分别为 ， ，若点
为圆 : ( + 2)2 + ( 3)2 = 4 上的动点，则点 到直线 的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知数列 为等差数列，数列 为正项等比数列，且满足 1 = 1 = 1， 2 = 2 + 1， 5 = 4 + 1．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 1 = + ，求数列 的前 2 项和 2 ． +2
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 为菱形， = 1．
(1)证明： ⊥ 1 ．
(2)若 ⊥ 1，∠ 1 =
3， = = 2，求平面 1 与平面 1 1 1夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln 2．
(1)讨论 ( )的最值；
(2)若函数 ( ) = e + 4 ( ) 2 有 2 个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了
如下选拔方案：设计 6 道题进行测试，若这 6 道题中，甲能正确解答其中的 4 道，乙能正确解答每个题目
2
的概率均为3，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这 6 道测试题中分
别随机抽取 3 题进行解答．
(1)求甲、乙共答对 2 道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量 ，求 的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，点 (1,0)为椭圆的右焦点，过点 且斜率不为 0 的直线 1交椭圆于 ，
两点，当 1与 轴垂直时，| | = 3．
(1)求椭圆 的标准方程．
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(2) 1， 2分别为椭圆的左、右顶点，直线 1 ， 2 分别与直线 2： = 1 交于 ， 两点，证明：四边形 2
为菱形．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.240
13.12
14.7
15.【详解】(1)设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ( > 0)，
1 + = + 1
则 1 + 4 = 3 + 1，解得： = = 2，
所以数列 的通项公式为 = 1 + ( 1) = 1 + 2( 1) = 2 1；
数列 的通项公式 = 1 = 1 2 1 1 = 2 1．
(2) = 1 + = 1 + 2 1 1 1 1 1 +2 (2 1)(2 +3)
= 4 2 1 2 +3 + 2 ，
数列 的前 2 项和 2 = 1 + 2 + 3 + …… + 2 1 + 2 ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 4 [ 1 5 + 3 7 + 5 9 + …… + 4 3 4 + 1 + 4 1 4 + 3
+ 20 + 21 + 22 + …… + 22 2 + 22 1 ．
1 1 1 1 1 22
= 4 1 + 3 4 + 1 4 + 3 + 1 2
1 4 8 + 4 1 2 + 1= 4 3 (4 + 1)(4 + 3) + 4 1 = 3 (4 + 1)(4 + 3) + 4 1
2 2 + 1
= 3 (4 + 1)(4 + 3) + 4
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16.(1)证明：连接 1，交 1 于点 ，连接 ，
因为侧面 1 1 为菱形，
所以 1 ⊥ 1，且 为 1 和 1的中点，
因为 = 1，
所以 ⊥ 1 ，
又 ∩ 1 = ， ， 1 平面
所以 1 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
故 AB⊥ 1 ；
(2)因为 ⊥ 1， 为 1 的中点，
所以 = ．
又因为 = ，
所以△ ≌△ ，
故 ⊥ ，
从而 ， ， 1两两互相垂直，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 ．
因为∠ 1 = 60°，
所以△ 1为等边三角形．
又 = = 2，则 0,0,1 , 3, 0,0 , 1 0,1,0 , 0, 1,0 ，
因此 1 = 0,1, 1 , 1 1 = = 3, 0, 1 , 1 1 = = 3, 1,0 ，
→
设 = , , 是平面 1 1
· = 0
1的法向量，则
1 1 ,
· 1 1 = 0
3 = 0
即 ，
3 = 0
→
所以可取 = 1, 3, 3 ，
取平面 1 的一个法向量 = 1,0,0 ，
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则 cos < , >= · = 1 = 7 7×1 7 ，
7
所以平面 1 与平面 1 1 1夹角的余弦值为 7 .
2 1
17. × 2 ln 【详解】(1) 1 2ln 由题知 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 4 = 3 ，
1 1
∴当 0 < < e2时， ′( ) > 0，当 > e2时， ′( ) < 0，
1 1
∴ ( )在区间 0, e2 上单调递增，在区间 e2, + ∞ 上单调递减，
当 趋近于 0 时， ( )趋近于 ∞，当 趋近于+∞时， ( )趋近于 0，
1 1
∴ = e ( ) e = 1当 2时， 取得最大值 2 2e，无最小值．
(2)解法一
由题知 ( ) = e + 2ln 2 有 2 个零点，
∴方程e + 2ln 2 = 0 e，即 = ln + + 有 2 个解．
e
设 ( ) = ( > 0)， ( ) = ln + + ，
则函数 ( )与 ( )的图象恰有 2 个交点．
∵ ′( ) = e ( 1) 2 ，∴当 0 < < 1 时，
′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
∴ ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，∴ ( )min = (1) = e，
当 趋近于 0 时， ( )趋近于+∞，当 趋近于+∞时， ( )趋近于+∞，
∵ ′( ) = ln × 1 + 1 = ln ，∴当 0 < < 1 时，
′( ) > 0，当 > 1 时， ′( ) < 0，
∴ ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，∴ ( )max = (1) = 1 + ，
当 趋近于 0 时， ( )趋近于 ，当 趋近于+∞时， ( )趋近于 ∞．
作出函数 ( )与 ( )的大致图象，如图所示．
结合函数图象知，要使函数 ( )与 ( )的图象恰有 2 个交点，
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则 ( )max = 1 + > ( )min = e，∴ > e 1，
即实数 的取值范围为 e 1, + ∞ ．
解法二
由题知 ( ) = e + 2ln 2 有 2 个零点，
∴方程e + 2ln 2 = 0，即 = e + ln 恰有 2 个解．
e
设 ( ) = + ln ，则函数 ( )的图象与直线 = 恰有 2 个交点．
′( ) = e
( 1)
2 + ln ，设 ( ) =
e ( 1)
2 + ln ，
2
′( ) = e 2e
( 1) 2
则 3 +
1 = e ( 1) +1 1 3 + > 0，
∴函数 ( )即 ′( )单调递增，∵ ′(1) = 0，∴当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，∴ ( )min = (1) = e 1，
当 趋近于 0 时， ( )趋近于+∞，当 趋近于+∞时， ( )趋近于+∞．
如图，作出直线 = 与 ( )的大致图象，
结合函数图象知，要使直线 = 与 ( )的图象恰有 2 个交点，则 > e 1，
故实数 的取值范围为 e 1, + ∞ ．
18.解：(1)由题意得甲、乙两名学生共答对 2 道题目的概率：
=
2
4
1 0
2 × 0 × 2 × 1
3 1 2 2
3 3 3 3 +
4 2
3 × 13 ×
2 1 1
6 6 3
× 3 = 15；
(2)设学生甲答对的题数为 ，则 的所有可能取值为 1，2，3．
1 2 = 1 = 4 2 = 13 ， 6 5
2 1
= 2 = 4 23 =
3
5， 6
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3
= 3 = 4 = 13 5， 6
的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
1 3 1
所以 = 1 × 5+ 2 × 5 + 3 × 5 = 2，
= 1 2 3 2 1 2 25 1 2 + 5 2 2 + 5 3 2 = 5；
(3)设学生乙答对的题数为 ，
则 2的所有可能取值为 0，1，2，3.则 3, 3 ，
所以 = 3 × 23 = 2， = 3 ×
2
3 × 1
2 = 23 3，
因为 = ， < ，
即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
19.(1)解：由题可知 = 1，当 1与 轴垂直时，| | = 3，
3当 1与 轴垂直时，不妨设 的坐标为(1, 2 )，
2 = 2 + 1,
所以 91 解得 = 2， = 3．
2 +
4
2 = 1,
2 2
所以椭圆 的标准方程为 ；
4 + 3 = 1
(2)证明：设 1的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1,
联立得 2 2 消去 ，得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0．
4 + 3 = 1,
6 9
易知△> 0 恒成立，由根与系数的关系得 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4．
由直线 1 11 的斜率为 1 = +2，得直线 1 的方程为 = ( + 2)．1 1+2
= 1 = 3 当 时， 1 1+2．
由直线 22 的斜率为 2 = ，得直线 的方程为 ．2 2 2
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当 = 1 时， =
2
2 2．
若四边形 2 为菱形，则对角线相互垂直且平分，下证 + = 0．
+ = 3 1 + 2 = 3 1( 2 2) 2( 1+2) = 2 1 因为 2 3( 1+ 2) 1+2 ，2 2 ( 1+2)( 2 2) ( 1+3)( 2 1)
代入得 2 1 2 3( 1 + 2) = 2
9 6 18 +18
3 2+4 3( 3 2+4 ) = 3 2+4 = 0，
所以 = ，即 与 2相互垂直平分，
所以四边形 2 为菱形．
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