2024-2025学年广东省深圳市深圳实验学校高中园、惠州市惠东县惠东高级中学高一下学期第二阶段联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简所得的结果是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则．
A. B. C. D.
3.已知复数满足是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
4.若三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定
5.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，则该阳马的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距单位：米的，两个观测点，在点测得超然楼在北偏东的点处，，在同一水平面上，在点测得超然楼在北偏西，楼顶的仰角为，则超然楼的高度单位：米为( )
A. B. C. D.
8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C. 与可以作为一组基底
D. 向量在向量上的投影向量为
10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列选项正确的是( )
A. 该圆锥体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
11.八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知分别为三个内角的对边，且，则 ．
13.已知单位向量满足，则与的夹角为 ．
14.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面的夹角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足．
求向量的数量积；
求向量夹角的余弦值；
求的值．
16.本小题分
如图，三棱柱中，平面，，，．
求证：平面；
若异面直线与所成的角为，求三棱柱的体积．
17.本小题分
在锐角中，角所对的边分别为，且的面积．
求角；
若，求的取值范围．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点．
求证：平面．
求侧面与底面所成二面角的余弦值．
19.本小题分
法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．
求；
若的面积为，求的面积的最大值．
参考答案
1.
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5.
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8.
9.
10.
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12.
13.
14.
15.由题设，．
，
所以．
，
．
16.平面，平面，有．
，，，有，由勾股定理得．
，平面，平面
由，异面直线与所成的角即为，，
又平面，平面，，则，得，
，所以三棱柱的体积．
17.，．
，，又，．
，
．
，，
即的取值范围为．
18.在等边中，因为为的中点，所以，
在正方形中，，
又因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为，平面，
所以平面．
取的中点，连接．
则，又正方形中，，所以，
在等边中，因为为的中点，所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以．
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角．
设，则，
所以．
19.在中，因为，
所以，
根据正弦定理可得，
即，
因为，，
可得，由，可得；
如图，连接，，
则，
正面积，
，而，则，
中，由余弦定理得：，
即，则，
由基本不等式知，，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，
所以的面积的最大值为
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