2024-2025学年甘肃省多校联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则( )
A. B. C. D.
4.对任意的，则( )
A. B. C. D.
5.下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为( )
A. B.
C. D.
6.已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为( )
A. B. C. D.
7.在函数的图象与轴围成的封闭图形内作一内接矩形，则可作矩形的最大面积为( )
A. B. C. D.
8.在空间中，若向量，，共面，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为，顾客小张中奖的概率为，则( )
A. 小王和小张都中奖的概率为
B. 小王和小张都没有中奖的概率为
C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为
D. 小王和小张中至多有一个人中奖的概率为
10.下列函数在定义域内不是单调函数的是( )
A. B. C. D.
11.已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且，则 ．
13.已知，则不等式的解集是 ．
14.有台车床加工同一类型的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，现从加工
出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象过点，且．
求，的值；
求曲线在点处的切线方程．
16.本小题分
如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数在区间上的值域为．
求实数、的值；
若函数有且仅有两个极值点，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，平面平面，二面角为，已知．
求的长；
求锐二面角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线的交点的横坐标为，证明：．
参考答案
1.
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15.解：因为函数 的图象过点 ，
所以 ．
又 ， ，
所以 ，
由解得： ， ．
由知 ，
又因为 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ．
16.解：连接，相交于点，连接，相交于点，
由，可得为等边三角形，
又由为的中点，可得，，，
因为，，
所以，
又因为平面，所以平面，
由上知，，两两垂直，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
有，，，，，，，
设平面的法向量为，
由，，
有
取，，，可得平面的一个法向量为，
由，
有，，，
有，
故直线与平面所成角的正弦值为；
由，有，
可得点到平面的距离为．
17.解：，
令可得或，可得函数的增区间为，，减区间为
可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，，， ，
又由，可得，可得，有，
又由，
可得，有，
可化为 ，
解方程可得，，
故实数，的值都为．
由得，有
若函数有且仅有两个极值点，
必有，可得．
18.解：如图，作，垂足为，连接，
因为平面平面，
平面平面，且平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为平面，所以，
又，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以二面角的平面角为，
即，
因为，
所以，所以，
即，
所以；
如图，以为原点，所在直线为轴，过作垂直于平面，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则
取，则，
所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则
取，则，
所以为平面的一个法向量，
设锐二面角为，
所以．
19.解：函数，定义域为
，
当时，，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间；
当，令，解得，，解得，此时函数的减区间为，增区间；
令，由，有，可得，
曲线在处的切线方程为，
曲线在处的切线方程为，
联立两条切线方程，消去，有，
有，
有，
有，
有，即，
可得，代入，
有，
要证，即证，只需证，即证，
令，有，
可知函数单调递增，由，可知，，
故．
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