山西省晋中市寿阳县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”、“中国七巧板”、“中国的青朱出入图”、“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．食盐是人们膳食中不可缺少的调味品，但摄入过多是引起高血压的重要原因．中国营养学会建议正常成人每日食盐摄入量不超过6克，则正常成人每日摄入食盐的质量x（g）应满足的不等关系为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．如图，某学习小组为测量学校与河对岸公园之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与公园之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
7．如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（ ）
A．户最长 B．户最长 C．户最长 D．三户一样长
8．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
9．用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
10．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
二、填空题
11．已知点与点关于原点对称，则
12．若关于的不等式组的解集是，则的值可以是 （写出一个即可）．
13．小明购买了一本书，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲同学说：“至少20元”，乙同学说：“最多15元”，小明说：“你们都说错了”，则这本书的价格x（元）所在的范围为 ．
14．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长为 ．
15．如图，中，，，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当时，则 ．
三、解答题
16．解下列不等式（组）
(1)
(2)
17．已知不等式的负整数解是方程的解，求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点．
(1)请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的，并写出点的坐标；
(2)请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得最小，并写出点P的坐标．
19．4月26日我校将迎来一年一度的科技节，科技节是我校为学生搭建科技创新平台，展现实中师生科技创新形象及科学素养的重大节日．数学组将组织开展“数学知识”竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送．如果皓皓想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？
20．如图，在中，过点作，且，连接，．
(1)用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：过点作，垂足为点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)小明认为，在（1）所作的图形中，若，则点为的中点．
请将小明的证明过程补充完整：
，，
，（①___________，）（填推理依据的一个数学定理）
，
②___________，
，
，（③___________，）（填推理依据的一个数学定理）
在和中，
，
()，
，即点为的中点．
21．项目化学习
项目主题：优化运输方案
项目背景：物流业是一个新兴产业，该产业是为保证社会生产和社会生活的供给，由运输业，仓储业，通信业等多种行业整合的结果，物流业的速度和精准就集中体现在快递业中．近年来，物流公司使某企业节省了货运成本．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展项目学习．
驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系
研究步骤：
（1）收集某公司每月运往各地商品的信息；
（2）对收集的信息，用适当的方法描述；
（3）信息分析，形成结论．
数据信息：
信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的件数是运往A地件数的2倍；
信息2，各地的运费如下表所示：
运送地点 A地 B地 C地
运费（元/件） 40 20 30
问题解决：
(1)设运往A地的商品x（件），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式；
(2)若某月计划总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为多少件？
22．综合应用
如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与一次函数的图象于点C．
(1)A点的坐标是 ，B点的坐标是 ．
(2)若不等式的解集是．
①连接，求的面积；
②若一次函数的图象与x轴交于点D，当是以为腰的等腰三角形时，求直线的表达式．
23．已知是等边三角形，于点D，点E是直线上的动点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，．
(1)问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是 ；
(2)结论证明：如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展延伸：当点E在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数．
《山西省晋中市寿阳县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题》参考答案
1．D
解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．D
解：由题意得
；
故选：D．
3．D
解：，
系数化为1得，，
在数轴上表示为：
故选：D．
4．A
解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
5．C
解：，，，
，
(km)．
故选：C．
6．C
解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点．
故选：C．
7．D
解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，
∴将a向右、向上平移即可得到b、c，
∵图形的平移是全等的，即不改变图形大小和形状，
∴三户一样长．
故选：D．
8．B
由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
9．C
解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角．
故选：C．
10．B
解：∵，
∴．
∵将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
11．
解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故答案为：．
12．2（答案不唯一）
解：由题意可知：关于的不等式组的解集是，
∴
则的值可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）
13．
解：如果甲同学说的对，则：，
他说错了，则，
如果乙同学说的对，则：，
他说错了，则，
∴综上 ，
即．
故答案为：．
14．
解：∵△ABC是等腰三角形，AD是的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，则∠B=30°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝11，∠B＝30°，
∴AD＝，
∴DF＝，
故答案为：．
15．
解：如图，取的中点，连接，，
在中，，，，
，，
点是的中点，
，
是等边三角形，
，
由旋转可知，，，
，
，
，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理可得，，
解得（负值舍去）．
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：去分母得，．
去括号得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
（2）解：，
解①得，，
解②得，，
不等式组的解集为．
17．
解：
解：去分母得：
移项合并同类项得：
系数化为1得：
为负整数，
的值取
把代入
得
解之得：
答：的值为．
18．(1)图见解析，点的坐标为
(2)点的坐标为，图见解析
(3)点P的坐标为，图见解析
（1）解：如图，即为所求，点的坐标为，
（2）如图，即为所求，点的坐标为，
（3）如图，点P即为所求，点P的坐标为
19．皓皓至少答对22道题
解：设皓皓答对x道题，
根据题意得：，
解这个不等式得，
为正整数，
的最小整数解为22．
答：皓皓至少答对22道题
20．(1)见详解
(2)①三线合一，②，③两直线平行，内错角相等；④
（1）解：如图为所求作．
（2）解：如图，
证明：，，
，（①三线合一）
，
②，
，
，
（③两直线平行，内错角相等．）
在和中，
，
()，
，
即点为的中点．
21．(1)
(2)总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为600件
（1）解：由运往A地的商品x（件），可知运往C地的商品2x件，运往B地的商品为件，
，
即：，
y与x的函数关系式为；
（2）解：，
．
解得．
总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为600件．
22．(1)，
(2)①；②或或
（1）∵一次函数的图象与轴交于点B，
∴令时，，
∴，
∴令时，，解得：．
∴，
故答案为：，．
（2）①由不等式的解集是，
可得当时，函数的函数值大于函数的函数值；
∴点的横坐标为1，
把点的横坐标为1代入得，
点的坐标为，
∴的面积．
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵一次函数的图象经过点与，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∵一次函数的图象经过点与，
∴解得，
∴一次函数的表达式为；
一次函数的图象经过点与，
∴解得，
∴一次函数的表达式为；
综上所述直线表达式为或或．
23．(1)
(2)，理由见解析
(3)或
（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵将绕点B顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：结论：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵将绕点B顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况：
①点E在点A的下方时，如图：
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
②点E在和点A的上方时，如图：
同理，
综上，或．
