新九年级暑期素养测评卷
测评时间：90分钟 满分：100分 考生姓名：
一、选择题（8×2=16）
1．一元二次方程，用配方法变形可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法将原方程变形即可．
【详解】解：
配方得：，
即，
故选：C
2．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．
【详解】解：∵，，
∴．故A正确；
∵，，
∴．故B正确；
∵，，
∴．故D正确；
没有条件可证，故C错误．
故选：C
3．如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【详解】解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
4．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
即，
∴
，
故选：A．
5．如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（ ）
A．2米 B．6米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为，而不是，即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：在中，，
∴，
∴，
故选：B．
6．如图，点，，在上，，过点作的切线交的延长线于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理的应用，解题关键是掌握圆周角定理及切线性质求得及的值，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，得到，再根据“圆的切线垂直于过切点的半径”，可证得，再利用三角形内角和定理，即可求得的值．
【详解】解：，，在上，，
，
过点作的切线交的延长线于点，
，
，
，
故选：D．
7．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：在中，令，则，
令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
∴，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
，（不合题意舍去），
，
，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
8．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可．
【详解】解：如图，连接，
的内心为M，
，，
，
∵，
∴，
，
又，为公共边，
而，
，
，
所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；
过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，，
，
，
，
∵，
，
弧的长，
所以内心M所经过的路径长为．
故选：B．
二、填空题（8×2=16分）
9．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵与位似，点O为位似中心，
∴；
故答案为：．
10．如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是 ．
【答案】216
【分析】本题主要考查了圆锥的计算及解直角三角形．根据的正切，设出及的长，再根据圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等即可解决问题．
【详解】解：在中，
，
则令，，
．
令圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为，
则，
解得，
所以圆锥侧面展开扇形的圆心角是．
故答案为：216．
11．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用．
由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可．
【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺，
门为矩形，
有，
即．
故答案为：．
12．若关于x的方程有两个不相等的整数根，则正整数m的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握含参因式分解的方法；根据因式分解，求出方程的两根，再根据是整数，且求解即可；
【详解】关于x的方程有两个不相等的整数根，
，，
解得，
m是正整数，方程有两个不相等的整数根，
是整数，且，
，
故答案为：1；
13．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
【答案】/90度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案．
【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为 m．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，在中，求得 ，在中，求得，由列方程求解即可．
【详解】解：设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案为：．
15．如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
， ，，，
解得：，
正方形的面积为
故答案为：
16．将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正多边形和圆、翻折变换、勾股定理，由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的，过点G作于点R，过点O作于点T，然后根据三角形面积公式及勾股定理可得方程，通过解方程可得答案．
【详解】解：由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的．
过点G作于点R，过点O作于点T，
∵
∴
∴
由勾股定理得，
又正六边形的边长为1，
∴
∴
∴，
∴，
，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴；
∴，，
∴，，
∴，即，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：；．
三、解答题（共64分）
17．计算：；
【答案】2
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊三角形函数值，负整数指数幂，绝对值的运算，根据负整数指数幂，绝对值的运算，特殊三角形函数值，计算各项，再算加减法即可．
【详解】解：
．
18．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）原方程系数化为1后，利用直接开平方法求解即可；
（4）原方程化简后，利用十字相乘法因式分解求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：原方程化简为，
∴，
解得，．
19．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为网格线的交点．
(1)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为；
(2)把向上平移个单位长度后得到，请画出；
(3)的面积为______．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析；
(3)．
【分析】（）根据画位似图形的一般步骤画图即可；
（）将的每一个顶点都向上平移个单位，再连接各顶点即可；
（）利用割补法求解即可；
本题考查了位似，平移作图，解题的关键是熟练掌握位似图形的画法，平移图形的画法．
【详解】（1）如图，
∴如图所示，就是所求作的三角形；
（2）如图，的每一个顶点都向上平移个单位，再连接各顶点，
∴如图所示，就是所求作的三角形；
（3）解：的面积=，
故答案为：．
20．如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出是解题的关键．
（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，等量代换得出，结合平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质得出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
∵是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
∵是的中点，
，
，
．
21．四边形内接于是延长线上一点，．
(1)求证：是的切线：
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长交于点，连接，则，由，可得，根据直径所对的圆周角是直角可推出，进而得到，即可求解；
（2）由（1）可得，结合，可得，，，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，则．
是的直径，
，
，
，
即，
又是半径
是的切线；
（2）解：
．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理、切线性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆周角定理、切线性质是解题的关键．
22．如图：已知直线，及同侧两点．用直尺与圆规作图．
(1)在图（1）中作出点，使（保留作图痕迹）；
(2)在图（2）中作出点，使（保留作图痕迹，简要说明画法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点M为圆心，以适当长度为半径画弧，交于C，D两点，然后分别以点C，D为圆心，以长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接交于点P，即为所求；
（2）首先作出点N关于的对称点E，连接，作出的垂直平分线，连接两弧的交点交于点F，以点E为圆心为半径画圆，以点F为圆心，以为半径画圆，两圆交于点G，连接交于点Q，即为所求．
【详解】（1）如图所示，点P即为所求；
∵点Q和点M关于对称
∴
∵
∴；
（2）如图所示，点Q即为所求；
∵点N和点E关于对称
∴
∵是直径
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵
∴．
【点睛】此题考查了复杂作图，切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
23．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：
方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长．
方案二：测量：距离，仰角，仰角．
请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，）
【答案】塔的高度为52米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数定义和相似三角形的判定方法．
按照方案一，证明，得出，代入数据求出结果即可；
按照方案二，根据三角函数定义得出，，根据，得出，求出即可．
【详解】（方案一）解：如图，
由题意可知，，
，
，
，
即，
解得，
答：塔的高度为52米；
（方案二）解：如图，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
即．
米
答：塔的高度为52.5米．
24．端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒进货价为28元/盒，B种礼盒进货价为22元/盒．（注：利润＝销售价－进货价）
(1)该超市第一次用7200元购进A、B两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量；
(2)端午节临近时，该超市发现B种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元/盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元？
【答案】(1)礼盒购进100盒，种礼盒购进200盒
(2)28元
【分析】本题考查了一元一次方程以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．
（1）设礼盒购进盒，则种礼盒购进（300－）盒，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设应降价m元，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）设礼盒购进盒，则种礼盒购进盒，
依题意得：，
解得：，
．
答：礼盒购进100盒，种礼盒购进200盒；
（2）设应降价m元，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
要尽快减少库存，
应取6，
．
答：B种礼盒销售价定为每盒28元时，才能使平均每天销售利润为240元．
25．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若在上任取一点，将点绕点T逆时针旋转得到点Q，称点Q为点P关于的逆直点．
(1)的半径为1，
①若点的坐标为，在点，，中，点P关于的逆直点是____________；
②点在直线上运动，若上存在点P关于的逆直点，求点的横坐标的取值范围；
(2)的半径为r，为平面内一条线段，且，点为线段上一动点，是点P关于的逆直点，记d为点Q的纵坐标最大值与最小值的差，当线段在平面上运动时，直接写出d的取值范围．
【答案】(1)①，；②或
(2)
【分析】（1）①取点，由、是等腰直角三角形，得到，，进而得到，根据相似三角形的判定定理得到∴，，结合，得到，进而得到结论，到距离为的点，是点P关于的逆直点，根据点到点的距离公式依次计算，即可求解，②设，取点，由，在中，根据三角形三边关系得到，即：，解不等式，即可求解，
（2）设点绕点T逆时针旋转得到点Q，点P到达点D时点Q到达点，点P到达点E时点Q到达点，连接，，，，，，由旋转性质证明，得到，，同理，，，推出点Q在直线上运动，线段，当轴时，，当轴时， ，即可求解．
【详解】（1）①取点，连接、、、，
∵、是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴到距离为的点，是点P关于的逆直点，
，，，
∴，是点P关于的逆直点，
故答案为：，，
②设，取点，连接、、、，
同理①可得：、是等腰直角三角形，，，
在中，，即：，
∴，解得：或，
故答案为：①，；②或，
（2）如图，设点绕点T逆时针旋转得到点Q，点P到达点D时点Q到达点，点P到达点E时点Q到达点，连接，，，，，，
由旋转知，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
同理，，，
∴点Q在直线上运动，线段，
当轴时，，
当轴时，，，
∴d的取值范围为．
【点睛】此题主要考查了新定义——逆直点．熟练掌握逆直点定义，旋转性质，等腰直角三角形性质，两点间距离，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
()
()
()新九年级暑期素养测评卷
测评时间：90分钟 满分：100分 考生姓名：
一、选择题（8×2=16）
1．一元二次方程，用配方法变形可得（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B． C． D．
3．如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2025
5．如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（ ）
A．2米 B．6米 C．米 D．米
6．如图，点，，在上，，过点作的切线交的延长线于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（8×2=16分）
9．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ．
10．如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是 ．
11．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ．
12．若关于x的方程有两个不相等的整数根，则正整数m的值是 ．
13．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
14．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为 m．（结果保留根号）
15．如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ．
16．将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．
三、解答题（共64分）
17．计算：；
18．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为网格线的交点．
(1)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为；
(2)把向上平移个单位长度后得到，请画出；
(3)的面积为______．
20．如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
21．四边形内接于是延长线上一点，．
(1)求证：是的切线：
(2)若，求图中阴影部分的面积．
22．如图：已知直线，及同侧两点．用直尺与圆规作图．
(1)在图（1）中作出点，使（保留作图痕迹）；
(2)在图（2）中作出点，使（保留作图痕迹，简要说明画法）
23．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：
方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长．
方案二：测量：距离，仰角，仰角．
请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，）
24．端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒进货价为28元/盒，B种礼盒进货价为22元/盒．（注：利润＝销售价－进货价）
(1)该超市第一次用7200元购进A、B两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量；
(2)端午节临近时，该超市发现B种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元/盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元？
25．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若在上任取一点，将点绕点T逆时针旋转得到点Q，称点Q为点P关于的逆直点．
(1)的半径为1，
①若点的坐标为，在点，，中，点P关于的逆直点是____________；
②点在直线上运动，若上存在点P关于的逆直点，求点的横坐标的取值范围；
(2)的半径为r，为平面内一条线段，且，点为线段上一动点，是点P关于的逆直点，记d为点Q的纵坐标最大值与最小值的差，当线段在平面上运动时，直接写出d的取值范围．
()
()
()
