1.2 椭圆的简单几何性质
课时目标
1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c的几何意义.
2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
1.椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 ________________ ________________
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点
顶点 ________________ ________________
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 长轴长|A1A2|＝________，短轴长|B1B2|＝________
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝____
离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即____＝e. (2)性质：离心率e的范围是__________.e越接近于1，椭圆就越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于______
2.椭圆几何性质的拓展
(1)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(2)焦半径公式：
①椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)相对于左、右焦点(F1为左焦点，F2为右焦点)的焦半径分别为|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
②椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)相对于下、上焦点(F1为下焦点，F2为上焦点)的焦半径分别为|PF1|＝a＋ey0，|PF2|＝a－ey0.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
(4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点.
(5)P为短轴端点时，∠F1PF2最大.
(6)通径长为.
(7)过焦点的直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，则≤|AB|≤2a.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.( )
(2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.( )
(3)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).( )
2.椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A.(－6,0)，(1,0) B.(－6,0)，(6,0)
C.(－，0)，(，0) D.(0，－)，(0，)
3.若椭圆x2＋2y2＝1的离心率为e，则e的值为( )
A. B.2
C. D.
4.下列四个椭圆中，形状最扁的是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
题型(一) 由椭圆的标准方程研究其几何性质
[例1] 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
听课记录：
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质.
[针对训练]
1.[多选]已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则下列各点一定在该椭圆上的是( )
A.(－3，－2) B.(3，－2)
C.(－3,2) D.(2,3)
2.[多选]已知椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是( )
A.长轴长为8 B.焦距为4
C.焦点坐标为(0，±2) D.离心率为
题型(二) 由椭圆的几何性质求其标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
听课记录：
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
[针对训练]
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)；
(2)离心率e＝，焦距为12.
题型(三) 椭圆的离心率
[例3] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________.
听课记录：
[变式拓展]
1.若本例条件“cos∠F1PF2＝”变为“∠F1PF2为直角”，求椭圆的离心率.
2.若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2＝”变为“点P为椭圆的上顶点，点Q在椭圆上且满足＝3”，求椭圆的离心率.
3.若本例条件“cos∠F1PF2＝”变为“∠F1PF2为钝角”，求椭圆离心率的取值范围.
[方法技巧]
求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法
直接法 若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解
方程法或不等式法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围
[针对训练]
4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
5.已知F1，F2分别是椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上，且|PF1|－|PF2|＝4b，则M的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
题型(四) 椭圆的实际应用问题
[例4] 某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位(1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为1.50×108 km，是天文学的一种长度单位).求椭圆轨道的长半轴长和短半轴长各是多少个天文单位(参考数据：≈2.875 2).
听课记录：
椭圆在实际问题中的应用方法
对于椭圆的实际应用问题，首先要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立平面直角坐标系，然后利用椭圆的定义，构造参数a，b，c之间的关系，得到椭圆方程，最后解决数学问题并解释实际问题.解题时注意图形本身的特征. [针对训练]
6.某操场的正前方有两根高度均为6 m、相距10 m的旗杆(都与地面垂直).
有一条26 m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离各是多少.
1.2 椭圆的简单几何性质
?课前环节
1.－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2a 2b 2c (0,1) 圆
[基点训练]
1.(1)× (2)× (3)√
2.选D 椭圆6x2＋y2＝6的标准方程为＋x2＝1，易知椭圆焦点在y轴上，且a2＝6，a＝，所以椭圆的长轴端点坐标为(0，－)，(0，).
3.选C 由题意得椭圆长半轴长a＝1，短半轴长b＝，所以半焦距c＝＝，所以离心率e＝＝＝，故选C.
4.选A 由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足<<<，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆＋＝1的离心率最大，故其形状最扁.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
∵m－＝>0，∴m>，
即a2＝m，b2＝.
∴c＝＝.
由e＝，得＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，，顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.
[针对训练]
1.选ABC 由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知，只有点(2,3)不在椭圆上.故选ABC.
2.选ABD 由已知得a2＝16，b2＝4，
则a＝4，b＝2，c＝＝2，
故椭圆长轴长为2a＝8，焦距为2c＝4，
焦点坐标为(±2，0)，离心率＝，
故A、B、D正确，故选ABD.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1，a＞b＞0，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
[针对训练]
3.解：(1)若焦点在x轴上，设其标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
所以b2＝a2－c2＝64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
[题型(三)]
[例3] 解析：由题意可知
|PF1|＝|PF2|
＝
＝＝a，
|F1F2|＝2c.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1PF2，
化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝.
答案：
[变式拓展]
1.解：因为∠F1PF2为直角，所以△F1PF2为等腰直角三角形，所以b＝c，所以a＝＝＝c，所以离心率为e＝＝＝.
2.解：由题意P(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.设Q(x0，y0)，由＝3，得(c，b)＝3(x0－c，y0)，即代入椭圆方程得＋＝1，
解得离心率e＝.
3.解：由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2，
∴e2＝>，∴e>，
又0
[针对训练]
4.选B 法一 不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，整理得b2＝3c2.又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，解得e＝或e＝－(舍去).
法二 不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，即＝，所以e＝.
法三 如图，由题意，得在椭圆中，|OF|＝c，|OB|＝b，
|OD|＝×2b＝b，
|BF|＝a.
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，
即c×b＝a×b，解得＝，
所以椭圆的离心率e＝.
5.选B 由题意得则|PF1|＝a＋2b，|PF2|＝a－2b，由|PF1|＝a＋2b≤a＋c，|PF2|＝a－2b≥a－c，得2b≤c，即4b2＝4(a2－c2)≤c2，得≥.又0
[例4] 解：如图，设椭圆的焦点为F1，F2，焦距为2c，太阳位于焦点F1处，小行星的位置P到两焦点的距离之和|PF1|＋|PF2|等于一个固定值2a.
要使|PF1|最大，距离之差|PF1|－|PF2|最大，但|PF1|－|PF2|≤|F1F2|＝2c，
当且仅当F1，F2，P成一条直线且F2在F1和P之间时，|PF1|－|PF2|达到最大值2c，
|PF1|达到最大值＝a＋c.
而当|PF2|达到最大值a＋c时，|PF1|达到最小值a－c，所以
解得a＝3.524 5，c＝2.038 5，
因此b＝＝≈2.875 2，
故椭圆轨道的长半轴长为3.524 5天文单位，短半轴长为2.875 2天文单位.
[针对训练]
6.解：建立如图所示的平面直角坐标系，因为|PB|＋|PD|＝26>10，
所以点P在以B，D为焦点的椭圆上.
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
显然2a＝26,2c＝10 a＝13，
c＝5 b＝＝12，
所以椭圆的方程为＋＝1.
因为旗杆的高度为6 m，
所以＋＝1 x＝±，
则－5＝，＋5＝.
所以绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离分别是 m， m.(共84张PPT)
1.2
椭圆的简单几何性质
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c的几何意义．
2．能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．椭圆的几何性质
范围 _______________________ _____________________
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点
顶点 __________________ _____________________
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 长轴长|A1A2|＝ ，短轴长|B1B2|＝___
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
续表
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
2a
2b
续表
2c
(0,1)
圆
2．椭圆几何性质的拓展
(1)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(2)焦半径公式：
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
(4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点．
(5)P为短轴端点时，∠F1PF2最大．
基点训练
答案：(1)× (2)× (3)√
√
√
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 由椭圆的标准方程研究其几何性质
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)．
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
方法技巧
针对训练
√
√
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解析：由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知，只有点(2,3)不在椭圆上．故选ABC.
解析：由已知得a2＝16，b2＝4，
√
√
√
故A、B、D正确，故选ABD.
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
题型(二) 由椭圆的几何性质求其标准方程
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线
互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆的标准方程．
方法技巧
针对训练
题型(三) 椭圆的离心率
解：因为∠F1PF2为直角，所以△F1PF2为等腰直角三角形，
变式拓展
解：由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2，
求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法
方法技巧
针对训练
√
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题型(四) 椭圆的实际应用问题
解：如图，设椭圆的焦点为F1，F2，焦距为2c，
太阳位于焦点F1处，小行星的位置P到两焦点的距离
之和|PF1|＋|PF2|等于一个固定值2a.
要使|PF1|最大，距离之差|PF1|－|PF2|最大，但|PF1|－|PF2|≤|F1F2|＝2c，
当且仅当F1，F2，P成一条直线且F2在F1和P之间时，|PF1|－|PF2|达到最大值2c，
而当|PF2|达到最大值a＋c时，|PF1|达到最小值a－c，
解得a＝3.524 5，c＝2.038 5，
故椭圆轨道的长半轴长为3.524 5天文单位，短半轴长为2.875 2天文单位．
方法技巧
椭圆在实际问题中的应用方法
对于椭圆的实际应用问题，首先要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立平面直角坐标系，然后利用椭圆的定义，构造参数a，b，c之间的关系，得到椭圆方程，最后解决数学问题并解释实际问题．解题时注意图形本身的特征．
针对训练
6．某操场的正前方有两根高度均为6 m、相距10 m的旗杆(都与地面垂直)．有一条26 m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内．假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离各是多少．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
因为|PB|＋|PD|＝26>10，
所以点P在以B，D为焦点的椭圆上．
显然2a＝26,2c＝10 a＝13，
因为旗杆的高度为6 m，
课时跟踪检测
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F2，B为椭圆的上顶点．依题意可知，
△BF1F2是正三角形．
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∵在Rt△BOF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
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8．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________ cm.
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解得a＝10，所以小椭圆的长轴长为2a＝20 cm.
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∴b2＝a2－c2＝36－16＝20，又焦点在x轴上，
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(2)由题意，c＝2，椭圆焦点在y轴上，2a＝6，即a＝3，
∴b2＝a2－c2＝5，
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(1)若P为椭圆的上顶点，且PF1⊥PF2，△F1PF2的面积等于4，求椭圆的标准方程；
(2)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率．
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由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝3，所以B正确；
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由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以D错误．
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16．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1,0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
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∵－2
16课时跟踪检测(十八) 椭圆的简单几何性质
A级——综合提能
1.[多选]已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.焦点坐标为 D.离心率为
2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
A. B.
C. D.
3.若椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9，k≠0)，则两椭圆必定( )
A.有相等的长轴长 B.有相等的焦距
C.有相等的短轴长 D.有相等的离心率
4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴的右端点为B，M(1,0)为线段OB的中点，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
6.若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________.
7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为8π，且离心率为，则C的标准方程为______________.
8.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________ cm.
9.求下列曲线的标准方程.
(1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
(2)一个焦点为(0,2)，长轴长为6的椭圆.
10.已知P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点.
(1)若P为椭圆的上顶点，且PF1⊥PF2，△F1PF2的面积等于4，求椭圆的标准方程；
(2)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率.
B级——应用创新
11.如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上
半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝( )
A.16 B.18
C.20 D.22
12.[多选]已知椭圆C：＋＝1，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法正确的是( )
A.椭圆离心率为 B.|PF1|的最大值为3
C.0≤∠F1PF2≤ D.|PF1|＋|PF2|＝2
13.(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
14.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.
15.椭圆E与椭圆＋＝1有共同的焦点，且经过点A.
(1)求椭圆E的标准方程和离心率；
(2)设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求·的最大值.
16.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1,0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
课时跟踪检测(十八)
1．选CD 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝.
2．选A 由e2＝e1，得e＝3e.因此＝3×.因为a＞1，所以a＝.
3．选B 因为k<9，k≠0，所以25－k>9－k>0，所以椭圆＋＝1(k<9，k≠0)中a2＝25－k≠25，b2＝9－k≠9，故A、C错误；椭圆＋＝1(k<9，k≠0)的c2＝a2－b2＝25－k－(9－k)＝16，椭圆＋＝1的c2＝25－9＝16，故两椭圆c相等，所以有相等的焦距，故B正确；离心率e＝，两椭圆a不相等，c相等，显然离心率不一样，故D错误．
4.选A 如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF1F2是正三角形．∵在Rt△BOF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝.
5.选B 因为M(1,0)为线段OB的中点，且B(b,0)，所以b＝2，又椭圆C的离心率e＝，所以＝＝＝，所以a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
6．解析：∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，
∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1，由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1，∴m＝2，则椭圆方程为＋＝1，∴a＝，2a＝2.
答案：2
7．解析：设C的标准方程为＋＝1
(a>b>0)，则解得
所以C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．解析：设小椭圆的长半轴长为a，a>0，依题意，e＝＝＝，则＝，解得a＝10，所以小椭圆的长轴长为2a＝20 cm.
答案：20
9．解：(1)由题意，2a＝12，∴a＝6，
又e＝，即＝，∴c＝4，
∴b2＝a2－c2＝36－16＝20，
又焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意，c＝2，椭圆焦点在y轴上，2a＝6，
即a＝3，∴b2＝a2－c2＝5，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
10．解：(1)由题意可得|PF1|＝|PF2|＝a，
因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＝4c2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝＝4，所以a2＝8，所以b2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一 若△POF2为等边三角形，则P的坐标为，代入方程＋＝1，可得＋＝1，解得e2＝4±2，又0
11．选B 因为把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F′，且a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得|P1F|＝|P9F′|，|P2F|＝|P8F′|，|P3F|＝|P7F′|，…，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(|P9F′|＋|P9F|)＋(|P8F′|＋|P8F|)＋…＋(|P5F′|＋|P5F|)＝9a＝18.
12．选ABC 由椭圆C：＋＝1，可得a＝2，b＝，则c＝＝1，由椭圆C的离心率为e＝＝，所以A正确；由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝3，所以B正确；当点P为椭圆的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，所以∠F1PF2＝，根据椭圆的几何性质，可得0≤∠F1PF2≤，所以C正确；由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以D错误．
13．选B 依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1.故c＝1.又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1.故选B.
14．解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，设F1(－c，0)，F2(c,0)，设M(x0，y0)，·＝0 (－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝0 x－c2＋y＝0 y＝c2－x，点M(x0，y0)在椭圆内部，有＋<1 b2x＋a2(c2－x)－a2b2<0 x>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0 2a2c2
15．解：(1)由＋＝1可得c＝1，
设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为椭圆E经过点A，
所以解得
所以椭圆E的标准方程为
＋＝1，e＝＝.
(2)由(1)可知椭圆E：＋＝1，
所以F(－1,0)．
设M(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
所以·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
因为－2≤x≤2，所以当x＝2时，·取得最大值，为×(2＋2)2＋2＝6，
即·的最大值为6.
16．解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0∈(－2,2))，
则＋＝1①.
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0②.
由①②消去y0，
整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2
