2024-2025学年福州屏东中学第二学期八年级数学期末考试
一、单选题
1．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A． B．1， C．4，5，6 D．1，1，
3．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一次函数的图象与y轴的交点是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线中，与的部分对应值如表：
x … 1 3 4 5 7 …
y … 4 5 4 …
下列结论中，不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为
7．如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
8．已知，点均在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发1后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是120/
B．, 两地的距离是360
C．乙车出发4.5时甲车到达地
D．甲车出发4.5最终与乙车相遇
10．如图，矩形边，，E为与点D不重合的动点，以DE一边作矩形，且，设，点F、G与点C的距离分别为、，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、填空题
11．如果是正比例函数，则a的值是 ．
12．某厂今年一月份的总产量为 500吨，三月份的总产量达到 720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出关于 x的方程是 ．
13．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 .
14．如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）．
15．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接.若，菱形的面积为54，则的长为 ．
16．已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)解一元二次方程：．
18．如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形．
19．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解．
21．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围，
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．
(1)在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．
23．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
24．二次函数（，为常数，）的图象记为L．
（1）若=1，=3，求图象L的顶点坐标；
（2）若，点，在图象L上，当时，恒成立，求的取值范围．
（3）在（1）的条件下，点A，点C分别为抛物线与x轴和 y轴的交点，点P在抛物线上，且在线段AC下方，当△APC面积最大时，求点P的坐标.
25．【尝试发现】（1）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把（ ）
A． 二等分 B． 三等分 C． 四等分
【类比探究】（2）类似的，通过折纸了可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．补充下列证明过程：
证明：如图2，在矩形中，，
由折叠可知，，，
∴，∴（_______________________）
∵，∴（__________________________），
，即．
（3）如图3，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论．
【拓展应用】（4）如图4，将矩形对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形，使折痕．若点为边的三等分点，请求出的值．
参考答案
一、单选题
1．B．
2．B．
3．A．
4．C．
5．D．
6．A．
7．D
8．A
9．C
10．D．
二、填空题
11．，
12．．
13．5．
14．③．
15．．
16．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：
，
，
．
18．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
19．解：由题意得，四边形是矩形，
∴尺，
设秋千绳索长为尺，
则尺，
在中，，即，
解得：．
∴秋千绳索的长度为尺．
20．（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
（2）解：是方程的解，
，
．
方程为．
解得．
方程的另一个解为．
21．（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米，
∴抛物线解析式为：，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
∴，
当时，，
∴石块能飞越防御墙；
（2）∵，，
∴
当经过点，时，
，解得：.
当经过点，时，
，解得：
∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为
22．（1）解：如图，作AE⊥BC于点E，
∵BD⊥AC，AE⊥BC
∴
又∵
∴△ACE∽△BCD
∴E点即为所作．
（2）如图所示，连接DE，
∵AC＝AB＝6，AE⊥BC ，
∴E是BC的中点
又∵BD⊥AC，DE＝2，
∴,
∵△ACE∽△BCD
∴，即，
解得：
即DC的长为．
23．（1）解∶设y与x的函数表达式为，
把，；，代入，得，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴，
化简得
解得，
当时，,
则每盒的利润为：,舍去，
∴m的值为2．
24．解:（1）若＝1，＝3，则
∴
∴图象L的顶点坐标为（－1，－4）
（2）若图象L过点（4，1），则
化简得，
∵2≤a≤5，b随a的增大而减少，
∴当a＝2时，b的最大值＝
（3）若，则，图象的对称轴为直线
∵当时，恒成立，
∴当a＞0时，，解得0＜a≤；
当a＜0时，，解得－1≤a＜0．
故的取值范围为0＜a≤或－1≤a＜0．
25．（）解：由折叠可得，，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴,
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分 ，
故选：；
（）证明：如图，在矩形中，，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：，，，；
（）解：点是否为边的“三等分点”．
证明：在矩形中，，，
由折叠可得，，，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点是否为边的“三等分点”；
（）由折叠得，，
点为边的三等分点，
，
设，则，
，，
，
由折叠性质得，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∴，
设，则，
，
，
又，
，
又，
，
，即，
，
，
．
试卷第1页，共3页
