2024-2025 学年陕西省渭南中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题 ： ∈ ， > + 1.则￢ 为( )
A. ∈ ， > + 1 B. ∈ ， ≤ + 1
C. ∈ ， ≤ + 1 D. ∈ ， = + 1
2 ( ) ( ) lim (0+2 ) (0).设 ′ 是函数 的导函数，则 =( )
→0
A. 2 ′(0) B. 12 ′(0) C. ′(0) D. ′(2)
3.已知命题 ： ∈ ，| 1| ≥ 1，命题 ： ∈ ， 2 2 + 1 < 0，则( )
A. 是假命题， 是真命题 B. 是真命题， 是假命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是假命题
4 ln( 1).曲线 = 2 在 = 2 处的切线的斜率为( )
A. 1 B. 1 18 4 C. 2 D. 0
5.已知函数 = ( )的图象如图，则 ( )的解析式可能为( )
A. ( ) = 1 | |
B. ( ) = | | 1
C. ( ) = | |1 2
D. ( ) = | | 2 1
6.已知等比数列{ }的前 项和为 ，若 3 = 1， 5 2 = 4，则 9 6 =( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
7.已知函数 ( )的定义域为 ，则“对任意 ∈ ，存在 0 ∈ ，使得| ( 0)| > ”是“函数 ( )的值域为 ”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需要时间 = 2 (单位：小时)，其中
为常数，在此条件下，已知训练数据量 从106个单位增加到 1.024 × 109个单位时，训练时间增加 20 小时；
当训练数据量 从 1.024 × 109个单位增加到 8.192 × 109个单位时，训练时间增加(单位：小时)( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第 1页，共 7页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数 ， 满足 3 < + 2 < 2， 1 < 2 < 4，则( )
A. 1 < < 2 B. 2 < < 1 C. 2 < + < 0 D. 0 < < 4
10.设 > 0， ∈ .下列各项中，不能推出 > 的项有( )
A. > 1，且 > 0 B. > 1，且 < 0
C. 0 < < 1，且 > 0 D. 0 < < 1，且 < 0
11.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且当 > 0 时， ( ) = ( 2 5 + 7) 8，则( )
A.当 > 0 时， ′( ) = ( 2 3 + 2)
B.函数 ( )有 5 个零点
C. = 1 是 ( )的极小值点
D.存在实数 ，使得方程 ( ) = 有且仅有 5 个实数根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知集合 = { | 3 < 2}, = { | = 2 , > 0}，则 ∩ = ______．
13.设{ }与{ }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 = { | = , ∈ }，若{ }为递增数
列，{ }为递减数列，则 中最多有______个元素．
14.一个圆环直径为 2 2 ，通过金属链条 、 1、 2、 3( 1、 2、 3是圆上
三等分点)悬挂在 处，圆环呈水平状态，并距天花板 2 (如图所示)，为使金属链条
总长最小， 的长应为______ .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 9 + ( ∈ )．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 ( )在区间[ 2,4]上的最大值为 7，求它在该区间上的最小值．
16.(本小题 15 分)
设 > 0 且 ≠ 1，已知函数 ( ) = log ( + 3)， ( ) = log (3 )， ( ) = ( ) + ( )．
(1)判断函数 ( )的奇偶性，并说明理由；
(2)解关于 的不等式 (2 3) ≥ (3 1)．
17.(本小题 15 分)
已知正实数 ， 满足 + 3 = 1．
第 2页，共 7页
(1)求 的最大值；
(2) + 1 2若不等式3 ≤ +2有解，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 5 = 10， 7 = 56．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 已知数列{ }满足 = 2 +1，
( )求数列{ }的前 项和 ；
( ) 若不等式( 1) < + 2 对任意 ∈
恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ( ∈ )．
(1)若 ∈ (0, + ∞)， ( ) ≥ 1，求实数 的取值范围；
(2) 1 1 1证明： +1+ +2 + + 2 < 2( ∈ )．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,8)．
13.1
14.1.5
15.(1) ( ) = 3 3 2 9 + ( ∈ )的定义域为 ，
又因为导函数 ′( ) = 3 2 6 9 = 3( 3)( + 1)
令 ′( ) > 0，则 < 1 或 > 3，令 ′( ) < 0，解得 1 < < 3，
因此函数 ( )的单调递增区间( ∞, 1)，(3, + ∞)，单调递减区间为( 1,3)，
(2)根据第一问可知函数 ( )在[ 2, 1]上单调递增，在( 1,3)上单调递减，在[3,4]上单调递增，
又因为 (4) = 20 + ， ( 1) = 1 3 + 9 + = 5 + ，
那么 5 + = 7，解得 = 2，
因此函数 ( ) = 3 3 2 9 + 2，又因为 (3) = 25， ( 2) = 0，
所以 ( )在区间[ 2,4]上的最小值为 25．
16.(1)函数 ( )是偶函数，
理由如下： ( ) = log ( + 3) + log (3 )
+ 3 > 0,
，则有 3 > 0,
解得 3 < < 3，即函数的定义域为{ | 3 < < 3}，
又 ( ) = log ( + 3) + log (3 + ) = ( )，
则函数 ( )是偶函数．
第 4页，共 7页
(2)由(1)的结论， ( ) = (9 2 )为偶函数，
令 = 9 2， = log ，
由于 ∈ ( 3,3)，则 ∈ (0,9]，
而 = 9 2在 ∈ ( 3,0)上单调递增，在 ∈ (0,3)上单调递减，
对于 ，分 2 种情况讨论：
当 > 1 时， = log 在(0,9]上单调递增， ( )在区间(0,3)上单调递减，
若 (2 3) ≥ (3 1)，则有|2 3| ≤ |3 1| 3 < 2 3 < 3,且 3 < 3 1 < 3,
4 4
解得5 ≤ < 3，
4 4
此时不等式的解集为[ 5 , 3 )；
当 0 < < 1 时， = log 在(0,9]上单调递减， ( )在区间(0,3)上单调递增，
若 (2 3) ≥ (3 1) |2 3| ≥ |3 1| 3 < 2 3 < 3, 4，则有 且 3 < 3 1 < 3,解得 0 < ≤ 5，
4
此时不等式的解集为(0, 5 ]；
综上，当 > 1 4 4时，所求不等式的解集为[ 5 , 3 )；
当 0 < < 1 时，所求不等式的解集为(0, 45 ]．
17.解：(1) ∵ > 0， > 0， + 3 = 1，
∴ 1 = + 3 ≥ 2 3 ，解得 ≤ 112，
1 1 1
当且仅当 = 3 = 2即 = 2， = 6时等号成立，
∴ 1的最大值为12．
(2) ∵ 1 +3 3 3 3 + = 3 + = 3 + + 1 ≥ 2 3 + 1 = 3，
3 1 1
当且仅当3 = 即 = 2， = 6时，等号成立，
∴ 2由题意得 +2 ≥ 3，
∴ 2 8 ( 2 8)( + 2) ≥ 0 +2 ≥ 0 + 2 ≠ 0 ，解得 4 ≤ < 2，
∴ 的取值范围是[ 4, 2)．
18.(1)等差数列{ }的前 项和为 ，设公差为 ，
由 5 = 10， 7 = 56，可得 1 + 4 = 10，7 1 + 21 = 56，即 1 + 3 = 8，
第 5页，共 7页
解得 1 = = 2，
∴ = 2 + 2( 1) = 2 ；
(2)( )由(1)知 = 2 2 +1 = 2 +1 = 2 ，
∴ =
1 2
2 + 22 +
3 1
23 + + 2 1 + 2 ，
1 1 2 3 1
2 = 22 + 23 + 24 + + 2 + 2 +1，
1 1
∴ 1
[1 ( ) ]
2
1 1 1
= 2+ 22 + 23 + +
1 = 2 2 = 1 +22 2 +1 1 1 2 +1 2 +1
，
2
∴ = 2
+2
2 ；
( )由( )得( 1) < 2 +2 22 + 2 = 2 2 ，
= 2 2 2设 2 ，则 +1 = 2 2 +1，
∴ = (2 2 2 1 +1 2 +1 ) (2 2 ) = 2 > 0，∴数列{ }是递增数列，
当 为奇数时， < 2 2 22 恒成立，∴ < 2 2 = 1，∴ > 1，
当 2 2 3为偶数时， < 2 2 恒成立，∴ < 2 22 = 2，
∴ 3实数 的取值范围为( 1, 2 )．
19.(1) ( ) = + 因为函数 ( ∈ )的定义域为(0, + ∞)，
所以，若 ∈ (0, + ∞)， ( ) ≥ 1，即 ∈ (0, + ∞)， ≥ 恒成立，
令 ( ) = ( > 0)，
则 ∈ (0, + ∞)， ≥ ( ) ，
因为 ′( ) = 1 (1 + ) = ( ∈ )，
所以当 ∈ (0,1)时 ′( ) > 0，当 ∈ (1, + ∞)时 ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) = (1) = 1，所以 ≥ 1，
即实数 的取值范围为：[1, + ∞)；
(2) 1证明：由(1)可得 + ≥ 1 对 ∈ (0, + ∞)
1
恒成立，且当且仅当 = 1 时 + = 1，
ln +1 所以 + +1 > 1( ∈
)，即 ln( + 1) > 1 +1 ( ∈
)，
1 + 1 1所以 +1 +2 + + 2 < ln( + 1) + ln( + 2) ln( + 1) + . . . + ln(2 ) ln(2 1)
第 6页，共 7页
= ln(2 ) = 2( ∈ ).
第 7页，共 7页
