2024-2025学年河南省驻马店市某中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，曲线的周长为( )
A. B. C. D.
2.若的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
3.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
4.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
6.设是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知曲线在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
8.已知正方体，如图，延长至使，为的中点，设交平面于，则下列说法正确的是( )
A. 与异面
B.
C. 的余弦值为
D. 平面与平面的夹角的正切值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动个单位长度，移动次，则( )
A. 蚂蚁始终未远离原点超过个单位长度的概率是
B. 蚂蚁移动到点的概率为
C. 蚂蚁回到原点的概率为
D. 蚂蚁移动到直线上的概率为
10.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的上四分位数为
B. 若，，且，则，相互独立
C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则
D. 将两个具有相关关系的变量，的一组数据，，，调整为，，，，决定系数不变附：，，
11.在数列中，，对任意，，，则( )
A.
B. 为递增数列
C. 为等差数列
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的导函数是，记，，则、、的大小关系是______．
13.设等差数列，的前项和分别为，，若，则 ______．
14.年月，我国教育部发布了中小学实验教学基本目录，内容包括高中数学在内共有个学科多项实验与实践活动我市某学校的数学老师组织学生到“牛马司农产品基地”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，尹诗老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴不妨设颗番石榴的大小各不相同，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗记该学生摘到那颗最大的番石榴的概率为若，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段 态度 合计
不喜欢喝茶 喜欢喝茶
岁以上含岁
岁以下
合计
依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
以样本估计总体，用频率代替概率该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出人参加茶文化艺术节抽取的人中，岁以下的人数记为，求的分布列与期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
16.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，是否存在直线与曲线和都相切，若存在求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知数列满足，，记．
求证：是等比数列；
设，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，．
求证：平面；
若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.本小题分
已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于，两点均不与点重合，过作直线的垂线，垂足为．
求椭圆的标准方程；
设直线，的斜率分别为，，当时，
求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
求的最小值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：零假设：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系，
则，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系；
由题意可知，的取值可能为，，，
则，，
所以的分布列为：
所以．
16.解：当时，，所以，
所以，
所以当时，在点处的切线方程为：
，即为；
若，则，，
所以，，
若存在两函数的公切线分别切两函数于点，，
则，所以，
所以，
解得或
所以，，所求切线为，
或，，所求切线为，
即存在切线或满足题意．
17.解：证明：由，得，
，且，
，即数列是以为首项，以为公比的等比数列；
由知，，
则，
，
，
两式作差得：
，
则，
若不等式对一切恒成立，
即对一切恒成立，
则对一切恒成立，
当为奇数时，有，则；
当为偶数时，有，则．
综上所述，的取值范围为
18.证明：因为，，，
所以四边形为直角梯形，取中点，连接，
则，则四边形为正方形，
则，，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面．
由可知，、、两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，，，
则，，
设平面的一个法向量，
则，则，即，
令，则，故．
由可知平面，
所以是平面的一个法向量，记作，
记平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19.解：由题意可得，
所以椭圆的标准方程为：．
证明：由条件，可知直线的斜率存在，
设直线：，，，
联立方程组：，
其中，
所以，，
由条件，即，
由于直线不过点，故，
化简可得，
所以
，
代入式，，此时直线：恒过定点．
因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
所以，
此时的坐标为，的斜率，满足条件．
故的最小值为．
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